Modelos matemáticos

1. Modelos matemáticos

2. COMMISSION REGULATION (EC) No 2073/2005 of 15 November 2005 on microbiological criteria for foodstuffs Article 3 As necessary, the food business operators responsible for the manufacture of the product shall conduct studies in accordance with Annex II in order to investigate compliance with the criteria throughout the shelf-life. In particular, this applies to ready-to-eat foods that are able to support the growth of Listeria monocytogenes and that may pose a Listeria monocytogenes risk for public health.

3. Annex II • When necessary on the basis of the abovementioned studies, the food business operator shall conduct additional studies, which may include: predictive mathematical modelling established for the food in question, using critical growth or survival factors for the micro-organisms of concern in the product,

4. Generalidades sobre los modelos matemáticos predictivos

5. Every model is wrong. The question is, how much wrong still useful it can be. (Box and Draper)

6. MICROBIOLOGÍA PREDICTIVA Campo de estudio que combina elementos de microbiología, matemáticas y estadística para desarrollar modelos que describan y predigan matemáticamente el crecimiento o muerte de los microorganismos, cuando se les somete a condiciones medioambientales específicas (Whiting, 1995).

7. Los modelos son descripciones simplificadas de la realidad  La realidad descrita por el modelo es una parte de la realidad total llamada espacio modelo

8.  Los modelos deben reflejar lo que está pasando y deben ser capaces de predecir con precisión los estados presente y futuro de las cosas que describen  Hay que ser conscientes de que un modelo no puede dar una representación total de la realidad. Un modelo particular puede describir algún aspecto de forma muy adecuada mientras que falla en la descripción de otro

9. Suposiciones en modelización Espacio Modelo: No se puede modelizar todo, hay que escoger la parte de la realidad que se quiere modelizar. A esto se le llama espacio modelo y no tiene conexión con el resto de la realidad realidad espacio modelo

10. Espacio modelo: Se define como todos los factores que juegan un papel en la determinación del fenómeno bajo estudio, los conocidos y no conocidos

11. Fenómeno: Los modelos se usan para describir relaciones entre variables dependiente e indepen- dientes. V. dependiente Fenómeno Relación V. Independientes

12. Para poder modelizar un fenómeno en un espacio modelo determinado es necesario entender la relación entre las variables depen- diente e independientes. Este ejercicio ayudará a elegir el modelo apropiado

13. Microbiología predictiva El objetivo de la microbiología predictiva es conseguir un Espacio Modelo para describir un Fenómeno de forma matemática o probabilística Espacio modelo Medioambiene Temperatura pH aw Respuesta microbiana Fenómeno Crecimiento Inactivación

14. La microbiología predictiva no revela, generalmente, comportamientos inesperados de los microorganismos. La Microbiología predictiva cuantifica los efectos de la interacción entre dos o más factores y permite la interpolación de combinaciones de factores no comprobados de forma explícita

15. Clasificación de los modelos Modelos de nivel primario: Modelo de Bigelow Modelos de nivel secundario: Superficie de respuesta Modelos de nivel terciario: Tejedor y Martínez

16. Los modelos de nivel primario describen cambios en el número de microorganismos u otras respuestas microbianas con el tiempo. crecimiento inactivación

17. Los modelos secundarios describen las respuestas de los parámetros de los modelos primarios a los cambios en las condiciones medioambientales superficie de respuesta Ln(spec.g.rate) pH NaCl (%)

18. Los modelos terciarios son programas de ordenador que transforman a los modelos primarios y secundarios en herramientas de facil uso para los usuarios del modelo Inactivación crecimiento

19. Consideraciones en el desarrollo de un modelo Precisión en el ajuste.  Capacidad de predecir combinaciones de factores no probadas.  Incorporación de todos los factores relevantes.  Que tenga el mínimo número de parámetros.  Especificación del término de error.  Los parámetros deben tener un significado biológico y valores realistas.  Reparametrización si se mejoran las propiedades estadísticas.

20. Bacillus stearothermophilus 7 6 5 4 Log N experimental 3 predicho 2 1 0 116 118 120 122 124 126 128 Temperatura (ºC) Termoresistencia y Modelos primarios de inactivación/supervivencia

21. Obtención de datos experimentales A) Tratamiento térmico isotérmico B) Tratamiento térmico no isotérmico B.1) La temperatura de la muestra varía con el tiempo B.2)La temperatura de la muestra varía con el tiempo y después permanece constante hasta la fase de enfriamiento

22. Modelos de inactivación: Velocidad alta de muerte de los microorganismos por la acción de un agente activo Modelos de supervivencia: Disminución de la carga microbiana de forma mas lenta y no implica esterilidad comercial Los modelos matemáticos son los mismos en ambos casos

23. Capilares Data logger Baño calentamiento Baño enfriamiento

24. Capilares

25. Detalle termorresistómetro

26. Modelos primarios A) Modelos logarítmicos La modelización matemática comenzó en 1920 con los cálculos de tiempo de destrucción térmica. Los valores D y Z se usaron con éxito para asegurar que los alimentos enlatados estaban libres de riesgo de alteración por Cl. botulinum Estos modelos establecen la relación existente entre el tiempo y la inactivación de un microorga- nismo a una temperatura dada.

