Posloupnosti

1. Posloupnosti • Posloupnost – v běžném životě zaznamenáváme údaje v určitých • časových okamžicích. Registrační přístroje dodávají sérii čísel. Čísla • závisí na okamžiku, kdy byla zaznamenána – tj. závisí na pořadí. Může- • me je zapisovat do tabulky, nebo např. : • Kde ti jsou časové okamžiky, kdy byly údaje a zaznamenány. Jsou-li • časové intervaly mezi měřeními stejné (nebo na jejich velikosti nezáleží), • můžeme zápis zkrátit na • Podobných situací se v praxi vyskytuje mnoho (měření teploty, zazname- • návání výše vkladu na účtu každý den apod.). Potřeba matematického • aparátu pro práci s podobnými údaji je více než zřejmá. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Pro projekt „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil (gdermog@seznam.cz). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci CC-BY-SA.

2. Definice 8. Posloupnosti Zobrazení z množiny přirozených čísel do množiny Af : N → A nazýváme posloupností. Pokud je A číselná množina, nazýváme podle ní posloupnost celou, racionální, reálnou nebo komplexní. • Místo f(n) obvykle píšeme an. Celou posloupnost zapisujeme obvykle • nebo zkráceně • Tento zápis značí, že indexy n postupně probíhají všechna přirozená • čísla (od jedničky do nekonečna). Místo n lze samozřejmě použít i li- • bovolné jiné písmeno. • Lze samozřejmě zavést i konečnou posloupnost jako zobrazení

3. Definice 10. Definice 9. Posloupnosti • Například přiřadíme-li každému přirozenému číslu jeho převrácenou • hodnotu, získáme posloupnost Říkáme, že posloupnost an je konstantní,pokud pro všechna přirozená n platí an= an+1. Říkáme, že posloupnost an je rostoucí, ostře rostoucí, klesající, ostře klesající, pokud pro všechna přirozená n platí an≤ an+1, resp. an < an+1, an ≥ an+1, an > an+1. Všechny tyto typy posloupností se souhrnně nazývají monotónní. • V literatuře se uvádějí i názvy neklesající, rostoucí, nerostoucí, klesající.

4. 2.0 1.0 0 0 5 10 15 20 Monotónní posloupnosti • Posloupnosti lze zaznamenat i do grafu. Na vodorovnou osu obvykle vy- • nášíme přirozená čísla (N), na osu svislou pak prvky množiny A (hodnoty). • V následujícím grafu jsou zaneseny příklady monotónních posloupností: Ostře klesající Ostře rostoucí

5. 2.0 Konstantní 1.0 0 0 5 10 15 20 Monotónní posloupnosti • Posloupnosti lze zaznamenat i do grafu. Na vodorovnou osu obvykle vy- • nášíme přirozená čísla (N), na osu svislou pak prvky množiny A (hodnoty). • V následujícím grafu jsou zaneseny příklady monotónních posloupností: Klesající Rostoucí

6. Příklad Jednoduchým výpočtem jsme zjistili, že pro libovolné n platí an < an+1, což znamená, že posloupnost je ostře rostoucí: Monotónní posloupnosti Zjistěte, zda posloupnost je monotónní a pokud ano, jakého typu. Je nutno zjistit, jaký vztah mezi sebou mají členy ana an+1 pro libovolné přirozené n. Porov- náme tedy dva sousední členy (pro libovolné n):

7. Příklad Monotónní posloupnosti Zjistěte, zda následující posloupnosti jsou monotónní a pokud ano, jakého typu:

8. 1.0 Definice 11. 0.0 5 10 15 20 -1.0 Omezené posloupnosti Posloupnost nazýváme omezenou, jestliže tedy, pokud lze všechny její členy uzavřít mezi nějaké dvě konstanty. Posloupnost toto nesplňující naz. neomezená. Posloupnosti splňující jen jednu z nerovností naz. omezenézdola resp. shora.

9. Příklad Omezené posloupnosti Zjistěte, zda je následující posloupnost omezená: Je nutno zjistit, zda je možné libovolný člen anuzavřít mezi –K a K. Zkoumáme horní a dolní „uzávěru“ zvlášť : Nelze! Rovnici lze splnit pouze pro konečný počet přirozených čísel. Posloupnost proto není omezená. Platí pro libovolné kladné K a přirozené n. Zde není problém. Lze zvolit takové kladné K, aby nerovnice byla splněna pro každé n?

10. Příklad Omezené posloupnosti Zjistěte, zda následující posloupnosti jsou omezené:

11. Definice 12. DÚ Operace s posloupnostmi Buďte an, bn číselné posloupnosti. Potom součet, rozdíl, náso- bek a podíl an a bn nazveme posloupnosti utvořené následovně: • Jsou-li posloupnosti an, bn rostoucí (klesající), pak i jejich součet je ros- • toucí (klesající). Dokažte předchozí tvrzení. Rozmyslete si, zda podobné tvrzení platí i pro rozdíl, součin a podíl posloupností.

