OLASILIK

1. OLASILIK • Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. • Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi seçilen örneklerin şansa bağlı olarak farklılıklar göstermesi ve bunun sonucunda her deneyde farklı sonuçlarla karşılaşılmasıdır. • Olasılık, herhangi bir deneyin sonucunda gözlenebilecek farklı durumlar ile hangi sıklıkla karşılaşılacağı bir başka ifadeyle ortaya çıkan olayların belirsizliğinin incelenmesi anlamına gelir.

2. Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. • 17 yy.’da şans oyunlarıyla birlikte kullanılmaya başlanan olasılık, uygulamalı matematiğin bir dalı olarak gelişim göstermiş ve istatistiksel yorumlamada önemli uygulama alanı bulmuştur. Örnekler: • Madeni paranın atılması sonucu tura gelme olasılığı, • Bir deste iskambil kağıdından çekilen 2 kağıdın en az birinin papaz olma olasılığı, • Nişanlı olan bir çiftin evlenme olasılığı.???

3. Temel Tanımlar ve Kavramlar- • Olay: Birden fazla basit olayın bir araya gelmesi sonucu oluşur. Örnek: hilesiz bir zarın atılması sonucu asal sayı gelmesi, içinde 5 sarı 7 lacivert bilye bulunan torbadan 2 top çekildiğinde birinin sarı birinin lacivert olması.

4. Örnek Uzayı: Bir deneyin sonucunda elde edilen tüm mümkün basit olaylarının oluşturduğu kümedir. Genellikle S ile tanımlanır. • Örnek: Hilesiz bir zarın atılması sonucu elde edilen örnek uzayı; • x: zarın üst yüzünde gelen sayı • S = { x; x = 1,2,3,4,5,6 }

5. Temel Tanımlar ve Kavramlar • Tekrarlanabilir Deney:Sonucu kesin olarak kestirilemeyen bir tek çıktı (şans değişkeni) oluşturan eylem, gözlem ya da süreçtir. Örnek: madeni para atılması, içinde 5 sarı 7 lacivert bilye bulunan torbadan bir top çekilmesi. • Basit Olay:Tek bir deneyde tek bir sonuç olarak gerçekleşen olaylardır. Örnek: hilesiz bir zarın atılması sonucu 2 gelmesi, bir deste iskambil kağıdından çekilen kağıdın maça as olması.P(A)

6. Bileşik olay:İki veya daha çok olayın birlikte veya birbiri ardına meydana gelmesine denir. P(A1 ve A2) İki zar atılır ve 4 gelmesi Bir zar arka arkaya iki defa atılır .Her iki atışta da 4 gelmesi. 52 lik desteden as ve aynı zamanda karo gelmesi.

7. Ayrık (bağdaşmaz) olay:Eğer A ve B gibi iki olay aynı anda gerçekleşemiyor ise bu olaylara ayrık(birbirini engelleyen) olaylar denir Örnek: Madeni para atılması sonucunda yazı veya tura gelmesi ayrık olaylardır. Bir sınavda geçilir veya kalınır. Temel Tanımlar ve Kavramlar

8. Bağdaşır olay:Bir olayın ortaya çıkması başka bir olayın ortaya çıkmasını engellemiyorsa iki veya daha çok olay birlikte meydana gelebiliyorsa bağdaşır olaydır. • Zarın atılması sonucu 1 ve tek sayı gelmesi. Çünkü aynı anda gerçekleşebilirler. • 52 lik desteden çekilen kartın maça olması kız olmasını engellemez.

9. Bağımsız olay: Bir olayın ortaya çıkması başka bir olayın ortaya çıkmasından ilişkisiz ise Ailede birinci çocuğun erkek olması ikincisinin de erkek olacağı anlamına gelmez. • Bağımlı olay: Bir olayın ortaya çıkması başka bir olayın ortaya çıkmasını etkiliyorsa • 52 lik bir desteden iadesiz arka arkaya iki kart çekiliyor. Kart sayısı önce 52 sonra 51. • 6 beyaz, 8 kırmızı top var. 3 top çekiliyor İade edilirse bağımsız, iade edilmezse bağımlı olaydır.

10. Eşit Olasılıklı Olaylar:Bir örnek uzayındaki tüm basit olayların ortaya çıkma olasılığı eşit ise bu olaylara eşit olasılıklı olaylar denir. • Örnek: Bir deste iskambil kağıdından bir adet kağıt çekilmesi.

