1 / 38

Sistemi di Supporto alle Decisioni I Lezione 6

Sistemi di Supporto alle Decisioni I Lezione 6. Chiara Mocenni Corso di laurea L1 in Ingegneria Gestionale e L2 in Ingegneria Informatica III ciclo. Probabilità condizionate. Le probabilità in gioco non sempre sono indipendenti da specifici eventi

kane-marquez
Download Presentation

Sistemi di Supporto alle Decisioni I Lezione 6

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Sistemi di Supporto alle Decisioni ILezione 6 Chiara Mocenni Corso di laurea L1 in Ingegneria Gestionale e L2 in Ingegneria Informatica III ciclo Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  2. Probabilità condizionate • Le probabilità in gioco non sempre sono indipendenti da specifici eventi • Quando ciò non è più vero, si hannoprobabilità condizionate P(A|B) probabilità che si verifichi A supponendo che si verifichi B Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  3. Esempio: ecografia • Si considerino i seguenti eventi relativi alla nascita di un bambino: • M il nascituro è maschio • F il nascituro è femmina • EM l’ecografia prevede “maschio” • EF l’ecografia prevede “femmina” Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  4. Esempio: ecografia • Si consideri dapprima la probabilità che due eventi si verifichino entrambi (probabilità congiunta): P(M,EM) Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  5. Esempio: ecografia • Valgono le seguenti espressioni: P(M,EM) = P(M|EM) P(EM) P(M,EM) = P(EM|M) P(M) Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  6. P(EM|M) P(M) P(M|EM) = P(EM) Teorema di Bayes • Quindi: P(M|EM) P(EM) = P(EM|M) P(M) ossia Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  7. Esempio: ecografia Supponiamo • P(M)= 0.5 P(F)= 0.5 • P(EM|M)= 0.9 P(EM|F)= 0.05 e di conseguenza • P(EF|M)= 0.1 P(EF|F)= 0.95 Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  8. Esempio: ecografia Possiamo ora calcolare P(EM)= P(EM|M)P(M)+ P(EM|F)P(F)= 0.9 0.5 + 0.05 0.5 = 0.475 P(EF)= 1- P(EM)= 0.525 Possiamo ora applicare la formula di Bayes Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  9. Esempio: ecografia P(EM|M) P(M) P(M|EM) = P(EM) 0.90.5 = 0.947 = 0.475 Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  10. P(EF|F) P(F) P(F|EF) = P(EF) Esempio: ecografia 0.950.5 = 0.904 = 0.525 Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  11. P(B|A) P(A) P(A|B) = P(B) Teorema di Bayes • In generale, dati due eventi Ae B: Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  12. P(B|A) P(A) P(A|B) = P(B) Teorema di Bayes Probabilità a-priori Probabilità condizionate Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  13. Teorema di Bayes • È uno strumento per integrare in modo quantitativo le informazioni disponibili (prob. a-priori) con quelle rilevabili o misurabili (prob. condizionate) Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  14. Esempio: il concerto • Supponiamo ora che sia disponibile ulteriore informazione sul tempo di domani • Questa informazione non è perfetta • Come determinare il valore di questa informazione? Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  15. Attendibilità dell’informazione • Caratterizziamo l’attendibilità della nuova informazione in termini di probabilità condizionata: P(“Sereno”|Sereno) = 0.8 P(“Pioggia”|Pioggia) = 0.8 Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  16. Attendibilità dell’informazione • L’informazione a-priori in questo caso è data da: P(Ser) = 0.4 P(Piog) = 0.6 Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  17. Attendibilità dell’informazione • La probabilità che la nuova informazione indichi “sereno”sarà: P(“Ser”) = P(“Ser”|Ser) P(Ser) + P(“Ser”|Piog) P(Piog) = 0.8 0.4 + 0.2 0.6 = 0.44 P(“Piog”) = 1- 0.44 = 0.56 Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  18. Attendibilità dell’informazione • Con Bayes possiamo calcolare = 0.8 0.4 / 0.44 = 0.727 P(Piog|”Ser”) = 1- P(Ser|”Ser”) = 0.273 P(“Ser”|Ser)P(Ser) P(Ser|”Ser”) = P(”Ser”) Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  19. Attendibilità dell’informazione • E analogamente = 0.8 0.6 / 0.56 = 0.857 P(Ser|”Piog”) = 1- P(Piog|”Piog”) = 0.143 P(“Piog”|Piog)P(Piog) P(Piog|”Piog”) = P(”Piog”) Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  20. Valore dell’informazione imperfetta • Per molti decisori il valore dell’informazione si determina ancora come differenza tra equivalente certo della decisione con informazione gratuita e equivalente certo della decisione in assenza di informazione • Attenzione: ora le probabilità in gioco sono probabilità condizionate Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  21. Informazione gratuita (Avi) sereno (0.727) 1 aperto pioggia (0.273) 0.727 0 sereno (0.727) L’oracolo prevede “sereno” (0.44) 0.57 