1 / 22

BAB X TRANSFORMASI LINIER

BAB X TRANSFORMASI LINIER. 10.1 Transformsi Linier Umum 10.1.1 Definisi

gisela-chapman
Download Presentation

BAB X TRANSFORMASI LINIER

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. BAB X TRANSFORMASI LINIER

  2. 10.1 Transformsi Linier Umum 10.1.1 Definisi Jika T : V W adalah sebuah fungsi yang memetakan sebuah ruang vektor V ke sebuah ruang vektor W, maka T disebut sebagai transformasi linier dari V ke W jika semua vektor u dan v pada V dan semua skalar c memenuhi, (a) T(u + v) = T(u) + T(v) (b) T(cu) = cT(u) atau T(ku + v) = kT(u) + T(v) Dalam kasus V = W, transformasi linier T : V V disebut sebagai operator linier pada V.

  3. Contoh 10.1 Tunjukkan bahwa fungsi T : ℝ2ℝ2 yang dirumuskan oleh T(x, y) = (x, 2x – y) adalah sebuah operator linier Penyelesaian u = (u1, u2)  T(u) = T(u1, u2) = (u1, 2u1 – u2) v = (v1, v2)  T(v) = T(v1, v2) = (v1, 2v1 – v2) T(u) + T(v) = (u1, 2u1 – u2) + (v1, 2v1 – v2) = ((u1+ v1), (2u1 + 2v1) – (u2+ v2)) u + v = (u1, u2) + (v1, v2) = (u1+ v1, u2+ v2) T(u + v) = T(u1+ v1, u2+ v2) = ((u1+ v1), (2u1 + 2 v1) – (u2+ v2)) T(u + v) = T(u) + T(v) (syarat a)

  4. cu = c(u1, u2)  T(cu) = T(cu1, cu2)) = (cu1, 2cu1 – cu2) = c (u1, 2u1 – u2) = cT(u) Didapat T(cu) = cT(u) syarat b Karena syarat (a) dan (b) dipenuhi, maka fungsi T : R2R2 yang dirumuskan oleh T(x, y) = (x, 2x – y) adalah sebuah operator linier

  5. Contoh 10.2 Tunjukkan bahwa fungsi T : ℝ2ℝ3yang dirumuskan oleh T(x, y) = (x2, y2, xy) bukan transformasi liner Penyelesaian u = (u1, u2)  T(u) = T(u1, u2) = (u12, u22, u1u2) v = (v1, v2)  T(v) = T(v1, v2) = (v12, v22, v1v2) T(u) + T(v) = (u12, u22, u1u2) + (v12, v22, v1v2) = ((u12 + v12), (u22 + v22 ), (u1u2 + v1v2)) u + v = (u1, u2) + (v1, v2) = (u1+ v1, u2+ v2) T(u + v) = T(u1+ v1, u2+ v2) = ((u1 + v1)2, (u1 + v1)2, (u1+ v1)(u2+ v2)) T(u + v)  T(u) + T(v) (tidak memenuhi syarat a) Jadi fungsi T : ℝ2ℝ3yang dirumuskan oleh T(x, y) = (x2, y2, xy) bukan transformasi liner.

  6. Teorema 10.1 Jika T : ℝmℝnadalah sebuah fungsi yang memetakan sebuah ruang vektor ℝmke sebuah ruang vektor ℝn, maka T disebut sebagai transformasi linier jika terdapat matriks A, nxm, dengan aij ℝ sedemikian rupa sehingga T(u) = A.u u  ℝm Bukti T(ku + v) = A.(ku + v) = A.(ku) + A.v = k (A.u) + A.v = k T(u) + T(v) (terbukti)

  7. Contoh 10.3 Tunjukkan bahwa fungsi T : ℝ2ℝ3yang dirumuskan oleh T(x, y) = (2x + y, x – y, –3x + 2y) adalah transformasi liner. Penyelesaian T(x, y) = (2x + y, x – y, –3x + 2y) Karena terdapat matriks A, 3 x 2, dengan aij ℝ, maka fungsi T : ℝ2ℝ3 yang dirumuskan oleh T(x, y) = (2x + y, x – y, –3x + 2y) adalah transformsi linier

