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CONTINUITA’. Una funzione continua e’ una funzione il cui grafico non presenta interruzioni. CONTINUA. DISCONTINUA. CONTINUITA’. Nel punto P(Xo,Yo) questa funzione è continua: se facciamo il limite per x tendente a Xo otteniamo come risultato Yo, che è anche il valore della funzione. P.
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CONTINUITA’ Una funzione continua e’ una funzione il cui grafico non presenta interruzioni CONTINUA DISCONTINUA
CONTINUITA’ Nel punto P(Xo,Yo) questa funzione è continua: se facciamo il limite per x tendente a Xo otteniamo come risultato Yo, che è anche il valore della funzione P Yo=f(Xo) CONTINUA Xo
CONTINUITA’ Questa è discontinua: se facciamo il limite sinistro e destro per x tendente a Xo questi danno due valori diversi, Yo e un altro, H. Il grafico compie un salto pari a Yo-H DISCONTINUA Yo H Xo
CONTINUITA’ • Data f:D->R, e dato Xo punto del dominio D, allora la funzione f si dice CONTINUA in Xo se il limite per x tendente ad Xo di f(x): • ESISTE • E’ FINITO • E’ UGUALE A f(Xo) • Ovvero, in formule:
CONTINUITA’ Una funzione continua in tutti i punti di un certo intervallo si dice CONTINUA SU QUELL’INTERVALLO
CONTINUITA’ Se una di queste clausole non è verificata allora la funzione si dice discontinua in Xo.
CONTINUITA’ I punti di discontinuità vengono classificati in tre specie
CONTINUITA’ • Se il limite sinistro e destro di f(x) per x tendente a Xo: • ESISTONO • SONO FINITI • SONO DIVERSI TRA LORO • Xo si dice punto di discontinuità di PRIMA SPECIE
CONTINUITA’ La funzione y=INT(x) offre un esempio di tale discontinuità: tutti i numeri interi sono punti di discontinuità di prima specie 1 2 3
CONTINUITA’ • Se almeno uno dei due limiti, sinistro o destro, di f(x) per x tendente a Xo: • NON ESISTE… • …OPPURE NON E’ FINITO • Xo si dice punto di discontinuità di SECONDA SPECIE
CONTINUITA’ La funzione y=ln(x) offre un esempio di tale discontinuità nell’origine
CONTINUITA’ Se il limite per x tendente a Xo esiste, è finito, ma è diverso della valore della funzione (oppure la funzione non esiste in Xo) Xo si dice punto di discontinuità di TERZA SPECIE, o ELIMINABILE
CONTINUITA’ La discontinuità si dice eliminabile perché basta alterare leggermente la definizione della funzione ponendo: Per rendere la funzione continua
CONTINUITA’ Un esempio è la funzione: Infatti non esiste per X=0, ma il limite per x tendente a 0 è, come è noto, 1. Basta quindi porre: f(0)=1 E la funzione risulta continua anche in 0.
CONTINUITA’ • Dove si trovano i punti di discontinuità di una funzione? • Nei punti esclusi dal dominio (che siano però punti di accumulazione del dominio) • Nei punti in cui l’argomento di un valore assoluto cambia segno • in altri casi particolari
CONTINUITA’ TEOREMA DI WEIERSTRASS Una funzione continua su un intervallo chiuso ammette sempre massimo e minimo assoluti su quell’intervallo
CONTINUITA’ Una curva senza salti, definita su un intervallo, di fatto può essere racchiusa in un rettangolo, la cui altezza avrà per estremi il massimo e il minimo della funzione MASSIMO MINIMO
CONTINUITA’ TEOREMA DI DARBOUX Una funzione continua su un intervallo chiuso assume almeno una volta tutti i valori compresi tra il minimo e il massimo
CONTINUITA’ TEOREMA DI DARBOUX Potremmo enunciarlo anche così: se la funzione f è continua sull’intervallo [a,b] e se il numero k è compreso tra min(f) e max(f) su tale intervallo, allora esiste un punto c appartenente ad [a,b] tale che: f(c)=k
CONTINUITA’ Graficamente è abbastanza evidente che, se una curva è continua, al valore k compreso tra min e max deve corrispondere un valore c tra a e b MASSIMO k MINIMO c a b
CONTINUITA’ TEOREMA DEGLI ZERI Se f è una funzione continua su un intervallo chiuso e se su tale intervallo la funzione cambia segno, allora esiste almeno un punto dell’intervallo in cui la funzione si annulla
CONTINUITA’ TEOREMA DEGLI ZERI (altra versione) Se f è una funzione continua su un intervallo chiuso e se su tale intervallo la funzione cambia segno, allora l’equazione: f(x)=0 Ammette almeno una soluzione in tale intervallo
CONTINUITA’ E’ una conseguenza del teorema di Darboux; infatti se la funzione cambia segno sicuramente il massimo sarà un numero positivo e il minimo un numero negativo: e siccome 0 è sempre compreso tra un numero positivo e uno negativo, allora la funzione deve per forza assumere il valore 0.
