Mechanika Kwantowa

1. Mechanika Kwantowa III. Proste zagadnienia kwantowe WYKŁAD 9 Oscylator harmoniczny

2. Plan wykładu • hamiltonian oscylatora harmonicznego, • rozwiązanie przy pomocy wielomianów Hermite’a, • rozwiązanie przy pomocy operatorów kreacji i anihilacji, • hamiltonian w bazie energii.

3. Hamiltonian oscylatora harmonicznego Rozważmy potencjał (energię potencjalną) 1-wymiarowego oscylatora harmonicznego Wiele potencjałów posiadających minimum w pobliżu punktu x0 można przybliżyć wokół tego punktu potencjałem typu oscylatora harmonicznego.

4. Hamiltonian oscylatora harmonicznego Hamiltonian dla oscylatora ma postać: gdzie . Odpowiednie równanie Schrödingera ma postać:

5. Hamiltonian oscylatora harmonicznego Dokonując zamiany zmiennych (na bezwymiarowe) otrzymamy ostatecznie: Wielkość jest „naturalną” jednostką długości dla omawianego zagadnienia. Sformułowanie nabiera teraz znaczenia.

6. Hamiltonian oscylatora harmonicznego Zachowanie asymptotyczne ( ): Rozwiązanie ścisłe: gdzie funkcja f spełnia równanie:

7. Rozwiązanie za pomocą wielomianów Hermite’a Wielomiany Hermite’a spełniają równanie: Podstawowe własności:

8. Rozwiązanie za pomocą wielomianów Hermite’a Tak więc funkcje falowe i energie mają postać: gdzie:

9. Rozwiązanie za pomocą wielomianów Hermite’a Przykładowe gęstości prawdopodobieństwa

10. Rozwiązanie za pomocą wielomianów Hermite’a Można wykazać, że:

11. Rozw. za pomocą operatorów kreacji i anihilacji Hamiltonian dla oscylatora harmonicznego zapiszemy używając operatorów anihilacji i kreacji

12. Rozw. za pomocą operatorów kreacji i anihilacji Podstawowe własności operatorów kreacji i anihilacji:

13. Rozw. za pomocą operatorów kreacji i anihilacji Operatory położenia i pędu mają postać:

14. Rozw. za pomocą operatorów kreacji i anihilacji Hamiltonian przyjmie postać: Funkcje falowe otrzymujemy ze stanów: gdzie stan próżni obliczamy z warunku: otrzymując wynik identyczny jak poprzednio (przy zastosowaniu metody wielomianów Hermite’a).

15. Rozw. za pomocą operatorów kreacji i anihilacji Elementy macierzowe:

16. Hamiltonian w bazie energii Elementy macierzowe operatorów w bazie energii:

17. Hamiltonian w bazie energii

18. Hamiltonian w bazie energii Hamiltonian w bazie energii: