OLASILIK

1. OLASILIK

2. OLASILIK • İstatistiğin temel araçlarından biri olasılıktır • 17. yy’da şans oyunları ile başlamıştır • Her bir denemenin çıktısı belirsizdir • Fakat uzun dönemde çıktı kestirimlenebilir Bireysel belirsizlik ve uzun dönemdeki düzenlilik deneysel bilimlerde de sık sık ortaya çıkar

3. Olasılık Nedir? • Herhangi bir deneyin sonucunda gözlenebilecek farklı durumlarla hangi sıklıkta karşılaşılabileceğinin incelenmesidir

4. Örnekler • Bir doğumda kız ya da erkek doğacağı bilinmez • Fakat uzun dönemde olasılık yaklaşık olarak %50’dir • Sigorta şirketleri Türkiye’de kimlerin 50 yaşında öleceğini kestiremez • Fakat kaç kişinin bu yaşta öleceği yaklaşık olarak kestirilebilir

5. Olasılığın Gelişim Aşamaları • Klasik (A Priori) Olasılık • Frekans (A Posteriori) Olasılık • Aksiyom Olasılığı • Bu sıralama olasılık teorisinin tarihsel gelişimini tanımlamaktadır

6. Temel Tanımlar • Tekrarlanabilir Deney; sonucu kesin olarak kestirimlenemeyen bir tek çıktı (şans değişkeni) oluşturan bir eylem, gözlem ya da süreçtir • Basit Olay; eğer bir deneyin çıktısı daha basit bir çıktı olarak ayrıştırılamıyorsa basit olaydır • Olay; bir ya da daha fazla basit olayın bir araya gelmesi ile oluşur • Örnek Uzayı; bir deneyin tüm mümkün basit olaylarının oluşturduğu kümedir. Genellikle S ile tanımlanır

7. Ayrık olay; Eğer A ve B gibi iki olay aynı anda gerçekleşemiyor ise bu olaylara ayrık (birbirini engelleyen) olaylar denir • Eşit Olasılıklı Olaylar; bir örnek uzayındaki tüm basit olayların ortaya çıkma olasılığı eşit ise eşit olasılıklı olay denir

8. Tüm basit olayların olasılıkları 0 ile 1 arasındadır Bir örnek uzayındaki tüm basit olayların olasılıklarının toplamı 1’e eşittir Olasılığın İki Temel Kuralı DİKKAT Hiç bir olayın OLASILIĞI 1’den büyük olamaz

9. Klasik Olasılık • Eğer bir örnek uzayı N(S) adet ayrık ve eşit olasılıkla ortaya çıkan basit olaylardan oluşuyor ve örenek uzayındaki basit olaylardan N(A) adedi A olayının özelliğine sahip ise A’nın olasılığı: N(A)/N(S) kesiri ile elde edilir.

10. Klasik Olasılık Niçin Yetersizdir? • Örnek uzayının eleman sayısı sonsuz olduğunda • Eşit olasılıklı olay varsayımı yapılamadığında

11. Ne Yapılabilir? • Araştırılan anakütle üzerinde tekrarlı deneyler gerçekleştirilerek sonuçlar analiz edilmek üzere kayıt edilmelidir.

12. Frekans Olasılığı • Araştırılan anakütle üzerinde n adet deney uygulanır. Yapılan bu deneylerde ilgilenilen A olayı n(A) defa gözlenmiş ise A olayının göreli frekansı (yaklaşık olasılığı): P(A)=n(A)/n olarak bulunur.

13. Örnek • Bir fabrikanın üretmiş olduğu televizyonların hatalı olma olasılığı p nedir? • Önce örnek uzayı oluşturulur: S={sağlam,hatalı} • Klasik olasılığa göre (eşit olasılıklı olaylar) p=0.5 olup gerçeği yansıttığı şüphelidir. • Yapılması gereken örneklem alarak p= n(H)/n olasılığını hesaplamaktır.

14. Frekans Olasılığının Kararlılık Özelliği • Gerçekleştirilen deney sayısı arttıkça P(A) olasılık değerindeki değişkenlik azalacak ve giderek bir sabit değere yaklaşacaktır buna kararlılık özelliği adı verilir ve bir olayın olasılığı deneyin tekrarlama sayısı sonsuza yaklaşırken o olayın göreli frekansının alacağı limit değer olarak tanımlanır: p=P(A)=lim n(A)/n n

15. Frekans Olasılığı Niçin Yetersizdir? • Olasılığın kararlılık değerine ulaştığı deneme sayısı kaçtır? • Sonsuz adet deneme yapmak mümkün değildir • Aynı deney iki defa aynı tekrar sayısı ile gerçekleştirildiğinde elde edilen olasılıklardan hangisi olayın olasılığı olarak kabul görecektir?

16. Aksiyom Olasılığı Nedir? • Olasılığın matematiksel teorisini tanımlar • Bu teorinin oluşturduğu ideal modeller yaşadığımız dünyanın problemlerini çözmede kullanılır

17. Aksiyomlar • Aksiyom 1: • P(A) örnek uzayı S’deki her A olayı için P(A)0 olan bir gerçel sayıdır • Aksiyom 2: • P(S)=1 • Aksiyom 3: • Eğer S1,S2, ...Olaylarının her biri S’deki ayrık olaylar ise,diğer bir deyişle SiSj= tüm ij için ise, P(S1S2 ...)=P(S1)+P(S2)+...

18. Aksiyom Olasılığı ile İlk İki Yaklaşım Arasındaki Fark • Olasılığın iki genel tipinin sahip olduğu önemli ortak nokta: Her ikisinin de, benzer koşullarda (teorik olarak aynı koşullarda) uygulanan deneylere gereksinim duymasıdır. • Bununla birlikte benzer koşullarda tekrarlı olarak uygulanamayan durumlarda olasılıkların hesaplanmasında AKSİYOM OLASILIĞI yardımcı olur.

19. Sadece Aksiyomlar Yeterli mi? HAYIR • Bu aksiyomların ve onlara bağlı teoremlerin faydalı bir model geliştirilmesinde bize yardımcı olabilmesi için, S örnek uzayındaki her bir A olayı için olasılığın hesaplanmasında kullanılacak bir FONKSİYONA ya da bir KURALA gereksinim vardır

20. Örnek Uzayı İçin Örnekler(Venn diyagramları)

21. Olasılık Fonksiyonu Nedir? • Bir olasılık fonksiyonu p[a]=f(x) tanım kümesi A, görüntü kümesi[0,1] ve aşağıdaki aksiyomları sağlayan bir küme fonksiyonudur: 1) p[a]0 2) p[s]=1 • Bir olasılık fonksiyonu bir şans değişkeninin hangi değeri ne olasılıkla alabileceğini gösteren fonksiyondur • Kesikli olasılık fonksiyonu için bkz. ? • Sürekli olasılık fonksiyonu için bkz.?

22. Şans değişkenleri için söz konusu olan örnek uzayları üç türde olabilir, Bunlar: • Sayılabilir sonlu örnek uzayı (Klasik Olasılık Modeli) • Zarın üst yüzüne gelen sayı • 2) Sayılabilir sonsuz örnek uzayı (Kesikli Şans değişkeni Modelleri) • Altı gelinceye kadar yapılan deneme sayısı • Bir günde doğan çocuk sayısı • 3) Sayılamayan sonsuz örnek uzayı(Sürekli Şans değişkeni Modelleri) • İki uçağın inişi arasında geçen süre

23. Sonlu Örnek Uzayları İçin Olasılık Modeli • S1,S2,...,Snbir s kesikli örnek uzayındaki n adet örnek noktası olsun. Aşağıdaki şartlar sağlandığı durumda P fonksiyonu eşit olasılıklı olasılık fonksiyonu olarak adlandırılır: 1)p(s1)=p(s2)=....=P(sn)=1/n 2)siörnek noktalarının her hangi na tanesini içeren bir A olayı için; P(a)=nA/n

24. İlk şart; n adet noktanın her birinin eşit olasılıklı ve bu nedenle her birinin olasılığının 1/n olduğunu belirtir. • İkinci şart; n adet örnek noktasından nA tanesini içeren bir olayın olasılığının nA/n olduğunu belirtir. • ÖRNEK: Zarın çift gelmesi olayının olasılığı. S={1,2,3,4,5,6} n=6 A={2,4,6} nA=3 P(A)=3/6

25. Örnek Uzayı ve Olay Sayısını Belirleyen Sayma Yöntemleri • Klasik olasılığın diğer bir ifade ile eşit olasılıklı olayların geçerli olduğu durumlarda: • Örnek uzayının eleman sayısı • İlgilenilen olayın eleman sayısının belirlenmesi gereklidir. Kullanılan iki temel prensip; 1) Toplama yöntemi 2) Çarpma yöntemi

26. Toplama Yöntemi • Bir A olayı m farklı şekilde, başka bir B olayı da n farklı şekilde oluşabilen ayrık olaylar ise; A veya B olayı n+m farklı şekilde oluşabilir. ÖRNEK: A olayı iskambil destesindeki Kupa kartlarını, B olayı ise Maça kartlarını tanımlamış ise çekilen bir kartın Maça ya da Kupa olma olay sayısı: 13+13=26

27. Çarpma Yöntemi • Bir A olayı m farklı şekilde, başka bir B olayı da n farklı şekilde oluşabilen ve aynı anda oluşmaları mümkün olaylar ise; A ve B olayı n*m farklı şekilde oluşabilir. ÖRNEK: bir desteden çekilen iki kartın birinin kupa diğerinin maça olması kaç farklı şekilde gerçekleşebilir? 13*13=169.

