Matriks dan Transformasi Linier

1. Matriks dan Transformasi Linier Dra. Dwi Achadiani, M.Kom

2. Vektor • Definisi: Vektor adalah besaran yang mempunyai arah dan besar, contoh: kecepatan, gaya, percepatan. ● ● • Lambang : a : vektor a Titik awal Titik ujung besar arah

3. Operasi vektor dalam bidang • Operasi penjumlahan dua vektor • Definisi: Jika a dan b dua vektor dengan titik awal yang sama, maka jumlah a dan b ( a + b ) adalah vektor yang merupakan diagonal jajaran genjang . a a + b b

4. Sifat penjumlahan vektor • Operasi perkalian vektor dengan bil riel Sifat perkalian vektor dengan bil riel

5. Kombinasi Linier

6. adalah vektor-vektor Definisi: Jika di R²(atau di ), maka: dinamakan kombinasi linier dari • Panjang Vektor (Norm) Definisi: Panjang vektor di didefinisikan :

7. Sudut antara dua vektor Sudut θ antara dua vektor di R², jika memenuhi persamaan berikut: , dengan

8. Perkalian Silang Definisi: Jika 2 vektor di , maka: panjangnya 1 unit dan searah sumbu x

9. panjangnya 1 unit dan searah sumbu y panjangnya 1 unit dan searah sumbu z z x y Maka vektordapat ditulis menjadi

10. z d • Jarak dua titik yang berada pada dua ujung vektor Maka jarak antara titik A ke titik B adalah d, dengan: x y

11. Bergantung Linier dan Bebas Linier Vektor- vektor : , apabila dengan tidak semua berharga nol, maka vektor disebut bergantung linier, sedangkan apabila semua berharga nol maka vektor disebut bebas linier.

12. Vektor pembentuk ruang vektor Definisi: suatu himpunan vektor-vektor disebut sistem pembentuk ruang vektor V, ditulis V= bila setiap dapat ditulis sbg kombinasi linier dari

13. Dimensi dan Basis • Dimensi Definisi: suatu vektor V dikatakan berdimensi n bila dapat diketemukan suatu himpunan n vektor-vektor V yang bebas linier Atau : maksimum banyaknya vektor-vektor V yang bebas linier .

14. Basis Definisi: Setiap sistem pembentuk yang bebas linier disebut basis ruang vektor tersebut.

15. MATRIKS Definisi: Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun dalam sebuah empat persegi panjang, secara teratur, di dalam baris-baris dan kolom-kolom. Matriks di atas disebut matriks ukuran m x n

16. Operasi Matriks • Operasi Kesamaan Dua matriks A dan B disebut sama, jika: • A dan B sejenis • Setiap unsur yang seletak sama. A = B, A ≠ C, B ≠ C

17. 2.Penjumlahan dua matriks Definisi: Jumlah dua matriks A dan B yang sejenis adalah sebuah matriks C yang sejenis pula dengan unsur-unsur , dimana terdapat hubungan: .

18. Sifat-sifat penjumlahan: • Komutatif : A + B = B + A • Assosiatif : A + (B + C) = (A + B) + C • Perkalian dengan skalar ( ) • Perkalian sebuah matriks dengan skalar ( ) • maka setiap unsur matriks tersebut terkalikan dengan skalar ( ). • , maka A = .

19. Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar • (A + B) = A + B • ( + β ) A = A + β A • (β A) = β A

20. 4. Perkalian dua matriks Definisi: Dua matriks A (m x n), dan B (p x q) didefinisikan hasil kalinya, jika n = p , maka hasilkali adalah matriks C (m x q) dengan unsur-unsur:

21. Catatan: • Perkalian 2 matriks AB dapat didefinisikan, jika banyaknya kolom matriks A = banyaknya baris matriks B. • Hasil kali dua matriks AB adalah suatu matriks dengan banyaknya baris = banyaknya baris matriks A dan banyaknya kolom = banyaknya kolom matriks B. • Pada umumnya AB ≠ BA Contoh: 1 x 3 3 x 1 1 x 1

22. 2 x 2 3 x 3

23. Macam-macam matriks • Matriks bujursangkar Definisi: matriks bujursangkar adalah matriks dimana banyaknya baris = banyaknya kolom 2. Matrik satuan/ matriks identitas • Matriks bujur sangkar • Setiap unsurnya nol, kecuali didiagonal utama = 1

24. Contoh : • A.I = I.A • I.I = I • Matriks segitiga • Matriks bujursangkar • Unsur di atas/di bawah diagonal utama adalah nol

25. Contoh : • Matriks Tranpose • Tidak perlu bujursangkar • Setiap baris ditukar tempat dengan kolom

26. Contoh :

27. Sifat-sifat matriks transfose

28. Contoh

29. Matriks simetris • Matriks A disebut simetris apabila • Matriks Bujur sangkar • Contoh

30. Matriks skew simetris • Matriks A disebut matriks skew simetri jika • Bujur sangkar • Contoh

31. Matriks Skew simetris , maka Untuk I = j maka Jadi diagonal utama matriks skew simetris = 0

32. Matriks Diagonal • Matriks bujursangkar • Semua unsur nol, kecuali didiagonal utama

33. 9. Matriks Nol • Tidak perlu matriks bujur sangkar • Semua unsurnya nol A.0 = 0 A + 0 = A A.B = 0, apakah A = 0 ?atau B = 0? atau kedua-duanya nol

34. Dalil: Sembarang matriks bujur sangkar dapat ditulis sebagai jumlahan dua matriks yang satu simetris yang lain skew simetris

35. Bukti:

36. Matriks Simetris Matriks Skew Simetris

37. Cek

38. Transformasi (operasi) Elementer pada Baris dan Kolom Matriks Transformasi Elamenter pada matriks adalah: • Penukaran tempat baris ke i dan ke j (baris ke i dijadikan baris ke j dan baris ke j dijadikan baris ke i), ditulis H (A) • Penukaran tempat kolom ke i dan kolom ke j (kolom ke i dijadikan kolom ke j atau sebaliknya), ditulis K (A) • Memperkalikan baris ke i dengan skalar ≠ 0, ditulis H (A) • Memperkalikan kolom ke i dengan ≠ 0, ditulis K (A) • Menambah baris ke i dengan kali baris ke j, ditulis H (A) ij ij i i ij

39. Menambah kolom ke i dengan kali kolom ke j,ditulis K (A) Kadang untuk operasi (1) dan (3) dapat dilakukan dalam satu langkah : Menambah kali baris ke i dengan kali baris ke j, ditulis H (A) Demikian pula untuk untuk operasi (2) dan (4) Bila menggunakan operasi baris maka disebut operasi baris elementer (OBE) ij 2 1 j i

40. Contoh:

41. Invers Suatu Transformasi Linier Jika suatu transformasi elementer adalah: • A = H (B) = H (B) • A = K (B) = K (B) • A = H (B) = H (B) • A = K (B) = K (B) • A = H (B) = H (B) A = K (B) = K (B) -1 ij ij -1 ij ij -1 1/ i i -1 1/ i i -1 -1 ij ij ij ij

42. Contoh

43. Penggunaan OBE • Mencari Rank Matriks • Adalah jumlah maksimum baris/kolom yang bebas linier ( tidak semua unsur dalam suatu baris/kolom nol) • Mecari invers matriks • ( A:I ) ( I:A ) OBE -1

44. Contoh Maka rank matriks A = 2

45. 2. Carilah invers dari matriks