CALCULO PROBABILIDADES EN LA BINOMIAL

1. CALCULO PROBABILIDADES EN LA BINOMIAL Bloque IV * Tema 174 Matemáticas Acceso a CFGS

2. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL • Muchos experimentos sociales quedan determinados por dos sucesos contrarios: Hombre o mujer; mayor de 18 años o menor de 18 años; trabajador o en paro; etc. • La distribución de probabilidad discreta que estudia estos experimentos recibe el nombre dedistribución binomial. • En general, a estos dos sucesos contrarios los calificamos por éxito (E) y fracaso (F). • Esta distribución queda caracterizada por: • (1) El resultado de una prueba del experimento aleatorio debe concretarse en dos únicas opciones que, como se ha dicho, llamaremos éxito (E) y fracaso (F). • (2) Se realizan n ensayos del experimento, independientes unos de otros. • (3) La probabilidad de éxito es constante a lo largo de las n pruebas y suele denotarse por p. • P(E) = p • Por tanto, la probabilidad de fracaso también es constante e igual a 1-p = q. • P(F) = q = 1 – P(E) = 1 – p • (4) La variable aleatoria X cuenta el número r de éxitos en las n pruebas: • r = 0, 1, 2, ..., n • Por tanto, los valores que puede tomar X son: 0, 1, 2, ..., ni. • Tal variable binomial queda caracterizada por los parámetros n y p, y se escribe • B(n, p) Matemáticas Acceso a CFGS

3. Probabilidad de r éxitos • Para conocer completamente la distribución de la variable binomial X = B(n, p), debemos encontrar la probabilidad de r éxitos: P(X = r) = pr, r = 0, 1, ..., n. • (1) Si n = 1, los éxitos o son 0 o son 1: • P(X = 1)= P(E) = p • P(X = 0)= P(F) = q • (2) Si n = 2, los éxitos pueden ser 0, 1 y 2 : • P(X = 2) = P(EE) = p.p = p2 • P(X = 1) = P(EF + FE) = pq + qp = 2.pq • P(X = 0) = P(FF) = q.q = q2 • (3) Si n = 3, se tiene: • P(X = 3) = P(EEE) = p.p.p = p3 • P(X = 2) = P(EEF + EFE + FEE) = ppq + pqp + qpp = 3 p2q • P(X = 1) = P(EFF + FEF + FFE) = p qq + qpq + qqp = 3 pq2 • P(X = 0) = P(FFF) = q q. q =q3 Matemáticas Acceso a CFGS

4. Probabilidad de r éxitos • (4) Si n = 4, se tiene: • P(X = 4) = P(EEEE) = p.p.p.p = p4 • P(X = 3) = P(EEEF + EEFE + EFEE + FEEE) = 4. p3q • P(X = 2) = P(EEFF + EFEF + EFFE + FEFE + FEEF + FFEE) = 6p2q2 • P(X = 1) = P(EFFF + FEFF + FFEF + FFFE) = 4pq3 • P(X = 0) = P(FFFF) = q.q.q.q = q4 • El exponente de p nos indica el número de éxitos y el exponente de q el de los consiguientes fracasos en n pruebas. • Además, el coeficiente de cualquier monomiopodemos deducirlo mediante el triángulo de Tartaglia o aplicando el Binomio de Newton. • Se observa una simetría de las probabilidades en esta distribución, tanto en los coeficientes, k , como en las potencias de p, r, y de q, n-r. Matemáticas Acceso a CFGS

5. Probabilidad de r éxitos • (5) Teniendo en cuenta lo anterior, para el caso n = 5 • P(X = 5) = p5 • P(X = 4) = 5. p4q • P(X = 3) = 10. p3q2 • P(X = 2) = 10. p2q3 • P(X = 1) = 5. pq4 • P(X = 0) = q5 • En general: • r n-r • P(X = r)= k.p . q • Para valores de n superiores a 5 se utiliza laTabla de la Binomial, o se calcula el parámetro k sabiendo que es un número combinatorio. • k = C = n! / r! . (n-r)! • n, r Matemáticas Acceso a CFGS

6. Ejemplo • Lanzamos una moneda al aire 20 veces. • ¿Cuál es la probabilidad de que nos salgan 7 caras? • RESOLUCIÓN: • n=20, pues se repite el lanzamiento 20 veces • r=7 , pues se trata de ver la probabilidad de tener 7 exitos. • p=0,5 , que es la probabilidad de éxito ( salir cara ). • Luego, aplicando la fórmula obtenida: • r n-r • P(X = r)= k.p . q • 7 20-7 • P(x =7) = k. (1/2) . (1 – ½) • 7 7 20-7 7 13 • P(x =7) = C . (1/2) . (1 – ½) = [ 20! / 7!.(20-7)! ]. 0,5 . 0,5 = • 20 • = 77.520 0,00000095 = 0,074 Matemáticas Acceso a CFGS

7. Otro Ejemplo • Lanzamos un dado al aire 20 veces. • ¿Cuál es la probabilidad de que nos salgan 7 seises? • RESOLUCIÓN: • n=20, pues se repite el lanzamiento 20 veces • r=7 , pues se trata de ver la probabilidad de tener 7 exitos. • p=0,167 , pues la probabilidad de éxito ( salir un seis ) es p = 1/6 = 0,167 • Luego, aplicando la fórmula obtenida: • r n-r • P(X = r)= k.p . q • 7 20-7 • P(x =7) = k. (1/6) . (1 – 1/6) • 7 7 20-7 7 13 • P(x =7) = C . (1/6) . (5/6) = [ 20! / 7!.(20-7)! ]. 0,167 . 0,833 = • 20 • = 77520 0,000000334 = 0,026 Matemáticas Acceso a CFGS

8. MEDIDAS ESTADÍSTICAS de una distribución binomial • MEDIA • μ = n.p • En nuestros ejemplos: • μ = n.p = 20.0,5 = 10 para la moneda • μ = n.p = 20.0,167 = 3,34 para el dado • DESVIACIÓN TÍPICA • σ = √(n.p.q) • σ = √(n.p.q) = √ 20.0,5.0,5 = √5 = 2,24 para la moneda • σ = √(n.p.q) = √ 20.0,167.0,833 = √2,77 = 1,67 para el dado Matemáticas Acceso a CFGS