1 / 33

Teori Peluang

PELUANG. Teori Peluang. Kaidah Pencacahan, permutasi dan kombinasi. Standar Kompetensi Memecahkan masalah dengan konsep teori peluang. Kompetensi Dasar Mendiskripsikan kaidah pencacahan, permutasi dan kombinasi. Indikator

kalyca
Download Presentation

Teori Peluang

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. PELUANG Teori Peluang

  2. Kaidah Pencacahan, permutasi dan kombinasi • Standar Kompetensi Memecahkan masalah dengan konsep teori peluang • Kompetensi Dasar Mendiskripsikan kaidah pencacahan, permutasi dan kombinasi • Indikator Kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi digunakan dalam menentukan banyaknya cara menyelesaikan suatu masalah PELUANG

  3. Kaidah Pencacahan, permutasi dan kombinasi • Kaidah pencacahan 1.Aturan pengisian tempat yang tersedia Contoh: Pada lomba lari 100 meter, empat anak lolos ke putaran akhir, yaitu A(Adi), B(Banu), C (Candra), dan D(Dodi). Pada perlombaan tersebut disediakan dua hadiah. Ada berapakah susunan pemenang yang mungkin muncul pada akhir pertandingan? PELUANG

  4. Kaidah Pencacahan, permutasi dan kombinasi • Jawab: Pemenang pertama dan kedua yang mungkin muncul, dapat kita susun yaitu: AB, AC, AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,dan DC. Proses menentukan banyaknya susunan pemenang secara umum mengikuti aturan sebagai berikut: Langkah 1: Ada 4 peserta lomba yang semuanya bisa keluar sebagai juara pertama. Langkah 2: Satu orang sudah masuk garis akhir, masih ada 3 peserta lomba yang bisa menduduki juara kedua. 4x 3 = 12 Jadi seluruhnya ada susunan pemenang yang mungkin terjadi PELUANG

  5. Kaidah Pencacahan, permutasi dan kombinasi • Contoh 2 Amalia memiliki 4 buah kemeja, 2 buah celana panjang dan 3 sepatu. Ada berpa cara ia dapat berpakaian lengkap? Jawab: Kemeja yang dapat dipilih Amalia ada 4 cara, celana panjang 2 cara dan sepatu 3 cara. Jadi, ada berpakaian lengkap 4 x 2 x 3 = 12 cara Amalia dapat PELUANG

  6. Kaidah Pencacahan, permutasi dan kombinasi • Dari uraian tersebut dapat kita peroleh suatu kesimpulan : Jika terdapat buah tempat yang tersedia dengan: n1 =banyaknya cara untuk mengisi tempat pertama. n2 = banyaknya cara mengisi tempat kedua, setelah tempat pertama terisi. n3 = banyaknya cara mengisi tempat ketiga, setelah tempat pertama dan kedua terisi, dan nk = banyaknya cara mengisi tempat ke – k, setelah tempat-tempat sebelumnya terisi. Maka banyaknya cara untuk mengisi k tempat yang tersedia adalah Aturan ini yang dimaksud sebagai aturan pengisian tempat yang tersedia atau kaidah perkalian. n1 x n2 x n3 x … x nk. PELUANG

  7. Kaidah Pencacahan, permutasi dan kombinasi • Definisi dan Notasi faktorial Definisi: Hasil perkalian semua bilangan bulat positip dari satu sampai dengan n disebut n faktorial, dan diberi notasi n!. 1 x 2x 3 x … x (n-1) x n, n x ( n-1) x (n-2) x … x 2 x 1 dengan Jadi n! atau = n! = 0! = 1 1! = 1 dan PELUANG

  8. ... Obyek Eksp. B (A,B) = permutasi ke-1 = p1 Cara Eksp. A ... (A,C) = permutasi ke-2 = p2 C A S, n(S) = ... Diundi untuk memperebutkan 2 hadiah (B,A) = permutasi ke-3 = p3 A B B ... C (B,C) = permutasi ke-4 = p4 C ... A (C,A) = permutasi ke-5 = p5 C 3 cara ... 2 cara B (C,B) = permutasi ke-6 = p6 Masalah Permutasi Masalah Misalkan diadakan undian untuk memperebutkan 2 hadiah (hadiah I dan II). Jika yang memperebutkan hadiah itu ada 3 orang (A, B, dan C), ada berapa cara kedua macam hadiah itu dapat diberikan kepada para pemenang?. Jawab: Banyaknya cara: n(S) = = = Menurut Prinsip Perkalian = 3×2 = 6 = = 3×2 PELUANG

