1 / 53

Om sambandet inte är linjärt?

Om sambandet inte är linjärt? Om sambandet till en variabel inte är linjärt så kan vi inkludera ytterligare en term i regressionsmodellen I en modell med alla förklaringsvariabler inkluderade: y= β 0 + β 1 · x 1 + β 2 · x 2 + β 3 · x 3 + β 4 · x 4 + β 5 · x 3 2 + ε

lapis
Download Presentation

Om sambandet inte är linjärt?

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Om sambandet inte är linjärt? • Om sambandet till en variabel inte är linjärt så kan vi inkludera ytterligare en term i regressionsmodellen • I en modell med alla förklaringsvariabler inkluderade: • y=β0 + β1·x1 + β2·x2 + β3·x3 + β4·x4 + β5·x32 + ε • Intercept Area Acres Rooms Baths Rooms2 Felterm • Den nya variabeln är alltså antal rum i kvadrat och har ingen praktisk tolkning, men vi kan genomföra en analys där vi förväntar oss ett högt pris om fastigheten har lagom många rum.

  2. Pris mot antal rum

  3. Vi använder en kvadratisk term i modellen: • y=β0 + β3·x3 + β5·x32 + ε • men vi behåller även originalvariabeln (alltså x3) för att göra modellen mer flexibel.

  4. Regression Analysis: Price versus Rooms • The regression equation is • Price = 37969 + 15966 Rooms • Predictor Coef SE Coef T P • Constant 37969 13776 2,76 0,007 • Rooms 15966 1860 8,58 0,000 • S = 34115 R-Sq = 33,2% R-Sq(adj) = 32,8%

  5. Regression Analysis: Price versus Rooms, Rooms_sq • The regression equation is • Price = - 45920 + 39680 Rooms - 1606 Rooms_sq • Predictor Coef SE Coef T P • Constant -45920 38935 -1.18 0.240 • Rooms 39680 10477 3.79 0.000 • Rooms_sq -1606.4 698.8 -2.30 0.023 • S = 33631 R-Sq = 35.6% R-Sq(adj) = 34.7% parametern b5 är negativ: den anpassade funktionen har ett maximum båda signifikanta

  6. Jämfört med en regression där alla termer är linjära är parametrarna i en kvadratisk regression svårare att tolka. I modellen =b0 + b3·x3 kan vi säga att priset i snitt för fastigheten ökar med b3 USD för varje ytterligare rum. I modellen =b0 + b3·x3 + b5·x32 ökar priset för fastigheten med varje ytterligare rum, men bara upp till ett visst antal rum, sen stabiliseras priset.

  7. Komplexa samband mellan en förklarande variabel och en responsvariabel kan alltså tas med i modellen genom kvadratiska eller även kubiska termer (x3). • Samtidigt måste man fundera på om det verkligen är den här variablen själv som har ett krökt samband till priset eller om det istället är en samspel variabeln ‘antal rum’ och andra förklarande variabler: • en liten fastighet med många rum eller • en stor fastighet med få rum.....

  8. Interaktionstermer – samspelstermer Vi bildar då nya variabeln x1·x3 och analyserar modellen y=β0 + β1·x1 + β3·x3 + β5·x32 + β6 ·x1·x3+ ε bostadsyta antal rum (antal rum)2 bostadsyta*antal rum

  9. Regression Analysis: Price versus Area; Rooms; Rooms_sq • The regression equation is • Price = - 15812 + 49,3 Area + 22544 Rooms - 1529 Rooms_sq • Predictor Coef SE Coef T P • Constant -15812 34481 -0,46 0,647 • Area 49,326 7,379 6,68 0,000 • Rooms 22544 9549 2,36 0,020 • Rooms_sq -1529,1 613,6 -2,49 0,014 • S = 29528 R-Sq = 50,7% R-Sq(adj) = 49,6%

  10. The regression equation is • Price = 862 + 163 Area - 9248 Rooms + 2161 Rooms_sq - 14.0 Area*Rooms • Predictor Coef SE Coef T P • Constant 862 34085 0.03 0.980 • Area 162.78 39.23 4.15 0.000 • Rooms -9248 14262 -0.65 0.518 • Rooms_sq 2161 1390 1.56 0.122 • Area*Roo -14.002 4.759 -2.94 0.004 • S = 28783 R-Sq = 53.4% R-Sq(adj) = 52.2% Samspelstermen har tagit över den kvadratiska termens roll.

