Mechanika Kwantowa

Mechanika Kwantowa IV. Atom wodoru WYKŁAD 12 Stany stacjonarne w potencjale centralnym

Plan wykładu • hamiltonian cząstki w polu centralnym, • separacja zmiennych, • radialne równanie Schrödingera, • liczby kwantowe, • zagadnienie dwóch ciał.

Hamiltonian cząstki w polu centralnym Zakładamy, że cząstka o masie  porusza się w pewnym polu, którego centrum umieszczone jest w początku układu współrzędnych. Energia potencjalna cząstki dana jest funkcją V=V(r) i zależy jedynie od odległości cząstki od centrum pola. Mówimy wtedy, że cząstka porusza się w polu o potencjale centralnym.

Hamiltonian cząstki w polu centralnym Hamiltonian cząstki poruszającej się w polu centralnym ma postać gdzie Postać hamiltonianu zależy od postaci członu opisującego energię potencjalną.

Hamiltonian cząstki w polu centralnym Stacjonarne równanie Schrödingera ma postać: W rozpatrywanym przez nas przypadku potencjał ma z założenia symetrię sferyczną, tak więc bardziej użytecznym będzie posługiwanie się układem współrzędnych sferycznych.

Hamiltonian cząstki w polu centralnym Laplasjan we współrzędnych sferycznych ma postać dla dowolnej funkcji zależnej od zmiennych Pamiętamy, że operator L2 ma postać (we wsp. sferycznych, w reprezentacji położeniowej):

Hamiltonian cząstki w polu centralnym Możemy więc napisać pamiętając, że oba człony prawej strony równoważności działają na funkcję zależną od zmiennych

Hamiltonian cząstki w polu centralnym Musimy więc rozwiązać stacjonarne równanie Schrödingera we współrzędnych sferycznych w postaci

Hamiltonian cząstki w polu centralnym Operator momentu pędu we wsp. sferycznych (Wykład 11)

Separacja zmiennych Ponieważ składowe operatora momentu pędu działają jedynie na zmienne kątowe, więc komutują one ze wszystkimi operatorami działającymi na zmienną radialną. Mamy więc: Tak więc jako zupełny zbiór komutujących obserwabli wybieramy H, L2 oraz L3, dla których to operatorów mamy wspólne stany własne.

Separacja zmiennych Możemy napisać: Pamiętamy także (Wykład 11), że: gdzie Y to tzw. harmoniki sferyczne.

Separacja zmiennych Zapisując hamiltonian w postaci gdzie: równanie Schrödingera przybierze formę: (lewa strona zależna od r, prawa od )

Separacja zmiennych co pozwala nam dokonać faktoryzacji funkcji falowej: Należy więc rozwiązać „jedynie” równanie

Radialne równanie Schrödingera Wykorzystując postać funkcji falowej: w równaniu otrzymamy radialne równanie Schrödingera:

Radialne równanie Schrödingera Ponieważ w równaniu radialnym występuje liczba kwantowa l oraz wiemy, że dla każdego l mamy 2l+1 możliwych wartości liczby kwantowej m, tak więc funkcja radialna R(r) będzie zależeć od dwóch parametrów: gdzie sens fizyczny liczby kwantowej a zostanie podany w następnym wykładzie.

Radialne równanie Schrödingera Radialne równanie Schrödingera przyjmie więc postać: Można uprościć powyższy zapis wprowadzając zależność: otrzymując:

Radialne równanie Schrödingera Radialne równanie Schrödingera możemy także zapisać w postaci gdzie potencjał efektywny:

Radialne równanie Schrödingera Można wykazać, że dla potencjału w postaci , gdzie , w pobliżu r = 0 funkcja radialna powinna się zachowywać jak:

Liczby kwantowe Podsumowanie 1) Dla cząstki poruszającej się w potencjale centralnym funkcje falowe zależą co najmniej od trzech liczb kwantowych Funkcje te są funkcjami własnymi operatora Hamiltona, kwadratu momentu pędu oraz rzutu momentu pędu na oś z.

Liczby kwantowe 2) Funkcje odpowiadają wartościom własnym: - energia - pełny moment pędu - rzut momentu pędu na oś z Nazewnictwo liczb kwantowych: a –główna (radialna) liczba kwantowa; l – orbitalna liczba kwantowa; m – magnetyczna liczba kwantowa

Liczby kwantowe 3) Funkcje falowe spełniają równania gdzie:

Zagadnienie dwóch ciał Zakładamy, że dwa ciała o masach m1 i m2 oddziałują ze sobą z potencjałem zależnym jedynie od ich wzajemnej odległości: Wprowadzamy nowe zmienne: m2 z r r2 m1 rŚM r1 y x

Zagadnienie dwóch ciał Lagranżjan w postaci: w nowych zmiennych przyjmie formę:

Zagadnienie dwóch ciał Zalety wprowadzenia nowych zmiennych: • zagadnienie dwóch oddziałujących z sobą ciał zostało sprowadzone do zagadnienia dwóch cząstek (fikcyjnych), które ze sobą nie oddziałują; • jedną z fikcyjnych cząstek jest środek masy (ŚM) o masie m1+m2, którego pęd jest zachowany. Ruch ŚM możemy pominąć przechodząc do układu środka masy, w którym • drugą cząstką jest cząstka o masie (masa zredukowana) poruszająca się w polu o potencjale V(r), której ruch musimy wyznaczyć.

Mechanika Kwantowa