28. Örnek Uzayı Ve Olay Sayısının Büyük Olduğu Durumlar Örnek uzayı ve olay sayısının büyük olduğu durumlarda kullanılan sayma yöntemleri; • Permutasyon • Kombinasyon

29. İadeli Örnekleme: Bir popülasyondan örnek alırken alınan bir birimlik örnek eğer bir sonraki seçimde tekrar populasyona dahil ediliyorsa yani örneğe girme şansı yine varsa bu tip örneklemeye iadeli örnekleme denir. İadesiz Örnekleme: Bir popülasyondan örnek alırken alınan bir birimlik örnek eğer bir sonraki seçimde tekrar populasyona dahil edilmiyorsa yani bir sonraki örnekte gözlenme şansı yoksa bu tip örneklemeye iadesiz örnekleme denir.

30. Permütasyon • Sıraya konulacak x adet nesne olsun ve her biri sadece bir kez kullanılsın kaç değişik dizilim yapılabilir? ............ X nesnenin mümkün sıralamalarının sayısı: X(x-1)(x-2)...(2)(1)=x! X X-1 X-2 2 1

31. PERMÜTASYON TANIM: n tane nesne arasından seçilmiş x tane nesnenin permütasyon sayısı , toplam n tane nesne arasından x tane nesne seçilir ve bunlar sıraya konulursa ortaya çıkabilecek sıralamaların sayısıdır ve şu şekilde hesaplanır: • Kullanıldığı durumlar • İadesiz örnekleme • Örneğe çıkış sırası önemli

32. ÖRNEK: İçinde M tane topun bulunduğu kutudan geri atılmadan değişik sırayla çekilen n hacimli örneklerin sayısı P(M,n) tanedir. M=4, n=3 ise, örnek sayısı=P(4,3)=24 (1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4) (1,3,2),(1,4,2),(1,4,3),(2,4,3) (2,1,3),(2,1,4),(3,1,4),(3,2,4) (2,3,1),(2,4,1),(3,4,1),(3,4,2) (3,2,1),(4,1,2),(4,1,3),(4,3,2) (3,1,2),(4,2,1),(4,3,1),(4,2,3) Eğer örnekleme iadeli olarak yapılsaydı seçilebilecek toplam örnek sayısı Mn olacaktı 43=64

33. Kombinasyon • Tanım: n nesne arasından seçilen x tanesinin kombinasyon sayısı ,yapılabilecek olanaklı seçimlerin sayısıdır. Bu sayı şu şekilde hesaplanır: • Kullanıldığı durumlar • İadesiz örnekleme • Örneğe çıkış sırası önemsiz

34. ÖRNEK: M topun bulunduğu kutudan geri atılarak çekilen n hacimli örnek sayısı C(M,n) M=4 , n=3 ise, örnek sayısı= C(4,3)=4 (1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4) (1,3,2),(1,4,2),(1,4,3),(2,4,3) (2,1,3),(2,1,4),(3,1,4),(3,2,4) (2,3,1),(2,4,1),(3,4,1),(3,4,2) (3,2,1),(4,1,2),(4,1,3),(4,3,2) (3,1,2),(4,2,1),(4,3,1),(4,2,3) ilgilenilmiyor

35. Şartlı Olasılık A ve B gibi iki olaydan B olayının gerçekleştiği bilindiğinde A olayının gerçekleşmesi olasılığına A olayının şartlı olasılığı denir . P(A/B) ile gösterilir.

36. Örnek:Hamburgerci zincirinin müşterilerinden %75 hardal %80 i ketçap %65 i ise her ikisini birden kullanıyorsa, bir ketçap kullanıcısının hardal kullanma olasılığı nedir? A olayı: Müşteri hardal kullanıyor B olayı: Müşteri ketçap kullanıyor olsun P(A) =0.75, P(B) =0.80 P(A B)=0.65 Bir ketçap kullanıcısının hardal kullanma olasılığı :

37. Şartlı olasılıkların Bilindiği durumlarda tek bir olayın olasılığının bulunması Birbirini engelleyen olayların bileşiminin olasılığı toplama kuralına göre

38. Bir ilaç üç fabrika tarafından üretilmektedir1. Fabrikanın üretimi 2. Ve 3. Fabrikanın üretiminin 2 katıdır.Ayrıca 1. Ve 2. Fabrikalar% 2, 3. Fabrika % 4 oranında bozuk ilaç üretmektedir. Üretilen tüm ilaçlar aynı depoda saklandığında bu depodan rast gele seçilen bir ilacın bozuk olma olasılığı nedir. A= Seçilen ilacın bozuk olması B1= “ 1. Fabrikada üretilmesi B2= “ 2. “ B3= “ 3. “ P(A)=(0.02)(0.5)+(0.02)(0.25)+(0.04)(0.25)= 0.025

