MATEMÁTICAS II

1. MATEMÁTICAS II Tema II Espacios vectoriales Apuntes 2º Bachillerato C.T.

2. 2. ESPACIOS VECTORIALES • Los conjuntos R2 y Rn. • Espacios vectoriales. • Combinaciones lineales. • Sistema generador. • Dependencia e independencia lineal. • Subespacios vectoriales. • EJERCICIOS DEL LIBRO • PROBLEMAS DEL LIBRO Apuntes 2º Bachillerato C.T.

3. EL CONJUNTO R2 y Rn TEMA 2.10 * 2º BCT Apuntes 2º Bachillerato C.T.

4. EL CONJUNTO R2 • El conjunto R2 es el producto cartesiano del conjunto de los números reales. • R2 = R x R = {(a,b) / a, b є R } • Cada par de números reales (a, b) representa un punto del plano. • Dado el punto A de R2 , llamamos: • Primera coordenada o componente del punto A al valor a. • Segunda coordenada o componente del punto A al valor b. • Operaciones: • Suma • Dados dos pares ordenados (a,b) y (c,d), su suma es otro par ordenado: • (a,b)+(c,d) = (a+c, b+d) • Producto • Dado un par (a,b) y un número real k, el producto de k por (a, b) es otro par ordenado: • k.(a,b) = (k.a, k.b) Apuntes 2º Bachillerato C.T.

5. EL CONJUNTO Rn • El conjunto Rnestá compuesto por todas las n-uplas ordenadas de números reales. • Rn = R x R x ….. x R = {(x1, x2, … , xn) / xiє R, Vi = 1, 2, … , n } • Dos n-uplas son iguales si verifican las n igualdades: • x1 = y1 , x2,= y2, ….., xn,= yn • Operaciones • En Rn se definen las siguientes operaciones: • Suma • (x1, x2, … , xn) + (y1, y2, … , yn) = (x1+ y1, x2+ y2, ….., xn + yn) • Producto • k. (x1, x2, … , xn) = (k.x1, k.x2, … , k.xn), para todo k є R Apuntes 2º Bachillerato C.T.

6. PROPIEDADES • ASOCIATIVA • (x1, x2, … , xn) + [ (y1, y2, … , yn) + (z1, z2, … , zn) ] = [ (x1, x2, … , xn) + • + (y1, y2, … , yn) ] + (z1, z2, … , zn) • COMMUTATIVA • (x1, x2, … , xn) + (y1, y2, … , yn) = (y1, y2, … , yn) ] + (x1, x2, … , xn) ELEMENTO NEUTRO • (x1, x2, … , xn) + (0, 0, … , 0) = (x1, x2, … , xn) • ELEMENTO OPUESTO • (x1, x2, … , xn) + (- x1, - x2, … , - xn) = (0, 0, … , 0) • DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA SUMA • k.[(x1, x2, … , xn) + (y1, y2, … , yn)] = • = k.(x1, x2, … , xn) + k.(y1, y2, … , yn) • DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA SUMA DE ESCALARES • (λ+μ).(x1, x2, … , xn) = λ.(x1, x2, … , xn) + μ.(x1, x2, … , xn) • ASOCIATIVA RESPECTO AL PRODUCTO DE ESCALARES • (λ.μ).(x1, x2, … , xn) = (λ.(x1, x2, … , xn)).μ) • ELEMENTO NEUTRO • 1.(x1, x2, … , xn) = (x1, x2, … , xn) Apuntes 2º Bachillerato C.T.

7. ESPACIOS VECTORIALES • Consideremos un conjunto V = (u, v, w, …) a cuyos elementos llamamos vectores y definamos en él las siguientes operaciones: • Suma • V x V  V • (u, v)  u + v • Producto de un vector por un escalar • R x V  V • (k, u)  k.u • El conjunto V, con las operaciones de suma y producto por un escalar, es un especio vectorial real si verifica que • 1.- (V, +) es un grupo commutativo. • 2.- El producto por un escalar cumple las propiedades características. • El espacio vectorial se expresa mediante la terna (V, +, .) Apuntes 2º Bachillerato C.T.

8. PROPIEDADES • GRUPO COMMUTATIVO • ASOCIATIVA • u+(v+w)=(u+v)+w • COMMUTATIVA • u+v=v+u • ELEMENTO NEUTRO • u+0=u • ELEMENTO OPUESTO • u+(-u)=0 • OTRAS • DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA SUMA • k.(u+v) = ku + kv • DISTRIBUTIVA RESPECTO A COEFICIENTES • (k+t)u = ku+tu • ASOCIATIVA • k(tu)=(k.t)u • ELEMENTO NEUTRO • 1u=u Apuntes 2º Bachillerato C.T.