  11. Regression Analysis: Price versus Area; Rooms; Area*Roo • The regression equation is • Price = - 28051 + 109 Area + 11862 Rooms - 7,32 Area*Roo • Predictor Coef SE Coef T P • Constant -28051 28707 -0,98 0,330 • Area 108,55 18,06 6,01 0,000 • Rooms 11862 4401 2,70 0,008 • Area*Roo -7,321 2,058 -3,56 0,001 • S = 28923 R-Sq = 52,7% R-Sq(adj) = 51,7%

  12. 1... upp till 5 rum; 2... mellan 6 och 8 rum; 3...mer än 8 rum

  13. Regressionslinjen som bekriver sambandet mellan priset och bostadsytan är beroende på hur många rum det finns i huset. I regressionsanalysen för detta datamaterial kan vi alltså ersätta den kvadratiska termen för antal rum med en samspelsterm (bostadsyta * antal rum). Modellen är då: y=β0 + β1·x1 + β3·x3 + β6 ·x1·x3+ ε De motsvarande linjära termerna (x1 och x2) behåller vi vanligtvis också i modellen.

  14. Kvalitativa variabler • inga numeriskt tolkningsbara värden utan • värden som är koder för olika klasser av observationer. • Ett exempel är en variabel för kön, som kan anta värdet man eller kvinna • En sådan variabel skulle man kunna koda som 0 för män och 1 för kvinnor och därmed använda i en regressionsanlays • Ett annat exempel är en variabel som är 1 för småföretag, 2 för mellanstora företag och 3 för stora företag.

  15. För att kunna använda sådana kvalitativa variabler i regressionsanalysen krävs att de görs om till s k indikatorvariabler eller dummyvariabler. (Andra namn är 0/1-variablerresp. dikotoma variabler) • Om vi inför en kodning 0 för män och 1 för kvinnor så har vi redan en indikatorvariabel som direkt kan användas. • I fallet där vi kodar företagen, måste vi skapa flera nya variabler: • en som är 1 om företaget är liten och 0 annars • en som är 1 om företaget är mellanstor och 0 annars • Den tredje variabel som vi kunde skapa (1 om stor, 0 annars) får inte vara med i analysen.

  16. Alltså:  Grundregel: Om den kvalitativa variabeln har m olika koder eller värden (kallas också nivåer) skall m1 indikatorvariabler användas.

  17. Minitab har funktioner för att • manuellt koda om en variabels värden till andra värden • skapa indikatorvariabler för att ersätta en kvalitativ variabel

  18. I datamaterialet med fastighetspriser skulle vi kunna koda om variabeln ’antal rum’ på följande sätt: • fastigheter med högst 6 rum • fastigheter med fler än 6 rum • För att göra detta kan vi skapa en indikatorvariabel som är =0 för fastigheter med högst 6 rum och 1 för övriga, dvs

  19. Nu kan vi använda denna indikatorvariabel (dummy) istället för originalvariabeln. • y=β0 + β1·x1 + β7·D+ ε • bostadsyta dummy som är 1 om fastigheten har mer än 6 rum Regression Analysis: Price versus Area, D The regression equation is Price = 65668 + 44.2 Area + 10544 D Predictor Coef SE Coef T P Constant 65668 8072 8.14 0.000 Area 44.157 5.445 8.11 0.000 D 10544 7098 1.49 0.140 S = 29824 R-Sq = 49.3% R-Sq(adj) = 48.6%

  20. Predictor Coef SE Coef T P • Constant 65668 8072 8.14 0.000 • Area 44.157 5.445 8.11 0.000 • D 10544 7098 1.49 0.140 • Om man ignorerar att dummyvariabeln D inte är signifikant så går det att tolka modellen på följande sätt. • Varje fastighet som har 7 rum eller fler får ett försäljningspris som är 10544 USD högre än jämförbar fastighet med färre rum. • Med D=1: • Med D=0:

  21. Parallella linjer, men skillnad i y-nivån

  22. Eftersom vi såg förut att en samspelsterm (för interaktioner mellan bostadsyta och antal rum) verkar vara bra, kan vi lägger till en sådan även nu. • y=β0 + β1·x1 + β7·D+ β8·x1·D +ε Regression Analysis: Price versus Area, D, Area*D The regression equation is Price = 110370 + 7.45 Area - 117259 D + 0.949 Area*D Predictor Coef SE Coef T P Constant 110370 3269 33.76 0.000 Area 7.454 2.306 3.23 0.002 D -117259 4856 -24.15 0.000 Area*D 0.94940 0.03055 31.07 0.000 S = 10846 R-Sq = 93.3% R-Sq(adj) = 93.2% Samtliga variabler är signifikanta och förklaringsgraden är mycket bra.

