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Sistemi di Supporto alle Decisioni I Lezione 2

Sistemi di Supporto alle Decisioni I Lezione 2. Chiara Mocenni Corso di laurea L1 in Ingegneria Gestionale e L2 in Ingegneria Informatica III ciclo. Il processo di scelta razionale. Il soggetto deve essere in grado di: Determinare l’insieme di scelta (le azioni);

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  1. Sistemi di Supporto alle Decisioni ILezione 2 Chiara Mocenni Corso di laurea L1 in Ingegneria Gestionale e L2 in Ingegneria Informatica III ciclo Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  2. Il processo di scelta razionale Il soggetto deve essere in grado di: • Determinare l’insieme di scelta (le azioni); • Una relazione che lega le azioni alle conseguenze; • Ordinare tutte le conseguenze possibili; • Selezionare l’azione migliore Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  3. Contesti (1/3) • 1. Scelta in condizioni di certezza: ad ogni azione e’ associata una ed una sola conseguenza. Nell’ambito del processo di scelta razionale questo problema diventa banale una volta che il decisore abbia definito l’insieme delle scelte ed ordinato tutte le possibili conseguenze. Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  4. Contesti (2/3) • 2. Scelta in condizioni di incertezza: ad ogni azione sono associate piu’ conseguenze, in base ad una distribuzione di probabilita’ data. L’incertezza ‘e esogena. • Se la probabilita’ e’ oggettiva ->> SCELTA IN CONDIZIONI DI RISCHIO • Se la probabilita’ e’ soggettiva ->>SCELTA IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  5. Scelte in condizioni di incertezza • PROBLEMA. Prendere una decisione in cui le conseguenze sono incerte e tale incertezza è quantificabile in modo non ambiguo. • L’incertezza dipende dalla presenza di più di uno stato di natura. • Si assume che le probabilità con cui i vari stati si verificano sia nota. Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  6. Contesti (3/3) • 3. Scelta in condizioni di interazione strategica: ad ogni azione sono associate piu’ conseguenze, ma ora cio’ dipende dalle scelte effettuate da altri soggetti razionali. L’incertezza non e’ esogena. Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  7. Il processo di scelta razionale Principio della massima utilita’ attesa:Il decisore razionale massimizza la propriautilita’ attesa (oggettiva o soggettiva). Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  8. Le basi della teoria dell’utilita’ • Se restringiamo l’attenzione alle sole azioni che influenzano la quantita’ di denaro vediamo che gli agenti mostrano una preferenza monotona per il denaro. • Ma non siamo ancora in grado di confrontare lotterie anche se queste coinvolgono quantita’ di denaro. Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  9. Esempio • Supponiamo che abbiate trionfato sugli avversari in un gioco televisivo. Il presentatore vi offre una scelta: prendere il milione di euro che avete vinto o puntare tutto sul lancio di una moneta: se esce testa perdete tutto, se esce croce vincete 3 milioni di euro. ->>> Accettate? E che cosa dovrebbe fare un decisore razionale? Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  10. Il valore atteso dell’azzardo e’ 0.5(0)+0.5(3.000.000)=1.500.000, • Mentre il valore atteso del premio originale e’ 1.000.000. • Supponiamo che k sia la vostra ricchezza corrente e che Sn sia lo stato in cui la ricchezza e’ n. Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  11. E(L1)=0.5U(Sk)+0.5U(Sk+3.000.000) • E(L)=U(Sk+1.000.000) • Se ad esempio U(Sk)=5; U(Sk+3.000.000)=10; U(Sk+1.000.000)=8 • Caso1. E(L1)=7.5<8 ->>RIFIUTATE • Caso2. In banca avete 500.000.000 ->> I benefici del 501-esimo milione saranno piu’ o meno gli stessi del 503-esimo ->>POTETE ACCETTARE Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  12. Confronto tra lotterie il valore atteso di una lotteria non può essere preso a criterio universale (valido per tutti i decisori) Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  13. C’è da chiedersi cosa rappresenta il valore atteso di una lotteria in questo contesto. Infatti, si noti che stiamo qui parlando di una situazione in cui la decisione (tra L e L1) deve essere presa una tantum. Diverso sarebbe il discorso se si dovesse scegliere L o L1 sapendo di doverla poi giocare un numero molto elevato di volte. Infatti, ripetendo indefinitamente un processo aleatorio, potremmo prendere il valore atteso come stima del guadagno medio a ogni ripetizione. Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  14. LA FUNZIONE UTILITA’ • Il valore dell’utilità, in generale, non è il semplice guadagno in termini monetari, ma dipende da vari fattori, tra cui la predisposizione del decisore. Infatti per ogni singolo decisore dovremo definire una (diversa) funzione di utilità i cui valori attesi rappresentano le sue preferenze specifiche. • Assumeremo però che tali preferenze siano consistenti con certi assiomi di razionalità. Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  15. LOTTERIE • DEF. Una lotteria è una scelta il cui risultato è determinato da semplici meccanismi di fortuna. Si assume inoltre che il numero dei risultati (premi) sia finito. • Sia l’insieme dei possibili risultati, comprendente anche il premio nullo, cioè la perdita. Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  16. Le conseguenze devono essere: • mutuamente esclusive (al piu’ se ne verifica una); • esaustive (almeno una si verifica necessariamente). Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  17. Confronto tra lotterie (II) • Si consideri l’insieme R dei possibili risultati certi x1x2 … xr • Una generica lotteria L può rappresentarsi come • L =< p1,x1; p2,x2 ; … ; pr,xr> Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  18. Confronto tra lotterie (II) • Un risultato certo xi è equivalente a una particolare lotteria: • xi~< 0,x1; 0,x2 ; …; 1,xi ;…; 0,xr> • Si vuole definire un ente matematico in grado di rappresentare le preferenze di un decisore, anche relativamente a diverse lotterie Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  19. Associamo a ogni risultato certo un valore u(•)che ne indica il “gradimento”, ossia tale che u(x1)  u(x2)  …  u(xr) • Usando queste “utilità elementari”, è possibile far corrispondere a qualsiasi lotteria un valore di utilità Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  20. Utilità (attesa) di una lotteria L U[L] = p1 u(x1)+ p2 u(x2) + … + pr u(xr) • Si considerino due lotterie L,M L =< p1,x1; p2,x2 ; … ; pr,xr> M =< q1,x1; q2,x2 ; … ; qr,xr> Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  21. Utilità (attesa) di una lotteria L • Vogliamo individuare una funzione u(•) dei risultati tale che: L M se e solo se Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  22. Decisioni in condizioni di incertezza • PROBLEMA. Prendere una decisione in cui le conseguenze sono incerte e tale incertezza è quantificabile in modo non ambiguo. • L’incertezza dipende dalla presenza di più di uno stato di natura. • Si assume che le probabilità con cui i vari stati si verificano sia nota. • Cominceremo ad affrontare il problema delle lotterie. Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  23. Riassumendo… Vogliamo individuare una funzione u che permetta di: • definire un ordinamento nell’insieme dei risultati X di una lotteria; • scegliere tra lotterie in base alla regola dell’utilità attesa. u è definita su un insieme A che contiene l’insieme dei premi X e l’insieme delle lotterie L, ma vedremo che contiene anche altri tipi di lotterie, quindi: Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  24. A L X u: A R Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  25. Esistenza della funzione u • Una simile funzione u(•) esiste? • Assiomi “della razionalità” riguardanti il comportamento dei decisori (Von Neumann e Morgenstern 1947) Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  26. Esistenza della funzione u • Xè l’insieme dei risultati certi x1, x2 , …, xi,…, xr • L rappresenta l’insieme di tutte le lotterie che si possono definire su X Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  27. 1. Ordinamento debole • Dati due elementi a, b A è sempre possibile confrontarli, ossia vale una tra queste: a  b b  a a ~ b • Inoltre a  b,b  c implica a  c Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  28. 2. Non banalità • Si consideri l’insieme X dei possibili risultati certi x1x2 … xr allora x1xr Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  29. 3. Riduzione di lotterie composite (I) • Consideriamo una lotteria composita (cioè una lotteria i cui “premi” sono altre lotterie) L = <q1,l1;q2,l2;…;qs,ls> che dà diritto alla partecipazione a s lotterie semplici, t.c. Lj=<pj1,x1;pj2,x2;…;pjr,xr>, j = 1,…,s. Sia L’ = <p1,x1;p2,x2;…;pr,xr> t.c. pi = q1p1i+q2p2i+…+qspsi, i = 1,…,r. Allora L  L’ Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  30. Le preferenze del decisore dipendono solo dai risultati finali e dalle probabilità con cui questi possono essere ottenuti e non dalle modalità con cui vengono di volta in volta organizzate le lotterie. Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  31. 3. Riduzione di lotterie composite (II) Consideriamo la lotteria L = <0,x1;0,x2;…;1,xi;…;0,xr> che assegna il premio xi con probabilità 1. Allora xi L Questo corollario dell’assioma 3 (che qui non dimostriamo) permette di stabilire che il decisore non “prova gusto” semplicemente nel partecipare ad una lotteria, ma unicamente nel vincere il premio che vi è associato. Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  32. +10 0.5 0.5 -10 L1 0.2 +20 0.4 0.3 L L2 0.6 -10 0.3 +10 0.5 L3 0.7 -20 3. Lotterie composite (esempio) • Una lotteria i cui “premi” sono altre lotterie Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  33. +10 0.5 0.5 -10 L1 0.2 +20 0.4 0.3 L L2 0.6 -10 0.3 +10 0.5 L3 0.7 -20 Lotterie composite • Probabilità di avere +10: 0.5 0.2 0.3 0.5 Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  34. +10 0.5 0.5 -10 L1 0.2 +20 0.4 0.3 L L2 0.6 -10 0.3 +10 0.5 L3 0.7 -20 0.2 * 0.5 + 0.5 * 0.3 = 0.25 0.5 0.2 0.3 0.5 Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  35. La lotteria L’ è equivalente a L +20 0.12 +10 0.25 0.28 -10 L’ -20 0.35 Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  36. 4. Sostituibilità • Se a ~ b, allora due lotterie identiche tranne che per il fatto che a è sostituito da b, sono equivalenti: L =< …;…; p,a;…;…> L’ =< …;…; p,b;…;…> L L’ Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  37. x1 p L xr 1-p Lotterie di riferimento • Sono di particolare importanza le lotterie di riferimento: Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  38. LOTTERIE DI RIFERIMENTO DEF. Si chiamano lotterie di riferimento le lotterie del tipo x1pxr = <p,x1;0,x2;…;0,xr-1;(1-p),xr> . Queste lotterie appartengono ad A\(XL). DEF. Si definisce esperimento di riferimento l’insieme delle lotterie di riferimento x1pxr  A,  0p1 . Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  39. x1 x1 p p’ L L’ xr xr 1-p 1-p’ 5. Monotonicità LL’  p  p’ Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  40. x1 ui L xi xr 1-ui 6. Continuità • Esiste un valore di probabilità ui tale che: ~ Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  41. 6. Continuità • Obiezione circa l’esistenza del valore ui (facilmente confutabile) • Difficoltà nella determinazione precisa del valore ui • >>> Necessità di una analisi della sensibilità Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  42. Teorema di von Neumann-Morgenstern • Se il sistema di preferenze di un decisore rispetta tutti gli assiomi, allora esiste una funzione u: X  [0,1] che per qualunque coppia di lotterie, L e M: • se L è preferita a MU[L] > U[M] • se M è preferita a LU[M] > U[L] • se L e M sono indifferenti U[L] = U[M] Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  43. Utilità elementari • Diamo convenzionalmente valore 1 e 0 all’utilità dei due risultati estremi, ossia u(x1)= 1 u(xr) = 0 Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  44. x1 ui L xr 1-ui Utilità di una lotteria di riferimento uiu(x1)+ (1-ui )u(xr) u(xi) = xi ~ Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  45. = 1 = 0 uiu(x1)+ (1-ui )u(xr) u(xi) = Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  46. Funzione di utilità • L’utilità del risultato xi è data dal valore di probabilità ui che rende indifferente xi rispetto alla lotteria di riferimento, ossia u(xi) = ui Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  47. Funzione di utilità • Una funzione di utilità U[L] modella le preferenze di un particolare decisore • Diversi decisori hanno in generale diverse funzioni di utilità, anche se alcune funzioni sono più usate Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  48. Determinazione di u(•) • Applicazione accurata dell’assioma di continuità • Esempio: un investitore deve scegliere tra 3 alternative (lotterie): a1, a2, a3 Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  49. Variazione indice Dow-Jones (%) [-3,+2] < -3 > +2 Decisioni 110 110 110 a1 a2 100 115 105 120 a3 90 100 Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  50. Assessment • Ricavando la funzione di utilità per i sei risultati certi in esame, si potrà calcolare l’investimento più “razionale” per il decisore in questione Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

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