11. 1) Tüm basit olayların olasılıkları 0 ile 1 arasındadır. 2) Bir örnek uzayındaki tüm basit olayların ortaya çıkma olasılıklarının toplamı 1’e eşittir. Olasılığın İki Temel Kuralı; DİKKAT!!!! Hiç bir olayın OLASILIĞI 1’den büyük olamaz!!!! • Bir A olayın ortaya çıkma olasılığı; P(A) şeklinde gösterilir.

12. Olasılığın Gelişim Aşamaları • Klasik (A Priori) Olasılık • Frekans (A Posteriori) Olasılığı • Aksiyom Olasılığı NOT:Bu sıralama olasılık teorisinin tarihsel gelişimini tanımlamaktadır.

13. Klasik Olasılık • Eğer bir örnek uzayın(S) adet ayrık ve eşit olasılıkla ortaya çıkan basit olaylardan oluşuyor ve örnek uzayındaki basit olaylardan n(A) adedi A olayının özelliğine sahip ise A’nın olasılığı: P(A) = n(A) / n(S) kesri ile elde edilir n(S): Örnek uzayı eleman sayısı n(A): Örnek uzayındaki A elemanı sayısı • Klasik olasılık TÜMDENGELİME dayanan çıkarımlar yaparak olasılığı bulur.

14. Örnek: Bir kapta 5 sarı, 5 lacivert ve 5 adet yeşil bilye bulunmaktadır. Çekilen bir bilyenin sarı olma olasılığı nedir? A: Çekilen bir bilyenin sarı olması n(S): Örnek uzayı eleman sayısı = 15 n(A): Örnek uzayındaki A elemanı sayısı = 5

15. Frekans Olasılığı • Araştırılan anakütle üzerinde n adet deney uygulanır. Yapılan bu deneylerde ilgilenilen A olayı n(A) defa gözlenmiş ise A olayının göreli frekansı (yaklaşık olasılığı): P(A) = n(A) / n olarak bulunur.

16. Örnek: Bir fabrikanın üretmiş olduğu televizyonların hatalı olma olasılığı p nedir? Önce örnek uzayı oluşturulur: S={sağlam,hatalı} Klasik olasılığa göre (eşit olasılıklı olaylar) p=0.5 olup gerçeği yansıttığı şüphelidir. Yapılması gereken örneklem alarak p = n(H) / n olasılığını hesaplamaktır.

17. Bazı Temel Olasılık Aksiyomları • Bir olayın olasılığı 0 ile 1 arasındadır. Örneğin bir para atıldığında yazı gelme olasılığı 0.5 dir. • Bir örnek uzayındaki tüm sonuçların olasılıklarının toplamı 1 e eşittir. Örnek: İki para atılma olayında örnek uzayı: • Bir olayın olasılığı 0 ile 1 arasındadır. Örneğin bir para atıldığında yazı gelme olasılığı 0.5 dir. • Bir örnek uzayındaki tüm sonuçların olasılıklarının toplamı 1 e eşittir. Örnek: İki para atılma olayında örnek uzayı: Her sonucun gelme olasılığı ¼ dür. 4 sonuç olduğuna göre ¼+1/4+1/4+1/4=1. Her sonucun gelme olasılığı ¼ dür. 4 sonuç olduğuna göre ¼+1/4+1/4+1/4=1. • P(S)=1 örnek uzağının olasığı 1 dir. • P (  ) = 0 boş kümenin olasılığı sıfırdır. • A olayının tümleyeni olarak gösterilir. • P(S)=1 örnek uzağının olasığı 1 dir. • P (  ) = 0 boş kümenin olasılığı sıfırdır. • A olayının tümleyeni olarak gösterilir.

18. Örnek Uzayı ve Olay Sayısını Belirleyen Sayma Yöntemleri • Klasik olasılığın diğer bir ifade ile eşit olasılıklı olayların geçerli olduğu durumlarda: • Örnek uzayının eleman sayısı, • İlgilenilen olayın eleman sayısının belirlenmesi gereklidir. Kullanılan iki temel prensip; 1) Toplama Yöntemi 2) Çarpma Yöntemi

19. Bağımlı olayda çarpma kuralı: Bağımlı iki olaydan A2 olayı A1 olayından sonra ortaya çıktığında olayların birlikte gerçekleşme olasılığıdır. A2 nin şartlı olasılığı • 8 boş 2 ikramiyeli bilet var. Bir kişi 2 bilet almış her iki biletinde ikramiye kazanma olasılığı nedir? • 1.bilet: P(A1)=2/10 Geriye 8 boş ve 1 ikramiyeli bilet kaldı.