  23. Predictor Coef SE Coef T P Constant 110370 3269 33.76 0.000 Area 7.454 2.306 3.23 0.002 D -117259 4856 -24.15 0.000 Area*D 0.94940 0.03055 31.07 0.000 Hur blir nu tolkningen av denna modell? Vi måste återigen skilja på de två fallen med D=0 och D=1. Med D = 1 Med D = 0

  24. I detta fall får vi alltså två regressionslinjer som skiljer sig i både y-nivån (intercept) och lutningen. • Högst 6 rum: • Priset ökar med i genomsnitt 7454 dollar då bostadsytan ökar med 1000 ft2 • 7 eller fler rum: Priset ökar med i genomsnitt 8403 dollar då bostadsytan ökar med 1000 ft2

  25. Det finns ett samband mellan dummyvariabeln (fler än 6 rum eller ej) och bostadsytan. Regressionslinjernas lutningar är olika.

  26. Om vi har fler än 2 grupper behöver vi fler dummy variabler. • t.ex. grupp 1: 0 - 4 rum • grupp 2: 5 - 8 rum • grupp 3: 9 -10 rum • grupp 4: 11 – rum o fler • Vi skapar 3 dummy variabler:

  27. Ibland kan vi även arbeta med en annan kodning: • t.ex. grupp 1: 0 - 4 rum 1 • grupp 2: 5 - 8 rum 2 • grupp 3: 9 -10 rum 3 • grupp 4: 11 – rum o fler 4 • men detta är bara möjligt om man kan anta att effekten (prisökningen) är samma när man går över från grupp 1 till grupp 2, som när man går över från grupp 2 till grupp 3, osv.

  28. Partiellt F-test • Vi har nu en modell för fastighetspriset som använder sig av följande förklarande variabler: • bostadsyta (area) • antal rum (rooms) • samspelsterm (area*rooms) • Dessutom har vi sett att även tomtyta har betydelse. För den sista förklarande variabeln som är tillgänglig (antal badrum) skulle vi kunna anta att den beter sig som variabeln ‘antal rum’. Vi skulle därför kunna använda oss av själva variabeln, men också inkludera en samspelsterm (area*baths).

  29. The regression equation is Price = - 13702 + 76.1 Area + 7323 Acres + 15438 Rooms - 8.59 Area*Rooms - 8432 Baths + 11.8 Area*Baths Predictor Coef SE Coef T P Constant -13702 22936 -0.60 0.551 Area 76.12 15.24 5.00 0.000 Acres 7322.9 859.6 8.52 0.000 Rooms 15438 4829 3.20 0.002 Area*Roo -8.589 2.470 -3.48 0.001 Baths -8432 12664 -0.67 0.507 Area*Bat 11.761 6.305 1.87 0.064 S = 22897 R-Sq = 70.9% R-Sq(adj) = 69.7% Förklaringsgraden är ganska bra, men ingen av variablerna som har med antal badrum att göra är signifikant på 5%-nivån.

  30. Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression 6 1.83020E+11 30503276149 58.18 0.000 Residual Error 143 74968921395 524258192 Total 149 2.57989E+11 Source DF Seq SS Area 1 1.25271E+11 Acres 1 44104488077 Rooms 1 166184643 Area*Roo 1 5897295563 Baths 1 5756044237 Area*Bat 1 1824349748 F-testet anger att minst en av de ingående x-variablerna har betydelse. t-testen (på föreg. sida) visar att fyra variabler har det, men inte de två sista. Räcker det då med 4 förklarande variabler (area, acres, rooms, area*rooms)?

