Geometria Espacial Parte 1

1. Geometria EspacialParte 1 Cursinho Popular Paulo Freire Jaquicele Ap. da Costa- Graduanda em Matemática- UFV E-mail:jaquicele.costa@ufv.br

2. Reflexão “Tenha em mente que tudo que você aprende na escola é trabalho de muitas gerações. Receba essa herança, honre-a, acrescente a ela e, um dia, fielmente, deposite-a nas mãos de seus filhos. ” Albert Einstein

3. Poliedros Poliedro é um sólido geométrico cuja superfície é formada por polígonos que são suas faces e possuem dois a dois um lado comum. Um poliedro é considerado convexo quando: • Duas a duas das suas faces poligonais não são coplanares; • Cada lado da face poligonal é comum a duas, e somente,duas,faces poligonais;

4. Polígono não-convexo Polígono convexo • O plano que contém cada face poligonal divide o espaço de tal forma que todas as outras faces poligonais ficam num único semi-espaço. Ex:

5. Elementos de um poliedro • Faces:São os polígonos; • Arestas:são os lados dos polígonos; • Vértices:são os vértices dos polígonos.

6. Teorema de Euler V-A+F=2 Considere um polígono convexo com os seguintes elementos: • F:número de faces • A:número de arestas • V:número de vértices É válida a seguinte relação:

7. Exemplo 1: Determinar o número de vértices de um poliedro convexo que tem 2 faces quadrangulares e 8 faces triangulares

8. Soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo S=(V-2).360° Exemplo 2 Determinar a soma das medidas dos Ângulos das faces de um poliedro convexo com 30 arestas e 12 faces. Considerando um poliedro convexo com número V de vértices, é válida a seguinte relação:

9. Poliedros de Platão Para que um poliedro seja considerado de Platão é necessário que: • Todas as suas faces tenham o mesmo número (n) de arestas; • Dos vértices parta o mesmo número (m) de arestas.

10. Existem 5 classes de poliedros de Platão

11. Poliedros regulares Um poliedro é considerado regular se: • As faces são polígonos regulares e congruentes; • Os seus ângulos poliédricos são congruentes;

12. Todo poliedro convexo regular é um poliedro de Platão mas nem todo poliedro de Platão é convexo regular

13. Existem 5 tipos de Poliedros regulares

14. PRISMA É um poliedro convexo tal que duas faces são polígonos congruentes situados em planos paralelos e as demais faces são paralelogramos, por isso tem-se as arestas laterais congruentes.

15. Elementos de um prisma • bases:as regiões poligonais R e S • altura:a distância h entre os planos  • arestas das bases: os lados   (dos polígonos) • arestas laterais:os segmentos  • faces laterais: os paralelogramos AA'BB', BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A

16. Classificação de um prisma As arestas laterais são perpendiculares ás bases(as faces laterais são retângulos) Conforme a inclinação das arestas laterais podem ser: -Retos -Oblíquos As arestas laterais não são perpendiculares ás bases(as fazes laterais são paralelogramos)

17. Prisma reto X Prisma oblíquo

18. Classificação de um prisma Pelo número de arestas de uma das faces:

19. Prisma regular Prisma regular octogonal Quando um prisma é reto e suas bases são regulares, ele é chamado de prisma regular.

20. Área da superfície total do prisma reto É calculada somando-se as áreas das bases com a área da superfície lateral,isto é, AT=2.AB+AL Onde: AB =área da superfície da base AL =área da superfície da lateral

21. Volume do prisma reto O volume é calculado pelo produto da área da base(AB ) pela altura (b),isto é: V=AB .h • No prisma reto a altura tem a mesma medida que a aresta lateral

22. Compreensão da fórmula do volume do prisma reto- Princípio de Cavalieri Considere dois sólidos com bases num plano .Se qualquer planos ,paralelo a e secante aos sólidos,determinar nos mesmos superfícies com áreas iguais, podemos afirmar , pelo Principio de Cavalieri ,que os dois sólidos têm o mesmo volume.