20. Bağımsız olayda çarpma kuralı: Birbirinden bağımsız A1 ve A2 olaylarının birlikte gerçekleşmesi olasılığı bu olayların basit olasılıklarının çarpımına eşittir. • Aynı anda atılan iki zarın ikisinin de 2 gelmesi Alinin 25 yıl sonra hayatta olması olasılığının 0.60, kardeşli Hasan’ın 25 yıl sonra hayatta olması olması olasılığının 0.50 olduğunu varsayarsak 25 yıl sonra ikisinin de hayatta olma olasılığı nedir.

21. Bağdaşır olayda toplama kuralı: • İki olay bağdaşır olduğunda A1 olayının veya A2 olayının ortaya çıkması, ya A1 olayının ya A2 olayının ya da A1 ve A2 olaylarının her ikisinin birlikte gerçekleşmesi anlamına gelir. • 52 lik bir desteden bir kız veya bir maça çekme olasılığı nedir?

22. Bağdaşmaz olaylarda toplama kuralı: • A1 ve A2 bağdaşmaz olaylar ise A1 veya A2 olayının ortaya çıkması olasılığı • Bir zarın 2 veya 6 gelmesi olasılığı nedir?

23. Örnek Uzayı ve Olay Sayısının Büyük Olduğu Durumlar Örnek uzayı ve olay sayısının büyük olduğu durumlarda kullanılan sayma yöntemleri; • Permütasyon • Kombinasyon

24. Permütasyon • Sıraya konulacak n adet nesne olsun ve her biri sadece bir kez kullanılmak üzere kaç farklı sıralama yapılabilir? ............ n nesnenin mümkün sıralamalarının sayısı: n(n-1)(n-2)...(2)(1)=n! nPn = n! n n-1 n-2 2 1

25. n tane nesne arasından seçilmiş x tane nesnenin permütasyon sayısı …..olarak ifade edilir. • Toplam n tane nesne arasından x tane nesne seçilir ve bunlar sıraya konulursa ortaya çıkabilecek sıralamaların sayısıdır ve şu şekilde hesaplanır: • Kullanıldığı durumlar • İadesiz örnekleme • Örneğe çıkış sırası önemli

26. Örnek: 8 atletin katıldığı 100 metre yarışmasında ilk üç dereceye girenler kaç farklı şekilde belirlenir ? Örnek: 2,3,5,6,7 ve 9 sayılarını kullanarak 4 basamaklı rakamları birbirinden farklı kaç sayı oluşturulur? =360

27. Kombinasyon • n adet nesne arasından seçilen x tanesinin kombinasyon sayısı ile gösterilir. Sıralama önemli olmaksızın tüm durumların sayısı olarak ifade edilir. Bu sayı şu şekilde hesaplanır: • Kullanıldığı durumlar; • İadesiz örnekleme • Örneğe çıkış sırası önemsiz

28. Örnek: Beş kişilik bir topluluktan üç kişilik bir komisyon kaç farklı şekilde seçilir ? Örnek: 10 bay ve 5 bayan arasından 2 bay ve 1 bayan üye içeren bir kurul kaç farklı şekilde oluşturulur? ( 10 bay arasından 2 bay ) ( 5 bayan arasından 1 bayan ) Çarpım kuralı uygulanarak 45 * 5 =225 farklı şekilde oluşturulur.

29. Örnek: 10 işletme ve 8 iktisat öğrencisi arasından 5 kişilik bir komisyon oluşturulacaktır. Rasgele bir seçim yapıldığında komisyonda çoğunlukla işletme öğrencisi olma olasılığı nedir? 5 işletme 0 iktisat, 4 işletme 1 iktisat, 3 işletme 2 iktisat Örnek: Ali ve Can isimli iki arkadaş zar atarak oyun oynuyorlar. Oyuna Ali başlıyor. Zar 1 veya 2 gelirse oyunu kazanıyor. 3,4 veya 5 gelirse oyuna devam etme hakkını kazanıyor. 6 gelirse zar atma sırası Can’a geçiyor. Ali’nin bu oyunu kazanma olasılığı bulunuz. Ali’nin oyunu kazanma olasılığı p olsun, • Ali 1 veya 2 atar oyunu kazanır, olasılık : 2 / 6 • 3,4 ve 5 atar oyuna tekrar devam eder ve sonra oyunu kazanır olasılık: (3/6)p • İlk atışta 6 atar oyun cana geçer ve can oyunu kaybeder olasılık (1/6)(1-p) p = 2/6 + (3/6)p + (1/6)(1-p) → p = 3/4

30. Ağaç Diyagramı • Her birinin sonucunun sonlu sayıda olduğu birden fazla deneyin tüm mümkün sonuçlarını görsel bir şekilde ortaya koymak için kullanılır.