  8. Contoh 10.4 Transformasi Linier dari Pn ke Pn+1 Misal p = p(x) = c0 + c1x + … + cn xn adalah polinomial pada Pn dan didefinisikan fungsi T : Pn  Pn +1 sebagai T(p) = T(p(x)) = xp(x) = c0x + c1x2 + … + cn xn +1 Buktikan bahwa T : Pn  Pn +1 adalah transformasi linier Bukti T(p1 + p2) = T(p1(x)+ p2(x)) = x(p1(x)+ p2(x)) = xp1(x)+ xp2(x) = T(p1) + T(p2) T(kp) = T(kp(x)) = x(kp(x)) = k(xp(x)) = kT(p) (terbukti)

  9. Contoh 10.5 Operator Linier pada Pn Misal p = p(x) = c0 + c1x + … + cn xn adalah polinomial pada Pn dan misalkan a dan b adalah skalar sembarang. Buktikan bahwa fungsi T : Pn  Pn yang didefinisikan oleh, T(p) = T(p(x)) = p(ax+b) = c0(ax+b)+ c1(ax+b)2 +…+cn(ax+b)n +1 adalah sebuah operator linier. Bukti T(p1 + p2) = T(p1(x)+ p2(x)) =(p1(ax+b)+ p2(ax+b)) = T(p1) + T(p2) T(kp) = T(kp(x)) = kp(ax+b) = kT(p) (terbukti)

  10. Contoh 10.6 Transformasi Linier dari C1(–,  )keF(–, ) Misal V = C1(–, ) adalah ruang vektor yang terdiri dari fungsi-fungsi dengan turunan pertama kontinu pada (–, ) dan W = F(–, ) adalah runag vektor yang terdiri dari semua fungsi bernilai real yang terdefinisi pada (–, ). Misalkan D : V  W adalah teransformasi yang memetakan sebuah fungsi f = f(x) ke fungsi turunannya; yaitu, D(f) = f (x) Dari sifat-sifat differensial diperoleh, D(f + g) = D(f) + D(g) dan D(kf) = kD(f) Sehinga D adalah sebuah transformasi linier.

  11. Contoh 10.7 Transformasi Linier dari C(–, ) ke C1(–,  ) Misal V = C(–, ) adalah sebuah ruang vektor yang terdiri dari fungsi-fungsi kontinu pada (–, ) dan W = C1(–, ) adalah runag vektor yang terdiri dari fungsi-fungsi dengan pertama kontinu pada (–, ). Misalkan J : V W adalah transformasi yang memetakan f = f (x) ke integral Jika f = x2, maka J (f )

  12. Dari sifat-sifat integral kita memperoleh = J ( f ) + J ( g ) J (cf ) cJ (f ) Sehingga J adalah transformasi linier J (f + g)

  13. 10.1.2 Sifat-sifat Transformasi Linier Teorema 10.2 Jika T : V W adalah transformasi linier, maka (a) T(0) = 0, (b) T(–v ) = –T(v) untuk semua v pada V (c) T(v–w) = T(v) – T(w) untuk semua v dan w pada V Contoh 10.8 Tunjukkan bahwa fungsi T : ℝ2ℝ2yg dirumuskan oleh T(x, y) = (x + 1, y + 3) bukan transformasi linier Penyelesaian T(x, y) = (x + 1, y + 3) T(0, 0) = (1, 3)  (0, 0) (terbukti)

  14. 10.1.3 Transformasi Linier dari Bayangan Vektor Basis Jika T : VW adalah transformasi linier dan jika {v1, v2, …, vn} adalah basis sembarang untuk V, maka bayangan T(x) dari vektor x sembarang pada V dapat dihitung dari bayangan T(v1), T(v2), … , T(vn) vektor basis tersebut. Hal ini dapat dilakukan dengan menyatakan x sebagai sebuah kombinasi linier dari vektor-vektor basis; yaitu, x = c1v1 + c2v2 + … + cnvn , dan kemudian menggunakan rumus, T(x) = c1T(v1) + c2T(v2) + … + cnT(vn)