23. Diagonais do paralelepípedo retângulo

24. CUBO

25. Cubo-Prisma regular limitado por 6 quadrados

26. Exercício Determine qual é o cubo que corresponde à planificação:

27. Quizz da Matématica 1-(Cesesp- PE)Considere os seguintes poliedros: A1:tetraedro A2:dodecaedro A3:icosaedro Assinale, entre as seguintes alternativas ,a falsa: a)O poliedro A1 tem as faces triangulares b)Opoliedro A2 tem 12 faces c) O poliedro A3 tem as faces triangulares d) O poliedro A2 tem as faces em forma de dodecágono e) O poliedro A3 tem 20 faces

28. 2-(PUC-SP)O poliedro que contém 20 vértices, 30 arestas e 12 faces denomina-se: a)Tetraedro b)Icosaedro c)Hexaedro d)Dodecaedro e)octaedro

29. 3-(Enem 2011)A resistência das vigas de dado comprimento é diretamente proporcional à largura (b) e ao quadrado da altura (d ) conforme a figura .A constante de proporcionalidade k varia de acordo com o material utilizado na sua construção.

30. Considerando-se S como a resistência, a representação algébrica que exprime essa relação é

31. 4-(Unesp) Se dobrarmos convenientemente as linhas tracejadas da figura, obteremos uma figura espacial cujo nome é: a)Pirâmide de base pentagonal b)paralelepípedo c)octaedro d)tetraedro e)prisma

32. 5-(PUC-SP)O número de vértices de um poliedro convexo que possui 12 faces triangulares é: a)4 b)12 c)10 d)6 e)8

33. 6-(FAAP-SP)Noticiou o Suplemento Agrícola do jornal O Estado de S.Paulo, em 6/9/2011, que a Secretaria de Agricultura e Abastecimento determinou que os produtores de tomates enviem a mercadoria ao Ceagesp usando caixas padronizadas do tipo K, cujas dimensões internas são 495 mm de comprimento, 355 mm de altura e 220 mm de largura. Cada medida tem uma tolerância ,para mais ou para menos de 3 mm. A diferença entre o volume máximo e o volume mínimo de cada caixa (em milímetros cúbicos) é: a)1 097 832 b)1 078 572 c)2 176 404 d)2 160 000 e)2 700 000

34. 7-Qual das seguintes alternativas é verdadeira? a)Num poliedro convexo com 8 vértices triédricos encontramos 10 arestas. b)Num poliedro convexo com 8 faces triangulares encontramos 10 arestas. c)Num poliedro convexo com 8 faces triangulares encontramos 10 arestas. d)Num poliedro convexo com 10 vértices sendo 4 pentáedricos e 6 triédricos,encontramos 9 faces. e)n.d.a

35. 8-(Vunesp)O volume de ar contido em um galpão com a forma e dimensões dadas pela figura abaixo é: a)288 b)384 c)480 d)360 e)768

36. 9-(PUC-SP)Um tanque de uso industrial tem a forma de um prisma cuja base é um trapézio isósceles. Na figura a seguir , são dadas as dimensões do prisma em metros: O volume desse tanque em metros cúbicos é: a)50 b)60 c)80 d)100 e)120

37. a)12 cm3 b)64 cm3 c)96 cm3 d)1216 cm3 e)1728 cm3 10-(ENEM 2010)Um porta-lápis de madeira foi construído no formato cúbico, seguindo o modelo ilustrado a seguir. O cubo de dentro é vazio. A aresta do cubo maior mede 12 cm e a do cubo menor, que é interno, mede 8 cm. O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de

38. Gabarito 1) D 2) E 3) C 4) D 5) E 6) C 7) B 8) B 9) D 10) D

40. Referências http://www.lago.com.br/colecoes/vitoriaregia/pdf_medio/ma/Dia_a_dia.pdf http://calculomatematico.vilabol.uol.com.br/geoespacial.htm http://dc143.4shared.com/img/jKEoImjh/preview.html http://www.algosobre.com.br/matematica/geometria-plana-prisma.html