39. A P(A)=(0.02)(0.5)+(0.02)(0.25)+(0.04)(0.25)= 0.025

40. Bayes Teoremi Sonucun bilindiği durumda sebebin hangi olasılıkla hangi olaydan meydana geldiği ile ilgilenir. Yukarıdaki birinci örnekte depodan rast gele seçilen bir ilacın bozuk çıkması halinde 1.fabrikadan gelmesinin olasılığı araştırıldığında Bayes Teoremine ihtiyaç vardır.

41. =0.40

42. Bağımsız Olaylar Ele alınan olaylardan birinin gözlenip gözlenmemesi olasılığı diğer bir olayın ortaya çıkıp çıkmama olasılığını etkilemiyorsa bu olaylara bağımsız olaylar denir. Olur. Ancak B olayının meydana gelme olasılığı A olayının meydana gelme olasılığına bağlı değil ve iki olay aynı anda meydana gelebiliyor ise olur

43. Bütün lisans diplomalarının %48 inin kadınlar tarafından alındığı , bütün lisans diplomalarının % 17.5 i işletme dalında ve %4.7 si işletme işletme dalında kadınlara verilmektedir. “Lisans diploması alan kadındır” ve “Lisans diploması işletme dalındadır” olayları istatistiksel olarak bağımsız mıdır inceleyiniz P(A)=0.48 P(B)=0.175 P(A)P(B)=(0.48)(0.175)=0.084 Olduğundan iki olay bağımsız değildir. P(A/B) =0.047/0.175=0.269

44. 1 2 B A 3 4 Yukarıdaki elektrik devresinde her anahtarın herhangi bir anda kapalı olması olasılığı p ile gösterilmiştir. Buna göre A ve B noktalarına gerilim uygulandığında akım geçme olasılığı nedir

45. A : Akım geçmesi olayı S1 : Birinci anahtarın kapalı olması olasılığı S2 :İkinci “ “ “ “ S3 :Üçüncü “ “ “ “ S4 :Dördüncü” “ “ “ Çözüm: P(A)= p2+p2-p4

46. ŞANS DEĞİŞKENİ Şans Değişkeni, belirli bir tanım aralığında hangi değeri alacağı önceden bilinmeyen ve bu değeri belli olasılıklarla alabilen değişken olarak tanımlanır

47. Kesikli Şans Değişkenleri Sayılabilir sayı değerleri ile ifade edilen şans değişkenleridir. Tanımlı oldukları aralıkta sadece tamsayı değerleri alabilirler. Örnek: Bir satış elemanının bir haftada yaptığı otomobil satış miktarı (Poisson) Bir kutu ampuldeki defolu ampul sayısı (Binom) Bir sekreterin bir sayfa yazıda yaptığı hata sayısı (Poisson) Bir ailenin doğan 5. Kız çocuğunun 3. kız çocuğu olması ( Negatif Binom)

48. Kesikli Şans Değişkeninde Olasılık X, tesadüfi değişken ve x1,x2,..,xn bu tesadüfi değişkenin alabileceği değerler olsun X tesadüfi değişkeninin herhangi bir x değerini alma olasılığı Pr{X=x} şeklinde gösterilir. Bu olasılık X in dağılım ya da olasılık kanunu diye adlandırılır. Kesikli X değişkeninin hangi değerleri hangi olasılıklarla alacağını gösteren fonksiyona olasılık fonksiyonu denir. Bir fonksiyonun kesikli olasılık fonksiyonu olabilmesi için 1.P(x) 0 , tüm x değerleri için 2. Olması gerekir

49. Kesikli Şans Değişkeninin Beklenen Değeri Buradaki gösterim toplama işleminin x in alabileceği bütün değerleri kapsadığı anlamına gelir. Bir şans değişkeninin beklenen değeri aynı zamanda ortalamasıdır.Ayrıca, . olup. Genel olarak;

50. Kesikli Şans Değişkeninin Varyansı Populasyon varyansı; x şans değişkeninin populasyon ortalaması ‘den ortalama karesel uzaklığı olarak ifade edilir.X bir şans değişkeni olduğundan karesel uzaklık da bir şans değişkenidir.X şans değişkeninin ortalamasında kullanılan mantıktan yola çıkarak ifadesinin beklenen değerini; ile her bir x değerine karşı gelen olasılığın P(x) çarpımı ile bulabiliriz. Bu ifade ortalamadan karesel uzaklığın beklenen değeri olarak adlandırılır.