Probabilidades

1. Probabilidades 9º Ano probabilidades

2. Probabilidades 9º Ano Em 1651 o Conde de Méré (viciado no jogo) viajava com Pascal ( homem que estudava religião e Matemática – inventor da máquina de calcular) e colocou-lhe a seguinte questão: “ Eu e um amigo estávamos a jogar quando uma mensagem urgente nos obrigou a interromper o jogo. Tínhamos colocado em jogo 30 pistolas cada um ( 1 pistola = 2,5 € ). Ganharia as 60 pistolas o primeiro que obtivesse 3 vezes o número que escolheu no lançamento de um dado. Eu tinha escolhido o 6 e quando o jogo foi interrompido já tinha saído o 6 duas vezes. O meu amigo tinha escolhido o 1 que apenas tinha saído uma vez”. Como dividir as 60 pistolas?

3. Probabilidades 9º Ano Pascal interessou-se por este problema e iniciou uma correspondência com o seu amigo Fermat para analisar a situação. Essa correspondência marca o início da Teoria das Probabilidades. Blaise Pascal Fermat

4. Probabilidades 9º Ano Importância do estudo da Teoria das Probabilidades METEREOLOGIA É pouco provável que chova durante esta semana. SEGUROS Porque é que um condutor com pouco tempo de carta paga mais seguro? JOGOS Porque é que o totoloto tem 49 números e não 10 ou 20?

5. Probabilidades 9º Ano Termos e conceitos Experiências Aleatórias Deterministas • Furar um balão cheio • Deixar cair um prego num copo de água • Calcular a área de quadrado de lado 9 cm • Lançamento de uma moeda • Lançamento de um dado • Totoloto • Estado do tempo para a semana • Extracção de uma carta • Tempo que uma lâmpada irá durar À partida já conhecemos o resultado À partida não sabemos o resultado

6. Probabilidades 9º Ano Termos e conceitos Espaço de Resultados Espaço de resultados é o conjunto de todos os resultados possíveis de uma experiência aleatória. EXPERIÊNCIA 1: Lançamento de um dado Espaço de resultados = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } EXPERIÊNCIA 2: Jogo de futebol Espaço de resultados = S = {Vitória, Empate, Derrota } EXPERIÊNCIA 3: tirar uma bola de Totoloto Espaço de resultados = S = {1, 2, 3, ... ,47, 48, 49 }

7. Probabilidades 9º Ano Termos e conceitos Acontecimentos Um acontecimento é um subconjunto do espaço de resultados. EXPERIÊNCIA 1: Lançamento de um dado Espaço de resultados = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } Acontecimento A: “Sair um número par” A = { 2, 4, 6 } Acontecimento B: “ Sair um número maior que 2” B = { 3, 4, 5, 6 }

8. Probabilidades 9º Ano Termos e conceitos EXPERIÊNCIA: Lançamento de um dado Espaço de resultados = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } Acontecimento ELEMENTAR COMPOSTO A: “ Sair o nº 3 ” B: “ Sair o nº ímpar ” A={ 3 } B={ 1, 3, 5 } Só tem um elemento Tem mais do que um elemento

9. PROBABILIDADE DE UM ACONTECIMENTO Lei de LAPLACE 1749 - 1827

10. Lei de LAPLACE EXPERIÊNCIA: Lançamento de uma moeda A moeda tem duas faces: N – nacional; C - Comum E = { N, C } Qual é a probabilidade de sair N no lançamento de uma moeda? Nº casos favoráveis = 1 Nº casos possíveis = 2

11. EXPERIÊNCIA: Lançamento de um dado equilibrado Calcula a probabilidade de cada um dos acontecimentos: 1) A: “ Sair o número 5 “ Só há uma face “5” Um dado tem 6 faces 2) B: “ Sair um número maior que 2 “ B = { 3, 4, 5, 6 } Nº casos favoráveis = 4 Nº casos possíveis = 6

12. Num cesto de fruta há: 10 laranjas, 8 maçãs e 2 peras. Tira-se ao acaso uma peça de fruta do cesto. Qual a probabilidade de ser: • uma maçã • nº de casos favoráveis: • nº de casos possíveis: • P(sair maçã) • uma pêra • nº de casos favoráveis: • nº de casos possíveis: • P(sair pêra) 8 2 10+8+2=20 10+8+2=20