  31. Vi kan köra regressionsanalysen en gång till och då lämna bort de två variablerna som inte var signifikanta. The regression equation is Price = - 12280 + 88.2 Area + 7429 Acres + 10230 Rooms - 5.51 Area*Rooms Predictor Coef SE Coef T P Constant -12280 23758 -0.52 0.606 Area 88.15 15.10 5.84 0.000 Acres 7428.8 890.9 8.34 0.000 Rooms 10230 3636 2.81 0.006 Area*Roo -5.510 1.712 -3.22 0.002 S = 23860 R-Sq = 68.0% R-Sq(adj) = 67.1% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression 4 1.75439E+11 43859815727 77.04 0.000 Residual Error 145 82549315379 569305623 Total 149 2.57989E+11 Alla variabler signifikanta, något lägre justerat R2-värde.

  32. Kan vi jämföra de två modellerna och bestämma om vi ska ha med antal badrum som förklarande variabel? Den fullständiga modellen kan skrivas: y= 0 + 1· x1 2· x2+ 3· x3 + 5· x1x3 + 4· x4 + 6· x1x4 +  där x1=area, x2=acres, x3=rooms, x4=baths och därmed x1x3 samspelet mellan ’area’ och ’rooms’, och x1x4 samspelet mellan ’area’ och ’baths’. Den reducerade modellen kan skrivas y= 0 + 1· x1 2· x2+ 3· x3 + 5· x1x3 +  Det är alltså den modellen, som vi tror kan räcka för att förklara fastighetspriset.

  33. Vi vill nu testa om någon av de variabler som vi har tagit bort har (signifikant) betydelse för vilket värde responsvariabeln antar. Om vi vill testa om någon av x4 och x1x4 skall läggas till blir nollhypotesen: H0: 4= 6=0 Alternativhyptesen: H1: minst en av 4, 6 är skild från 0

  34. Som testfunktion kan vi använda där SSER=Residualkvadratsumman (SSE) i den Reducerade (Reduced) modellen och SSEC=Residualkvadratsumman i den fullständiga modellen (Complete) k=Antal förklaringsvariabler i den fullständiga modellen g=Antal förklaringsvariabler i den reducerade modellen Vi testar alltså om minskningen i residualkvadratsumman är så pass stor (när vi lägger till de två variablerna) att vi inte kan ignorera den.

  35. Om H0 är sann får F en F-fördelning med k-g och n-k-1 frihetsgrader och vi kan alltså jämföra värdet på F med F[](k-g,n-k-1) I vårt fall: Den reducerade modellen Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression 4 1.75439E+11 43859815727 77.04 0.000 Residual Error 145 82549315379 569305623 Total 149 2.57989E+11 Den kompletta modellen Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression 6 1.83020E+11 30503276149 58.18 0.000 Residual Error 143 74968921395 524258192 Total 149 2.57989E+11 SSER SSEC

  36. F[0.05](2,143)  3.07 < 7.2296 H0 ska förkastas! Fastän varken antal badrum eller samspelstermen bostadsyta/antal badrum var signifikant, finns det ändå information i minst en av variablerna.

  37. Testmetoden kallas Partiellt F-test eftersom vi i ett test testar om en del (partition) av modellen skall uteslutas. • Om vi bara vill testa en enda variabel (om den ska uteslutas eller ej), så är det partiella F-testet ekvivalent med t-testet för denna variabel.

  38. Om vi kommer (som i det här fallet) till slutsatsen att det finns information i minst en variabel av alla de vi testade, så får vi gå vidare med att ta reda på vilken variabel det kunde vara. • I vårt fall skulle vi kanske välja att ta bort samspelstermen area*baths och behålla variabeln baths. • The regression equation is • Price = - 9323 + 73.3 Area + 7210 Acres + 9236 Rooms - 5.15 Area*Rooms + 13864 Baths • Predictor Coef SE Coef T P • Constant -9323 23011 -0.41 0.686 • Area 73.33 15.30 4.79 0.000 • Acres 7210.0 864.8 8.34 0.000 • Rooms 9236 3532 2.62 0.010 • Area*Roo -5.153 1.660 -3.10 0.002 • Baths 13864 4220 3.29 0.001 • S = 23093 R-Sq = 70.2% R-Sq(adj) = 69.2%

  39. I vissa fall kan vi förenkla beräkningen något: Vi kan skriva: SSER –SSEC = SSRC –SSRR Det går alltså att använda regressionskvadratsummorna istället för residualkvadratsummorna.