chiuso pioggia (0.273) 0.597 0.67 sereno (0.727) 0.778 0.95 0.778 portico pioggia (0.273) 0.32 0.709 sereno (0.143) 1 0.655 aperto pioggia (0.857) 0.143 0 sereno (0.143) 0.57 chiuso L’oracolo prevede “pioggia” (0.56) pioggia (0.857) 0.67 0.655 sereno (0.143) 0.178 0.95 portico pioggia (0.857) 0.32 € 5,470 Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  22. Il valore dell’informazione (Avi) Quindi il valore dell’informazione imperfetta per Avi è: equivalente certo della decisione con informazione gratuita: € 5,470 - equivalente certo della decisione in assenza di informazione: € 4,600 = € 870 Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  23. Informazione e decisioni • Il valore dell’informazione perfetta per Avi era di € 2,000 • L’imperfezione nell’informazione determina un cambiamento di decisione (Portico anziché Aperto nel caso in cui l’oracolo preveda tempo sereno) Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  24. Informazione gratuita (Inat) sereno (0.727) 1 aperto pioggia (0.273) 0.727 0 sereno (0.727) L’oracolo prevede “sereno” (0.44) 0.4 chiuso pioggia (0.273) 0.427 0.5 sereno (0.727) 0.709 0.9 0.727 portico pioggia (0.273) 0.2 0.59 sereno (0.143) 1 0.485 aperto pioggia (0.857) 0.143 0 sereno (0.143) 0.4 chiuso L’oracolo prevede “pioggia” (0.56) pioggia (0.857) 0.5 0.485 sereno (0.143) 0.3 0.9 portico pioggia (0.857) 0.2 € 5,900 Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  25. Il valore dell’informazione (Inat) Quindi il valore dell’informazione imperfetta per Inat è: equivalente certo della decisione con informazione gratuita: € 5,900 - equivalente certo della decisione in assenza di informazione: € 4,800 = € 1,110 Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  26. Confronto tra decisori: Avi • Senza informazione: Chiuso • Con informazione imperfetta: se l’oracolo prevede sereno, allora Portico, altrimenti Chiuso Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  27. Confronto tra decisori: Inat • Senza informazione: Portico • Con informazione imperfetta: se l’oracolo prevede sereno, allora Aperto, altrimenti Chiuso Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  28. Confronto tra decisori • Il valore dell’informazione imperfetta per Inat è di € 1,110,per Avi è di € 870 • Il motivo per cui Inat, pur essendo più propensa al rischio rispetto a Avi, sia disposta a pagare di più è che ancora, in assenza di informazione, le scelte sono diverse Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  29. Analisi di sensibilità rivista Una volta introdotti il concetto di probabilità soggettiva e il teorema di Bayes, possiamo estendere l’analisi di sensibilità effettuata per la determinazione della funzione di utilità anche alla assegnazione delle probabilità soggettive. Riprendiamo perciò l’esempio della tavola di decisione. Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  30. Stati di natura [-3,+2] < -3 > +2 Decisioni 110 110 110 a1 a2 100 115 105 120 a3 90 100 0.2 0.4 probabilità 0.4 Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  31. I valori di utilita’ degli eventi elemetari erano: u(90)=0 u(100)=0.4 u(105)=0.6 u(110)=0.8 u(115)=0.95 u(120)=1 Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  32. Osserviamo nuovamente che P(2) = P(3). Supponiamo che il decisore abbia espresso qualche dubbio sul fatto che effettivamente queste due probabilità fossero uguali. Poniamo allora P(2) = p P(3) = q Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  33. P(1) = 1 - p - q Inoltre U[a1] = 0.8, U[a2] = 0.7, U[a3] = 0.56. Ne consegue che U[a1] >U[a2]  0.8 > (1-p-q)*0.40 + p*0.60 + q*0.95  8 > 4p+11q Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  34. Analogamente • U[a1] >U[a3] •  0.8 > (1-p-q)*0.0 + p*0.40 + q*1  4 >2p + 5q • U[a2] >U[a3] (1-p-q)*0.40 + p*0.60 + q*0.95 > (1-p-q)* 0.0 + p*0.4 + q*1 •  8 > 4p+9q Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  35. q 1.0 D 4p + 9q = 8 C 2p + 5q = 4 B 4p + 11q = 8 0.5 A (0.4,0.4) p + q = 1 0 p 0.5 1.0 Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  36. Nella regione A si ha U[a1] >U[a2] >U[a3] Nella regione B si ha U[a2] >U[a1] >U[a3] Nella regione C si ha U[a2] >U[a3] >U[a1] Nella regione D si ha U[a3] >U[a2] >U[a1] Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  37. Il punto (0.4,0.4) si trova all’interno della regione A. Quindi l’investimento a1 sembra essere il più conveniente, coerentemente con quanto visto in precedenza. Quello che dobbiamo verificare, e che in questo caso è evidente, è che per piccole variazioni di p e q il punto stimato (0.4,0.4) rimanga all’interno della regione A. Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

  38. Quiz! (problema decisionale) B C A Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

More Related