  15. Contoh 10.9 Perhatikan basis S = {v1, v2, v3} untuk ℝ3, dimana v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 1, 0), v3 = (1, 0, 0). Misal T : ℝ3ℝ2 adalah transformasi linier sedemikian rupa sehingga, T(v1) = (1, 0), T(v2) = (2, –1), T(v3) = (4, 3). Tentukan sebuah rumus untuk T(x1, x2, x3); kemudian gunakan rumus tersebut untuk menghitung T(2, –3, 5). Penyelesaian Nyatakan x = (x1, x2, x3) sebagai sebuah kombinasi linier dari v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 1, 0), dan v3 = (1, 0, 0.) (x1, x2, x3) = c1(1, 1, 1) + c2(1, 1, 0) + c3(1, 0, 0)

  16. Didapat c3 = x1 – x2 ; c2 = x2 – x3 ; c1 = x3

  17. (x1, x2, x3) = c1(1, 1, 1) + c2(1, 1, 0) + c3(1, 0, 0) T(x1, x2, x3) = c1T(1, 1, 1) + c2T(1, 1, 0) + c3T(1, 0, 0) = x3T(1, 1, 1) + (x2 – x3)T(1, 1, 0) + (x1 – x2) T(1, 0, 0) = x3T(v1) + (x2 – x3)T(v2) + (x1 – x2) T(v3) = x3(1, 0) + (x2 – x3) (2, –1) + (x1 – x2)(4, 3) = (4x1 – 2x2 – x3, 3x1 – 4x2 + x3) T(2 , –3, 5) = (9, 23)

  18. 10.1.4 Komposisi Transformasi Matriks Definisi Jika T1 : U V dan T2 : V W adalah transformasi linier, komposisi T2 dengan T1 dinotasikan dengan T2oT1 (dibaca “T2 lingkaran T1“), adalah fungsi yang didefinisikan oleh rumus, (T2oT1)(u) = T2(T1(u)) dimana u adalah sebuah vektor pada U. Teorema 10.3 Jika T1 : U V dan T2 : V W adalah transformasi linier, maka (T2oT1) : U W juga merupakan transfomrasi linier.

  19. Contoh 10.10 Jika T1 : P1  P2 dan T2 : P2  P2 merupakan transformasi linier yang dirumuskan oleh, T1(p(x)) = xp(x) dan T2(p(x)) = p(2x + 4), maka komposisi(T2oT1) : P1  P2 diberikan oleh rumus (T2oT1)(p(x)) = T2(T1(p(x)) = T2(xp(x)) = (2x+ 4)p(2x+ 4) Jika p(x) = co + c1x, maka p(2x+ 4) = co + c1 (2x + 4) Sehingga, (T2oT1)(p(x)) = (2x+ 4)(co + c1 (2x + 4)) = co (2x+ 4) + c1(2x + 4)2

  20. Secara umum, komposisi dapat didefinisikan untuk lebih dari dua transformasi linier. Jika T1 : U V , T2 : V W , dan T3 : W Y adalah transformasi-transformasi linier, maka komposisi, (T3oT2oT1)(u) = T3(T2(T1(u)))

  21. Latihan • Tunjukkan bahwa fungsi T : ℝ2 ℝ2 yang dirumuskan oleh T(x1, x2) = (x1+ 2x2 , 3x1– x2) adalah sebuah operator linier. • Tunjukkan bahwa fungsi T : ℝ3 ℝ2 yang dirumuskan oleh T(x1, x2, x1) = (2x1– x2 + x3, x2– 4x2) adalah sebuah operator linier. • Tentukan apakah fungsi T : M22  ℝ adalah transformasi linier atau bukan transformasi linier, jika

  22. Tentukan apakah fungsi T : P2  P2 adalah transformasi linier atau bukan transformasi linier, jika a. T(ao + a1x + a1x2) = ao + a1(x + 1) + a2(x + 1)2 b. T(ao + a1x + a1x2) = (ao + 1) + (a1 + 1)x+ (a2 + 1)x2

More Related