13. uma laranja • nº de casos favoráveis: • P(sair laranja) • uma maçã ou uma pêra • nº de casos favoráveis: • P(sair pêra) 10 10 • Um limão • nº de casos favoráveis: • P(sair limão) • uma maçã ou uma pêra ou uma laranja • nº de casos possíveis: • P(sair ……) 0 20 Acontecimento impossível Acontecimento certo A probabilidade de sair um acontecimento impossível é 0 A probabilidade de sair um acontecimento certo é 1

14. De um modo geral

15. Improvável Pouco provável Provável Muito provável 0% 25% 50% 100% 75% Impossível Tão provável como Certo

16. Actividade 1 Jogo das Moedas Número de jogadores: Dois jogadores ou duas equipas Material: 2 moedas de um euro; papel e lápis • Regras do jogo: • Um dos jogadores será o A e o outro será o B. • Cada jogador, na sua vez, atira duas moedas ao ar. Se sair as duas faces comuns a todos os países da União Europeia, o B ganha um ponto; caso contrário, ganha o A um ponto. • O vencedor é aquele que obtiver maior pontuação ao fim de dez lançamentos.

17. 1ª moeda 2ª moeda • Representa por C a face comum a todos P a face portuguesa. • Completa o seguinte diagrama de árvore: CP PC PP

18. 2. Os dois jogadores têm as mesmas hipóteses de ganhar? Porquê? CC CP PC PP Não, porque as duas faces C saem uma vez, as outras saem três vezes 3. Se fosses tu a jogar, quem escolherias ser? 0 A ou o B? Escolhia o A.

19. Probabilidades 9º Ano Actividade 2 EXPERIÊNCIA: Lançamento de dois dados Qual é o espaço de resultados? Qual é a probabilidade de sair dois números maiores que 3?

20. Probabilidades 9º Ano • Entrada: • Sopa • Canja Prato: • Arroz de frango • Bife grelhado • Lampreia • Sobremesa: • Fruta da época • Pudim Cálculo de Probabilidades EXPERIÊNCIA: Ementa de restaurante Quantas refeições diferentes podemos escolher, tendo cada uma, uma entrada, um prato e uma sobremesa? Entrada Refeição Prato Sobremesa ( S,A,F ) F A ( S,A,P ) P ( S,B,F ) F S B P ( S,B,P ) F ( S,L,F ) L P ( S,L,P ) F ( C,A,F ) A P ( C,A,P ) C F ( C,B,F ) B 12 refeições diferentes! P ( C,B,P ) F ( C,L,F ) L P ( C,L,P )

21. Probabilidades 9º Ano Cálculo de Probabilidades Entrada Prato Sobremesa Refeição Escolhida uma refeição ao acaso qual é a probabilidade de comer bife ou fruta? ( S,A,F ) F A ( S,A,P ) P F ( S,B,F ) S B P ( S,B,P ) F ( S,L,F ) L P ( S,L,P ) F ( C,A,F ) A P ( C,A,P ) C F ( C,B,F ) B P ( C,B,P ) F ( C,L,F ) L P ( C,L,P )

22. Frequência relativa e estimativa da probabilidade.

23. Vamos recordar … O que sabes sobre a frequência absoluta? Frequência absoluta?!? A frequência absoluta de um acontecimento é o número de vezes que ele ocorre quando realiza a experiência um determinado número de vezes.

24. E sobre a frequência relativa? Frequência relativa?!?!?!... A frequência relativa de um acontecimento é o quociente entre a frequência absoluta e o número de vezes que se repete a experiência.

25. Tabela de frequências Clube frequência absoluta (vitórias)‏ frequência relativa frequência relativa (%)‏ Porto 14 Benfica 9 Sporting 3 Boavista 2 Total 28

26. Lei dos grandes númerosPara um grande número de experiências a frequência relativa de um acontecimento A é um valor aproximado da sua probabilidade.

27. Diagramas de Venn Intersecção dos acontecimentos A e B é o acontecimento que se realiza se e só se A e B se realizam simultaneamente. União dos acontecimentos A e B é o acontecimento que se realiza se e só se A ou B se realizam.

28. FIM!!