  9. Jika salah satu anggota diberi indeks MMAA MAMA AMMA AMAM AAMM MAAM M1 A 1 M2 A2 M2 A2 M1 A1 M1 A2 M2 A1 M2 A1 M1 A2 Ada 6 cara = 6 Masalah Permutasi Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama Ada berapa cara untuk membuat susunan huruf yang berbeda dari kata “MAMA”?. Jawab Selanjutnya perhatikan bahwa = = = PELUANG

  10. . Banyaknya cara mengambil 2 huruf A dari (7 – 4) huruf sisanya ada , dan banyaknya cara mengambil 1 huruf A dari (7 – 4 – 2) huruf sisanya ada . Maka menurut prinsip perkalian banyaknya cara untuk membuat susunan huruf dari kata KAKAKKU ada: = × × = n2 nk n n1 + + + = = Masalah Permutasi Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama Berapa banyak cara untuk membuat susunan huruf dari kata “KAKAKKU”? Jawab = = 105 cara Karena ada 4K, 2A, dan 1U, maka banyaknya cara = Secara matematika formal, banyaknya cara mengambil 4 huruf K dari 7 huruf ada dengan Secara umum, PELUANG

  11. Maka berarti ketiga permutasi siklis tsb sama, yakni ABC = CAB = BCA. Untuk melihat kesamaannya perhatikan bahwa: CAB.CAB = BCA.BCA = ABC (Pandanglah A sebagai titik awal). C B B C A C A A B Masalah Permutasi Permutasi Siklis Misalkan 3 orang anak A, B, dan C diminta naik ke permainan roda putar Secara umum banyaknya permutasi siklis dari n obyek = Dari 3 tempat duduk pada permainan roda putar itu sebenarnya hanya ada 2 saja yang berbeda susunannya, yakni ABC dan ACB. Sehingga hanya ada 2 permutasi siklis. Secara umum banyaknya permutasi siklis dari n obyek = = (n – 1)! PELUANG

  12. Masalah Permutasi • Permutasi berulang • Jika kita inin menyusun kata yang terdiri 2 huruf, yang dipilih dari huruf A, D, I, serta kata yang terbentuk boleh mengandung huruf yang sama, maka kita akan mendapatkan kata: AA, AD, AI, DD, DA, DI, II, IA, ID. Jadi, banyaknya permutasi dua huruf yang diambil dari 3 huruf dengan huruf- huruf itu boleh berulang ada 9 cara. PELUANG

  13. Masalah Permutasi • Secara umum: Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (dengan tiap unsur yang tersedia boleh ditulis berulang) adalah sebagai berikut: n P (berulang) =nr dengan r PELUANG

  14. Masalah Kombinasi PELUANG

  15. Banyaknya Permutasi Jika elemen-elemen kombinasi itu dipermutasikan Macam Kombinasi 2! 2! 2! 2! 2! 2! c1 = AB c2 = AC c3 = AD c4 = BC c5 = BD c6 = CD AB dan BA AC dan CA AD dan DA BC dan CB BD dan DB CD dan DC = 6 6 × 2! Total= = 12 = 6 × 2 Masalah Kombinasi Perhatikan bahwa 12 = 6 x 2! = x 2! PELUANG

  16. Dari : (1) = × 2! (2) = × 3! = n! 2! = = = (n – r)! r! 3! r! Masalah Kombinasi Perhatikan bahwa 24 = 4 × 3! = × 3! Maka Secara Umum : PELUANG

  17. Masalah Kombinasi Kombinasi k Unsur dari n Unsur dengan beberapa unsur sama Misal 4 bola akan yang diambil dari dalam kotak berisi 4 bola merah, 3 bolaputih dan 2 bola hijau.Empat bola yang diambil harus terdiri dari 2 bola merah, 1 bola putih dan 1 bola hijau. Cara pengambilan ini merupakan masalah kombinasi k unsur dari n unsur dengan beberapa unsur yang sama. Sehingga total cara pemilihan 4 bola dari 9 bola adalah 4 C 2 . 3 C 1 . 2 C 1 cara. PELUANG