31. Örnek: Ali ile Can masa tenisi oynamaktadırlar. 3 set kazananın galip geleceği maçın ortaya çıkabilecek tüm mümkün sonuçlarını gösteren ağaç diyagramını oluşturunuz. Olası Durumlar; AAA,CCC AACA,CCAC ACAA,CACC ACCC,CAAA ACACA,CACAC AACCA,CCAAC AACCC,CCAAA ACACC,CACAA ACCAA,CAACC ACCAC,CAACA 20 ADET

32. Şartlı Olasılık • Bağımlı olaylardan birinin (A1) gerçekleştiği bilindiğine göre , diğerine (A2) bağlı meydana olasılığıdır. • A2 nin A1 e bağlı şartlı olasılığı. • A1 in gerçekleşmiş olması şartıyla A2nin gerçekleşme olasılığıdır.

33. Bir öğrencinin iktisat dersinde başarılı olma olasılığı P(A1)=0.25. Aynı öğrencinin hem iktisat hem Matematikte başarılı olma olasılığı P(A1 ve A2)=0.15. Öğrencinin İktisatta başarılı olması şartıyla Matematikte de başarılı olma olasılığı nedir?

34. Örnek: Bir üniversitede okuyan öğrencilerin % 70’i tiyatroya, % 35 ise sinemaya ilgi duymaktadır. a) Bir öğrencinin sinemaya ilgi duyduğu bilindiğinde tiyatroya ilgi duyma olasılığı 0,40 ise her iki aktiviteye birden ilgi duyma olasılığı nedir? b) Bir öğrencinin tiyatro veya sinemaya ilgi duyma olasılığı nedir? T:Tiyatroya ilgi duyma S:Sinemaya ilgi duyma P ( T ) = 0,70 P( S ) = 0,35 a) P ( T / S ) = 0,40 P (T ∩ S ) =? b)

35. Bayes Teoremi • Sonucun bilindiği durumda sebebin hangi olasılıkla hangi olaydan meydana geldiği ile ilgilenir. • Ele alınan örnekte depodan rast gele seçilen bir ilacın bozuk çıkması halinde 1.fabrikadan gelmesinin olasılığı araştırıldığında Bayes Teoremine ihtiyaç duyulmaktadır.

36. Örnek: Bir ilaç üç fabrika tarafından üretilmektedir.1. Fabrikanın üretimi 2. ve 3. fabrikaların üretiminin 2 katıdır. Ayrıca 1. ve 2. fabrikalar % 2, 3. fabrika % 4 oranında bozuk ilaç üretmektedir. Depodan rasgele seçilen bir ilacın bozuk olduğu bilindiğine göre 1 nci fabrikadan gelmiş olma olasılığı; A = Seçilen ilacın bozuk olma olasılığı Bi= Seçilen ilacın i nci fabrikada üretilmesi (0.50)

37. Kesikli Şans Değişkenlerinin Olasılık Fonksiyonları X, şans değişkeni ve x1,x2,..,xn bu tesadüfi değişkenin alabileceği değerler olsun X tesadüfi değişkeninin herhangi bir x değerini alma olasılığı Pr{X=x} şeklinde gösterilir. Bu olasılık X in dağılım ya da olasılık kanunu diye adlandırılır. Kesikli X değişkeninin hangi değerleri hangi olasılıklarla alacağını gösteren fonksiyona olasılık fonksiyonu denir. Bir dağılımın kesikli olasılık fonksiyonu olabilmesi için 1.P(x) 0 , tüm x değerleri için 2. şartlarını sağlaması gerekir.

38. Sürekli Şans Değişkenlerinin Olasılık Fonksiyonları • Sürekli değişkenlerdeki olasılık fonksiyonuna sürekli olasılık fonksiyonu, olasılık yoğunluk fonksiyonu, veya sadece yoğunluk fonksiyonu denir. • Sürekli bir şans değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) ile gösterilir. Herhangi bir fonksiyonun olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için; • X’in tanım aralığı için f(xi) ≥ 0 , • şartlarını sağlaması gereklidir.