  40. Analysis of Variance • Source DF SS MS F P • Regression 6 1.83020E+11 30503276149 58.18 0.000 • Residual Error 143 74968921395 524258192 • Total 149 2.57989E+11 • Source DF Seq SS • Area 1 1.25271E+11 • Acres 1 44104488077 • Rooms 1 166184643 • Area*Roo 1 5897295563 • Baths 1 5756044237 • Area*Bat 1 1824349748 • Vi kan då använda utskriften för enbart den kompletta modellen för att beräkna det partiella F-testet. • SSRC=SSR(Area) + SSR(Acres | Area) + SSR(Rooms | Area, Acres) + • + SSR(Area*Rooms | Area, Acres,Rooms ) + • SSR(Baths | Area, Acres, Rooms, Area*Rooms) + • SSR (Area*Baths | Area, Acres, Rooms, Area*Rooms, Baths) • Observera ordningen! sekventiella regressionskvadratsummor

  41. I den reducerade modellen blir: SSRR= SSR(Area) + SSR(Acres | Area) + SSR(Rooms | Area, Acres) + SSR(Area*Rooms | Area, Acres,Rooms ) SSRC – SSRR= SSR(Baths | Area, Acres, Rooms, Area*Rooms) + + SSR(Area*Baths | Area, Acres, Rooms, Area*Rooms, Baths) Source DF Seq SS Area 1 1.25271E+11 SSR(Area) Acres 1 44104488077 SSR(Acres|Area) Rooms 1 166184643 SSR(Rooms|Area, Acres) Area*Roo 1 5897295563 SSR(Area*Rooms|Area, Acres, Rooms) Baths 1 5756044237 osv. Area*Bat 1 1824349748 SSRC-SSRR=5756044237+1824349748=7580393985 SSRR= 1.75439E+11

  42. Något om tranformationer Antag att vi upptäcker i en residualanalys att slumpvariansen ( 2) ej är konstant. Detta ser man i ett diagram där residualerna plottas mot anpassade värden (fitted values).

  43. Alla slutsatser som vi kan dra med hjälp av modellen, bygger på att vi har konstant varians i datamaterialet. Är variansen inte konstant kan vi alltså inte vara säkra på att slutsatserna är riktiga. Om variansen inte är konstant kan vi använda oss av en s k transformation av y-värdena. Följande transformationer är vanligast: Kvadratrotstransformationen kräver att y är  0, men så är ofta fallet för just ekonomiskt anknutna data. Logaritmtransformationen kräver att y > 0 och kan ge problem för vissa variabler som ibland faktiskt är just 0.

  44. Andra transformationer kan också väljas, men de är mer sällsynta. Vi prövar nu att 1) Beräkna kvadratroten ur variabeln Price (fastighetspris) och använda den resulterande variabeln som vår nya responsvariabel y. 2) Logaritmera variabeln Price och använda den resulterande variabeln som vår nya responsevariabel y.

  45. Rottransormationen: The regression equation is sqrt(price) = 160 + 0.101 Area + 7.97 Acres + 15.3 Rooms - 0.00790 Area*Rooms + 18.3 Baths Predictor Coef SE Coef T P Constant 159.94 27.37 5.84 0.000 Area 0.10125 0.01819 5.56 0.000 Acres 7.965 1.029 7.74 0.000 Rooms 15.280 4.201 3.64 0.000 Area*Roo -0.007903 0.001975 -4.00 0.000 Baths 18.345 5.020 3.65 0.000 S = 27.47 R-Sq = 72.3% R-Sq(adj) = 71.4%

  46. Rot-transformation utan transformation Inte mycket förändring.

  47. Log-Transformationen • The regression equation is • loge(Price) = 10.6 +0.000572 Area + 0.0355 Acres + 0.0987 Rooms-0.000049 Area*Rooms + 0.0966 Baths • Predictor Coef SE Coef T P • Constant 10.6057 0.1353 78.40 0.000 • Area 0.00057159 0.00008992 6.36 0.000 • Acres 0.035502 0.005084 6.98 0.000 • Rooms 0.09874 0.02076 4.76 0.000 • Area*Roo -0.00004860 0.00000976 -4.98 0.000 • Baths 0.09663 0.02481 3.90 0.000 • S = 0.1358 R-Sq = 73.7% R-Sq(adj) = 72.8%

More Related