  18. Misal terdapat n unsur yang terdiri dari q1, q2, q3, …, qn Unsur q1 ada sebanyak n1, unsur q2 ada sebanyak n2, unsur q3 ada sebanyak n3, …, unsur qe ada sebanyak ne, sehingga n1 + n2 + n3 + …+ ne = n. Dari n unsur tersebut akan diambil k unsur yang terdiri dari k1 unsur q1, k2 unsur q2, k3 unsur q3, …, ke unsur qe dengan k1 + k2 + k3 + … + ke = k. Banyak cara pengambilan adalah: Masalah Kombinasi n1 C k1 . n2 C k2 . n3 C k3 …. . ne C ke PELUANG

  19. Peluang Kejadian • Percobaan, Ruang Sampel, Peluang suatu kejadian Peluang adalah nilai frekuensi relatif munculnya suatu peristiwa dalam suatu eksperimen jika banyaknya percobaan tak terhingga. P(A)= Kombinatorik Adalah teknik menghitung banyaknya anggota ruang sampel dengan : • Cara mendatar • Membuat tabel • Membuat diagram pohon PELUANG

  20. Hasil-hasil Yang Mungkin s1 s2 s3 S s4 s5 Obyek Eksp. Cara Eksp. S s3 s1 s2 s5 s4 Peluang Kejadian Eksperimen (Percobaan Acak) • Ada Obyek Eksperimen • Ada Cara Eksperimen • Ada Hasil-hasil Yang Mungkin (Titik-titik Sampel) S= Ruang Sampel ={ s1 , s2, s3 , . . . , s5} = Himpunan semua hasil yang mungkin dalam eksperimen itu s1,s2 , s3, . . . , s5 masing-masing disebut titik sampel PELUANG

  21. S A sn s3 s2 s1 sm Peluang Kejadian S = Ruang Sampel = Himpunan semua hasil yang mungkin terjadi dalam eksperimen itu = {s1,s2, s3, . . . , sm , . . . , sn} A = Suatu peristiwa dalam ruang sampel S = {s1 , s2, s3 , . . . , sm} Prinsip Penjumlahan P(A) = P({s1}) + P({s2}) + P({s3}) + . . . + P({sm}) = jumlah peluang masing-masing titik sampel yang ada di dalamnya PELUANG

  22. Peluang Kejadian Peluang Berdasar Pengambilan Sampel • Pengambilan Sekaligus → Kombinasi Pengulangan obyek eksp. tidak dimungkinkan dan urutan tak diperhatikan (tak punya makna) • Pengambilan Satu Demi Satu 1. Tanpa Pengembalian → Permutasi Pengulangan obyek eksp. tidak dimungkinkan dan urutan diperhatikan (punya makna) 2. Dengan Pengembalian → Bukan Permutasi dan Bukan Kombinasi PELUANG

  23. Ambil acak 2 bola sekaligus. Hasil-hasil yang mungkin? Cara Ekp. Hasil-hasil yang mungkin Obyek Eksp A n(S) = = 3 . Eksp1: ambil acak 2 bola sekaligus S s2 s1 s3 P({s1}) = P({s2}) = P({s3}) = Maka S berdistribusi seragam P(A) = S A 1 2 1 1 … s1 … s2 … s3 3 3 3 2 2 Peluang Kejadian 1.PengambilanSekaligus S = {s1, s2 , s3 } = Ruang sampel hasil eksperimen A= Peristiwa terambilnya jumlahkedua nomor bola ganjil = {s1, s3 } , n(A) = 2. PELUANG

  24. Ambil acak 2 bola 1 – 1 tanpa pengemb. Hasil-hasil yang mungkin? Hasil-hasil yang mungkin A Cara Ekp. … … s1 Obyek Eksp … … s2 … … s3 s6 s4 s1 s3 s2 Eksp 2 : ambil acak 2 bola 1 – 1 tanpa pengembalian S … … s4 … … s5 … … s6 3 cara 2 cara S = {s1, s2 , s3 , . . . ,s6 } = Ruang sampel hasil eksperimen A = peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil = {s1, s3, s4 , s6 } P(A) == = . S s5 n(S) = 3 × 2 6. = = A 1 3 1 2 3 2 2 1 3 P({s1}) = P({s2}) = … = P({s6}) = Maka S berdistribusi seragam. 1 3 1 1 2 2 3 3 1 3 1 3 2 2 2 Peluang Kejadian 2. Pengambilan Satu demi Satu Tanpa Pengembalian PELUANG