27. Los datos experimentales para la obtención de los parámetros, D y Z, que definen la inactivación de los microorganismos se pueden analizar de diferentes maneras:  Dos regresiones lineales consecutivas  Una regresión no lineal en un solo paso

28. Dos regresiones lineales Curva de supervivencia 3 Log. supervivientes 2 DT 1 Tiempo de exposición

29. LnN=LnNo-kt

30. lgN=lgNo-(k/2,303)t

31. Curva de muerte térmica DT2 Log DT DT1 z T1 T2 Temperatura

33. Una regresión no lineal Tratamiento isotérmico 1 = - × log N log No t - æ ö T T R ç ÷ è ø × z D 10 R

35. Tabla 1. Parámetros cinéticos predichos para dos cepas de Bacillus cereus Temperature D value (min) (ºC) AV TZ415 AV Z421 Linear Non-linear Linear Non-linear a a ± ± 85 ND ND 16 5 17.1 0.5 a a ± ± 40 20 39 3 90 ± ± 3.9 0.7 4.04 0.08 ± ± 95 11 3 9.8 0.5 ± ± 0.94 0.17 0.95 0.02 100 ± ± 2.5 0.4 2.48 0.06 ± ± 0.22 0.06 0.225 0.007 105 ± ± 0.60 0.19 0.63 0.03 ND ND ± ± ± ± z (ºC) 8.1 0.3 7.97 0.10 8.0 0.6 8.4 0.2 not determined. ND a ± D value confidence interval (95%).

36. 3 2.5 2 Log (No/N) observed 1.5 1 0.5 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Log (No/N) predicted 4 3 Log (No/N) observed 2 1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Log (No/N) predicted Curvas de equivalencia

37. 25 20 15 Frequency 10 5 0 -0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 0 (Log Nexp - Log Ncal) 35 30 25 20 15 Frequency 10 5 0 -0.7 -0.46 -0.22 0.02 0.26 0.5 (Log Nexp - Log Ncal) Residuos normales con media cero

38. 9.1 8.7 8.3 z (ºC) 90ºC AV TZ415 7.9 95ºC AV Z421 7.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 D (min) Regiones de confianza conjunta

40. Efecto del pH sobre el valor D del B. stearothermophilus en ensaladilla 14 14 115 ºC 118 ºC 12 12 Z (ºC) 10 10 Z (ºC) 8 8 6 6 1 2 3 4 5 2 4 6 8 10 12 D (min) D (min)

41. Efecto del pH sobre el valor D del B. stearothermophilus en ensaladilla 14 14 125 ºC 121 ºC 12 12 Z (ºC) Z (ºC) 10 10 8 8 6 6 0 1 2 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 D (min) D ( min )

42. Diferentes tipos de curvas de supervivencia Hombro 3 Concavidad hacia abajo Lineal Log. supervivientes 2 Concavidad hacia arriba Cola 1 Tiempo de exposición

43. Los hombros se han atribuido:  a la necesidad de mas de un evento dañino  a la necesidad de una activación de las esporas

44. Presencia de colas Teoría vitalista Distribución de termorresistencia La termorresistencia depende del ciclo celular en que se recoja Teoría mecanicista

45. Presencia de artefactos experimentales Mezcla de poblaciones Otras explicaciones Nueva aproximación La curva de supervivencia es una forma acumulativa de distribución de eventos letales con el tiempo Cada organismo individual o espora de una población muere a un tiempo específico

46. Curvas con hombros 1 85°C 0.1 90°C 0.01 95°C AVTZ415 strain 0.001 S(t) (N/No) 100°C 0.0001 0.00001 0 8 16 24 32 40 Time (min)

47. n æ ö t ç ÷ - = a è ø S(t) e Función de supervivencia a= Scala n= Forma

48. El parámetro de forma “n” se puede considerar como un índice de comportamiento Si n >1 describe una curva con hombro Si n < 1 describe una curva con cola Si n = 1 la curva de supervivencia sera lineal en coordenadas semilogarítmicas y se comportará como una reacción de primer orden El parámetro de escala “a”se puede considerar como una constante de velocidad de reacción. Similar al Valor D

49. Curvas de supervivencia 1.00 95°C AVZ421 strain 0.80 97.5°C 0.60 100°C S(t) (N/No) 0.40 102.5°C 0.20 105°C 0.00 0.00 3.20 6.40 9.60 12.80 16.00

50. Función de densidad ( ) æ ö n a - t ç ÷ = × × - n n - 1 è ø f(t) a n t e frecuencia de muertes por unidad de tiempo