12. Rekurentně zadané posloupnosti • Určit posloupnost znamená určit její libovolný člen an. To lze udělat v zá- • sadě dvěmi způsoby. Buďto člen explicitně předepsat (an=n2-2n+1), nebo • zkonstruovat n-tý člen za pomoci již známých předchozích členů. Např.: Ekvivalence zápisů první posloupnosti je zřejmá, ekvivalenci zápi- sů druhé posloupnosti dokážeme matematickou indukcí: Pro první člen ekvivalence platí, předpokládáme-li, že platí pro n-tý člen, prokažme platnost i pro (n+1)-tý člen:

13. Příklad Rekurentně zadané posloupnosti Kolik nejméně tahů je třeba vykonat pro přerovnání Hanoiských věží s n disky? Označme Mn nejmenší možný počet tahů pro n disků. Zřejmě M1 = 1. To není zajímavé, prozkoumejme případ, kdy n > 1. Abychom mohli přemístit největší disk na další kolík, je třeba nejprve přemístit n – 1 disků na jiný kolík. K tomu potřebujeme Mn-1 tahů. Pak jeden tah spotřebujeme na pohyb největšího disku a následuje dalších Mn-1 tahů, kdy přemísťujeme menší disky zpět na největší. Dohromady tedy 2Mn-1 + 1 tahů. Ale již jsme ukázali, že a tedy platí, že Mn = 2n-1 .

14. Definice 13. Aritmetická posloupnost Buď (an )n=1∞ číselná posloupnost reálných čísel, pro kterou platí Pak se (an )n=1∞ nazývá aritmetická a číslo d diference této posloupnosti. • Všechny členy aritmetické posloupnosti jsou určeny prvním členem a dife- • rencí pomocí vztahu an = a1 + (n-1) x d . • Známe-li libovolný člen posloupnosti (r-tý), pak každý jiný (s-tý) lze vypočí- • tat vztahem as = ar + (s-r) x d .

15. Karl Friedrich Gauss 1777-1855 Příklad Aritmetická posloupnost • Součet prvních n členů aritmetické posloupnosti • lze vypočítat pomocí vzorce Určete všechny aritmetické posloupnosti (an )n=1∞ takové, že pro součet prvních n členů platí Sn = 7n2 – 3n. Pro n = 1 je s1 = a1 dle vztahu pro součet prvních n členů a dle zadaného vztahu sn = 4. Tedy a1 = 4. Pro n = 2 je S2 = a1 + a2, dle zadaného vztahu s2 = 22, tj. 4 + a2 = 22 čili a2 = 18. Proto d = a2 – a1 = 14. Hledaná řada je

16. Definice 14. DÚ Geometrická posloupnost Buď (an )n=1∞ číselná posloupnost reálných čísel, pro kterou platí Pak se (an )n=1∞ nazývá geometrická a číslo q kvocient této posloupnosti. • Všechny členy geometrické posloupnosti jsou určeny prvním členem a • kvocientem pomocí vztahu an+1 = qn x a1. • Součet prvních n členů geom. posloupnosti (q ≠ 1) spočítáme dle vzorce Dokažte mat. indukcí

17. horní mez dolní mez horní mez dolní mez sčítací index součinový index Zkrácené psaní součtů a součinů • Pro přehlednost a zkrácení zápisu se většinou používají symboly tato velká řecká písmena (sigma, pí) se v daném výrazu čtou jako suma a produkt. S jejich pomocí se zkracují zápisy součtů a součinů následovně:

18. Zkrácené zápisy součtů a součinů Příklady na zápis sum a produktů

19. Zkrácené zápisy součtů a součinů Občas bude nutné sčítat od jiného indexu než od 1, proto lze trochu obecněji psát Dále se formálně definuje, že v případě, kdy horní mez sumy/produktu je menší než dolní (p > n), pak

20. Zkrácené zápisy součtů a součinů V dolní mezi lze udat dodatečné podmínky, například Sčítací resp. součinový index lze posunout, což znamená operaci

21. Zkrácené zápisy součtů a součinů Dále platí: Prohození pořadí sčítání odpředu dozadu Asociativní zákon Distributivní zákon

22. Asociativní zákon konstanta dovnitř Závorka je zbytečná roznásobení Zkrácené zápisy součtů a součinů Dále platí:

23. DÚ Zkrácené zápisy součtů a součinů Příklady posunutí sčítacích indexů (a mezí): Poslední krok dokaže matematickou indukcí

24. Příklad Zkrácené zápisy součtů a součinů Určete pro libovolné n hodnotu součtu Jak na toto snadno přijít? Dosaďme k = 0 Dosaďme k = -2

25. Příklad Zkrácené zápisy součtů a součinů Určete pro libovolné n hodnotu součtu Určete pro libovolné n hodnotu součtu

26. Příklad Zkrácené zápisy součtů a součinů Buď q libovolné reálné, n libovolné přirozené číslo. Ukažte, že platí Odtud po dosazení Z tohoto vzorce je ihned zřejmý součet prvních n členů geometrické posloupnosti.

27. Shrnutí • Posloupnost je zobrazení z přirozených čísel do množiny A • Posloupnost může být rostoucí, ostře rostoucí, klesající, ostře klesající • nebo konstantní – zkráceně monotónní • Posloupnost může být omezená nebo neomezená • Posloupnosti lze sčítat, odčítat, násobit a dělit po členech • Posloupnost lze zadat buď explicitně nebo rekurentně • Zvláštní případy posloupností jsou aritmetická a geometrická • Součty a součiny lze zkráceně zapisovat pomocí symbolů Σa π