Medianas e Estatísticas de Ordem

Medianas e Estatísticas de Ordem Marcela Quispe Cruz mqc@cin.ufpe.br

Medianas e Estatísticas de Ordem • o Problema da Seleção consiste em que dado um conjunto A de n números distintos e um número i, 1 <= i <= n, determinar qual é o i-ésimo menor elemento de A. • São casos particulares do problema da seleção: • O mínimo, o primeiro • O máximo, o ultimo • A mediana de um conjunto, onde i = 1, i = n e i = n/2, respectivamente. • Par Impar • Um algoritmo para o problema da seleção deve de alguma forma obter informação, ainda que parcial, sobre a ordem dos elementos do conjunto.

Para determinar o mínimo n-1 comparações são necessárias. O mesmo é certo para o máximo. Por tanto, o numero deve ser 2n-2 para determinar ambos. De fato somente 3 comparações são necessárias para encontrar ambos o mínimo e o máximo Quantas comparações são necessárias para determinar ambos o mínimo e o máximo ?

compara o menor com min y o maior com max

Seleção em tempo linear esperado • Entrada: vetor A de números reais, os índices p e rque delimitam inicio e fim do subvetor onde seria feita a seleção e i, o índice do elemento procurado no vetor ordenado. • Saída: o i-ésimo menor elemento do vetor A. RANDOMIZED-SELECT(A, p, r, i) 1if p = r 2then return A[p] 3 q ← RANDOMIZED-PARTITION(A, p, r) 4 k ← q - p + 1 5if i = k 6 thenreturn A[q] 7elseif i < k 8thenreturn RANDOMIZED-SELECT(A, p, q - 1, i) 9elsereturn RANDOMIZED-SELECT(A, q + 1, r, i - k)  k de elementos no subarray A[p..q]  o valor pivô é a resposta

Ex. de PARTITION • PARTITION(A,p,r) • x = A[ r ] ................................. • 2 i = p - 1 .................................. • 3 for j = p to r - 1 ......................... • do if A[ j ] <= x ......................... • 5 then i = i + 1 ......................... • trocar A[ i ] com A[ j ] .......... • 7 trocar A[ i+1] com A[ r ] .............. • 8 return i + 1 ...... ......... ............. Total: ( r – p ) e <= { 6 ( r – p ) + 6 } ou seja lineal na longitude do array A[p..r] RAMDOMIZED-PARTITION(A,p,r) 1 i = RAMDOM (p,r) 2 exchange A[p] <-> A[i] 3 return PARTITION(A,p,r) escolhe um i, p <= i <= r e usamos A[i] como pivot

Necessitamos mostrar que n é suficientemente grande, esta expressão é no maior cn/4-c/2-an ≥ 0 Se assumimos que T(n)=O(1) para n<2c/(c-4a), temos T(n) = O(n). Nós concluímos que qualquer ordem estatístico e no particular a mediana pode ser determinar em promedio em tempo lineal

Seleção em tempo linear pior caso O algoritmo de seleção com tempo de execução O(n) no pior caso seleciona o elemento desejado particionando recursivamente o arranjo de entrada. Essa partição deve garantir uma boa divisão desse arranjo. O algoritmo SELECT determina o i-ésimo menor elemento de um arranjo de entrada com n > 1 elementos, executando 5 etapas: • Dividir os n elementos do arranjo de entrada em piso(n/5) grupos de 5 elementos cada e no máximo 1 grupo com menos de 5 elementos. O(n) • Encontrar a mediana dos teto(n/5) grupos, usando primeiro a ordenação por inserção dos elementos do grupo para em seguida, escolher a mediana dos grupos. O(n) • Usar o SELECT recursivamente para encontrar a mediana x das teto(n/5) medianas encontradas. T(n/5) • Particionar o arranjo de entrada em torno da mediana de medianas x. Seja k uma unidade maior que o número de elementos no lado de baixo da partição, de forma que x seja o k-ésimo menor elemento e existam n – k elementos no alto da partição. O(n) • Se i == k, retorne k. Caso contrário, usar o SELECT recursivamente para encontrar o i-ésimo menor elemento no lado baixo da partição, se i <= k, ou então o (i – k)-ésimo menor elemento no lado alto da partição, se i > k. T( max( q - p, r - q ) )

pelo menos 1/2 dos teto(n/5) medianas no step 2 são maiores que x, ignorando o grupo no qual x pertence e o grupo que tem quantidade menor que 5 elementos si 5 não divide n exatamente Logo o número de elementos maiores que x é pelo menos Assumindo que T(n) é não- decrescente isso implica que o tempo usado pelo step 5 é não maior Que T( 7n/10 + 6 )

Assumindo que a entrada com n<=140 usa tempo O(1). Permita que a seja tal que os step 1,3,4 necessitem tempo não maior que an vezes. Assuma que T(n) é não decrementavel. Logo provaremos por induçao que T(n)<=cn, para todo n>0. Escolhendo c bastante grande que Pela Hipotesis de Indução

ou Posto que n >= 140 temos que n/(n-70)<2 por tanto isto seria verdadeiro para c >= 20a e logo temos demonstrado que T(20)<=cn para todo n >= 140 e:

Medianas e Estatísticas de Ordem