  25. Ambil acak 2 bola 1-1 dengan pengembalian. Hasil-hasil yang mungkin? Hasil-hasil yang mungkin II A I … … s1 … 1 2 2 … s2 … s3 … Eksp2:ambil acak 2 bola 1-1 dengan pengemb. S … s7 … 3 cara 3 cara S S = {s1, s2 , s3, ... , s9} = Ruang sampel hasil eksperimen. n(S) = 3 × 3 = 9 A = peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil. = {s2, s4, s6 , s8} P(A) == . A s2 s9 s5 s1 s7 s4 s3 s6 s8 P({s1}) = P({s2}) = … = P({s9}) = Maka S berdistribusi seragam. 3 1 1 1 1 1 3 1 3 3 3 3 3 3 2 1 1 2 … 3 2 2 … s8 … … s9 Peluang Kejadian 3.Pengambilan 1 – 1 Dengan Pengembalian PELUANG

  26. Peluang Kejadian Frekuensi Harapan Frekuensi Harapan suatu kejadian adalah hasil kali peluang kejadian tersebut dengan banyaknya percobaan. Fr(A) = P(A) . n dengan, Fr(A) = frekuensi harapan kejadian A P (A) = peluang kejadian A n = banyaknya percobaan Contoh: Peluang seorang anak terkena penyakit polio adalah 0,01, dari 8000 anak. Berapa kira- kira yang terjangkit penyakit polio? Jawab: P(kenapolio) = 0,01, n= 8000 Fr(A) = P(kena polio) . n = 0,01 x 8000 = 80 Jadi, dari 8000 anak diperkirakan ada 80 anak yang terkena penyakit polio PELUANG

  27. A’ S A Kejadian Majemuk 1. Komplemen Kejadian bukan A dari himpunan S ditulis dengan simbol A’ (atau Ac) disebut komplemen dari A. Jika A mempunyai a elemen, dan S mempunyai n elemen maka A’ mempunyai n-a elemen. Maka P(A’) adalah peluang tidak terjadinya A. PELUANG

  28. S .1.4 B .6 .8 .9 .10 .12 A .2 .5 .7 .3 .11 Kejadian Majemuk 2.Dua Kejadian Saling Lepas S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} A={kejadian mendapatkan bilangan prima} B={kejadian mendapatkan sedikitnya bilangan 5} Maka A = {2, 3, 5, 7, 11} dan B = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Sehingga Jika kita melihat hubungan antara , P(A) dan P(B), terdapat irisan antara A dan B, yaitu {5, 7, 11} dan juga diperoleh PELUANG

  29. dan Kejadian Majemuk Jika suatu kejadian A dan B tidak bersekutu, dalam hal ini =Ø, maka kita katakan dua kejadian tersebut adalah saling lepas. Untuk kejadian saling lepas (saling asing) Maka = P(Ø) = 0 Jika A dan B kejadian yang saling lepas maka PELUANG

  30. Kejadian Majemuk Contoh Soal : • Sebuah dadu dilemparkan satu kali, Jika A = {kejadian muncul mata dadu lebih dari 2}, tentukan P(A’) ? Jawab : Sebuah dadu dilemparkan satu kali, maka ruang sampelnya adalah:S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Jika A = {kejadian muncul mata dadu lebih dari 2} = {3, 4, 5, 6}Maka P(A) = 4/6 = 2/3 P(A’) = 1 – 4/6 = 2/6 = 1/3 2. Pada pengambilan 1 kartu secara acak dari 1 set kartu bridge, berapa peluang mendapatkan kartu As atau King? PELUANG

  31. Dua Kejadian Saling Bebas Sekeping uang logam dan sebuah dadu dilempar sekali. Kejadian munculnya sisi angka pada uang logam dan kejadian munculnya mata 3 pada dadu adalah dua kejadian yang tidak saling mempengaruhi. Peluang dua kejadian A dan B yangyang saling bebas adalah:P (A B) = P (A) . P(B) Contoh : Misal A = kejadian muncul mata dadu 3 pada pelemparan pertama, maka :n(A) = 1, sehingga P(A) = Misal B = kejadian muncul mata dadu 5 pada pelemparan kedua, maka: n(B) = 1, sehingga P(B) =Peluang A dan B: P( A B) = P(A) . P(B) = PELUANG

  32. Rangkuman 1. Peluang tidak terjadinya A atau P(A’) adalah P(A’) = 1 – P(A) 2. Jika A dan B kejadian yang saling lepas maka 3. Jika A dan B kejadian yang saling bebas maka PELUANG

  33. SEKIAN TERIMA KASIH SAMPAI JUMPA LAGI PELUANG

More Related