Fatoração de Polinômios

1. Fatoração de Polinômios Técnicas de Fatoração iifatoração por agrupamento Prof. Eduardo

2. Observe as figuras seguintes, todas de mesma área A : a b a+b x x y y A = ax + bx + ay + byA = x(a+b) + y(a+b) a+b x+y A = (x+y).(a+b) ax bx x(a+b) ay by y(a+b) (x+y).(a+b)

3. Observe que: A área total da primeira figura é: A = ax + bx + ay + by A área total da segunda figura é: A = x(a+b) + y(a+b) Finalmente, para a terceira figura: A = (x+y).(a+b)

4. Chegamos a seguinte conclusão: Já que as figuras têm a mesma área, podemos escrever: ax + bx + ay + by = x(a+b) + y(a+b) = (x+y).(a+b)

5. Portanto: Sem percebermos fatoramos o polinômio ax + bx + ay + by colocando um grupo comum em evidência. Observe:

6. ax + bx+ ay + by Fator comum x Fator comum y Ficamos, então, com: x(a+b) + y(a+b) Fator comum Portanto: (x+y).(a+b)

7. O que acabamos de fazer foi utilizar uma das técnicas de fatoração. Neste caso, precisou-se fatorar o polinômio duas vezes.Veja só: ax + bx+ ay + by 1ª Fatoração x(a+b) + y(a+b) 2ª fatoração (x+y).(a+b)

8. Essa técnica nada mais é do que a fatoração por Agrupamento.

9. Vejamos mais exemplos: Vamos fatorar os seguintes polinômios: • a2 + ab + ax + bx • ax – b + ab – x • 15 + 5y + 2ay + 6a • a12 + a8 – a4 + 1

10. Solução: A) a2 + ab + ax + bx a (a+b) + x(a+b) fator comum Logo: a2 + ab + ax + bx = (a+b).(a+x)

11. b) ax – b + ab – x Neste caso, nosso primeiro passo será agrupar os termos que possuem um fator comum: (ax – x) + (ab – b) Podemos, então, começar a fatoração: x(a – 1) + b(a – 1) Fator Comum Finalmente: ax – b + ab – x = (a – 1) . (x + b)

12. c) 15 + 5y + 2ay + 6a (5.3 + 5.y) + (2.a.y + 3.2.a) 5.(3 + y) + 2.a.(y + 3) Fator Comum Portanto: 15 + 5y + 2ay + 6a = (y + 3).(5 + 2a)

13. d) a12 + a8 – a4 – 1 a8 . (a4 + 1) – 1.(a4 + 1 ) Lembre-se que: a12 = a8 . a4 Portanto: a12 + a8 – a4 – 1 = (a4 + 1). (a8 – 1)

14. Exercícios Propostos CA: Páginas 70 e 71; LIVRO: Página 105.

15. Galerinha, agora é com vocês. Vamos nos esforçar! Bons estudos!