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Método del punto fijo

Método del punto fijo. Angel Iván Carrillo Pérez David Limón Cantú Jessica Sosa Hernández. ¿Qué es?. Es un método iterativo que permite resolver sistemas de ecuaciones no necesariamente lineales.

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Método del punto fijo

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  1. Método del punto fijo AngelIván Carrillo Pérez David Limón Cantú Jessica Sosa Hernández

  2. ¿Qué es? • Es un método iterativo que permite resolver sistemas de ecuaciones no necesariamente lineales. • En particular se puede utilizar para determinar raíces de una función de la forma f(x), siempre y cuando se cumplan los criterios de convergencia. • El método de iteración de punto fijo, también denominado método de aproximación sucesiva, requiere volver a escribir la ecuación f(x)=0 en la forma x=g(x). • Si para cualquier función g(x) dada se puede encontrar un punto fijo, entonces cada problema de búsqueda de las raíces de f(x) = 0 tiene soluciones que corresponden precisamente a los puntos fijos de g(x)=x con g(x)=x-f(x)

  3. Teorema de punto fijo • Si g es una función continua en [a, b] y g(x) [a, b] para todo x [a, b], entonces g tiene por lo menos un punto fijo en [a, b]. Si además, g’(x) existe para todo x [a, b], y |g’(x)| ≤ K < 1 para todo x [a, b], K constante, entonces g tiene un único punto fijo x [a, b].

  4. Algoritmo de punto fijo • Para encontrar una solución de p = g(p) dada una aproximación inicial po: • ENTRADA aproximación inicial po; tolerancia TOL; numero máximo de iteraciones No. • SALIDA solución aproximada p o mensaje de fracaso. • Paso 1 Tomar i=1 • Paso 2 Mientras que i<=No seguir Pasos 3-6 • Paso 3 Tomar p = g(po) (calcular pi) • Paso 4 Si |p-po|<TOL entonces • SALIDA(p); (procedimiento completado satisfactoriamente). • PARAR • Paso 5 Tomar i = i + 1 • Paso 6 Tomar po = p (Redefinir po) • Paso 7 SALIDA ("El método fracaso después de No iteraciones, No = ", No); • (procedimiento completado sin éxito) • PARAR

  5. Ejemplo: • f(x) = x3 + 4x2 – 10 [a,b] = [1,2] • Existen muchas maneras de cambiar la ecuación a la forma x = g(x) • A) x=g1(x)=x - x3 - 4x2+10 • B)x=g2(x)=(10/x – 4x) ½ • C)x=g3(x)=1/2(10 – x3) ½ • D)x=g4(x)= (10/(4 + x)) ½ • E)x=g5(x)=x – [(x3+ 4x2 – 10) / (3x2+ 8x)]

  6. Con p0 = 1:5, la tabla 1 muestra los resultados del método de iteración de punto fijo para las cinco alternativas para g. La raíz real es 1.365230013

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