39. Kesikli Olasılık Dağılımları • Bernoulli • Binom • Hipergeometrik • Geometrik • Negatif Binom (Paskal) • Kesikli Uniform • Poisson

40. KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI • Bernoulli Dağılımı • Binom Dağılımı • Poisson Dağılımı 40

41. Bernoulli Dağılımı Bir şans değişkeninin bernoulli dağılımı göstermesi için ilgilenilen süreçte bernoulli deneyinin varsayımlarının sağlanması gereklidir. Bernoulli Deneyinin Varsayımları: Deneyler aynı koşullarda tekrarlanabilirlik özelliğine sahip olmalıdır. Deneylerin yalnız iki mümkün sonucu olması gereklidir. Başarı olasılığı (p), deneyden deneye değişmemelidir. (Başarısızlık olasılığı q = 1-p ile gösterilir) Denemeler birbirinden bağımsız olmalıdır. 41

42. Örnekler: • Bir fabrikada üretilen bir ürünün hatalı veya sağlam olması, • Bir madeni para atıldığında üst yüze yazı veya tura gelmesi, • Hilesiz bir zar atıldığında zarın tek veya çift gelmesi, • Bernoulli deneyinde ortaya çıkan sonuçlardan bir tanesi başarı durumu diğeri ise başarısızlık olarak ifade edilir. Bernoulli şans değişkeninin dağılımı ifade edilirken deneyin sadece 1 kez tekrarlanması gereklidir. 42

43. Bernoulli dağılışında x şans değişkeni başarı durumu için 1, başarısızlık durumu için ise 0 değerini alır. • S = { x / 0,1 } Bernoulli Dağılımının Olasılık Fonksiyonu; m = E ( x ) = p s2= Var ( x ) = p (1-p) = pq 43

44. Örnek: Bir deste iskambilden çekilen bir kağıdın as olup olmaması ile ilgileniyor. As gelmesi başarı olarak ifade edildiği durum için olasılık fonksiyonunu oluşturunuz. x = 0 (as gelmemesi) x = 1 ( as gelmesi) S = { x / 0,1 } P( X = 0 ) = 48 / 52 P( X = 1 ) = 4 / 52 44

45. Binom Dağılımı Birbirinden bağımsız n adet bernoulli deneyinin bir araya gelmesi sonucunda binom deneyi gerçekleşir. Binom deneyinin gerçekleşmesi için bernoulli deneyinin bütün varsayımlarının sağlanması gereklidir. Binom şans değişkeni x, n adet denemedeki başarı sayısını ifade etmektedir. n denemede en az 0, en fazla n adet başarı gözlenebileceğinden S = { x / 0,1,2,……,n } 45

46. Binom Olasılık Fonksiyonunun Elde Edilmesi Gerçekleştirilen her bir Bernoulli deneyi birbirinden bağımsızdır ve olasılık fonksiyonu olarak ifde edilmiş idi. Bernoulli deneyi n defa tekrarlandığında toplam x adet başarı olmasının olasılığı, x adet başarı olasılığı (p) ile n - x adet başarısızlık olasılığının (q=1-p) çarpımını içermelidir. 46

47. Başarı ve başarısızlıkların oluşum sırası yani sıralama önemsiz ise farklı şekilde ortaya çıktığı için ; olarak elde edilir. 47

48. Örnekler: • Bir fabrikanın deposundan seçilen 10 üründen 2’sinin hatalı olması , • Bir madeni para 5 kez atıldığında hiç tura gelmemesi üst yüze yazı veya tura gelmesi, • Hilesiz bir zar 4 kez atıldığında zarın en çok 1 kez çift gelmesi, 48

49. Binom Dağılımının Karakteristikleri Aritmetik Ortalama n = 5 p = 0.1 P(X) .6 .4 .2 .0 X 0 1 2 3 4 5 Varyans n = 5 p = 0.5 P(X) .6 .4 .2 .0 X 0 1 2 3 4 5 49

50. Örnek: Bir işletmede üretilen ürünlerin % 6’sının hatalı olduğu bilinmektedir. Rasgele ve iadeli olarak seçilen 5 üründen, 1 tanesinin hatalı olmasının olasılığını, p = 0,06 1- p = 0,94 n = 5 P ( X = 1 ) = ? 50