Função do 1º grau

2. Função do 1º grau

3. A temperatura de uma substância é 30 ºC. Vamos analisar duas situações distintas.

4. Sua temperatura varia com o tempo de maneira uniforme, aumentando 10 ºC por minuto. Veja as temperaturas da substância, medidas minuto a minuto. A taxa de variação da temperatura é positiva (10 oC/min). Após t minutos, a temperatura T da substância em oC é, T = 30 + 10.t

5. Sua temperatura varia com o tempo de maneira uniforme, diminuindo 10 ºC por minuto. Veja as temperaturas da substância, medidas minuto a minuto. A taxa de variação da temperatura é negativa (10 oC/min). Após t minutos, a temperatura T da substância em oC é, T = 30 – 10.t

6. Veja os gráficos cartesianos das duas funções T(oC) 80 60 40 20 t(min) T = 30 + 10.t 1 2 3 4 5 0

7. Veja os gráficos cartesianos das duas funções T(oC) 60 40 20 t(min) 0 1 2 3 4 5 –20 T = 30 – 10.t –40

8. Função de 1º grau é toda função do tipo y = f(x) = ax + b Em que a e b são constantes reais, com a ≠ 0. Se b = 0, temos a função y = f(x) = ax, chamada, também, função linear.

9. Exemplos y = f(x) = 5x – 3 é uma função do 1º grau com a = 5 e b = –3. y = f(x) = –2x é uma função do 1º grau, com a = –2 e b = 0 Nesse caso a função é chamada de linear.

10. Características da função do 1º grauy = ax + b. A fórmula que a define é um polinômio de 1º grau; seu termo independente pode ser nulo ou não. Se b = 0, temos a função f(x) = ax, chamada de função linear. A constante real a, não-nula, é o coeficiente angular. Ela é a mesma, qualquer que seja o intervalo considerado.

11. Características da função do 1º grauy = ax + b. A constante real b é o coeficiente linear. Seu gráfico cartesiano é uma linha reta, não paralela aos eixos. Ela pode conter a origem (caso b = 0) ou não conter origem (caso b ≠ 0). O crescimento ou o decrescimento da função estão relacionados com o sinal de a. A reta é ascendente para a > 0 e descendente para a < 0.

12. Crescimento e decrescimento. a > 0função crescente reta ascendente (sobe da esquerda p/ direita) a < 0função decrescente reta descendente (desce da esquerda p/ direita)

13. Exemplos Veja o gráficos das funções y = x; y = 2x e y = x/2. y a > 0 y = 2x 5 y = x 4 3 y = x/2 2 1 x –1 0 –4 –3 –2 –5 1 2 5 4 3 –1 –2 –3 –4 –5

14. Exemplos Veja o gráficos das funções y = –x; y = –2x e y = –x/2 em que y a < 0 5 4 3 2 1 x –1 0 –4 –3 –2 –5 1 2 5 4 3 –1 –2 y = –x/2 –3 –4 y = –x –5 y = –2x

15. A partir do gráfico da função linear y = ax, podemos obter os gráficos de todas as funções afins y = ax + b. Deslocamos o gráfico da função y = ax para cima ou para baixo, de acordo com o valor da constante b.

16. Exemplos Veja o gráficos das funções y = x; y = x + 2 e y = x – 3. y a > 0 y = x + 2 5 y = x 4 y = x – 3 3 2 1 x –1 0 –4 –3 –2 –5 1 2 5 4 3 –1 –2 –3 –4 –5

17. Exemplos Veja o gráficos das funções y = –2x; y = –2x – 3 e y = –2x + 4. y a < 0 5 4 3 2 1 x –1 0 –4 –3 –2 –5 1 2 5 4 3 –1 –2 –3 y = –2x + 4 –4 –5 y = –2x y = –2x – 3

18. A análise das duas últimas figuras nos sugere um caso geral em relação a todas as funções do tipo y = ax + b. Que relação existe entre o coeficiente b e o ponto onde cada reta corta o eixo y? b é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y. Ou seja, a reta intercepta o eixo y no ponto de coordenadas (0, b).

19. Construir o gráfico da função y = 2x + 3. y y = 2x + 3 5 4 3 2 1 x –1 0 –4 –3 –2 –5 1 2 5 4 3 –1 –2 –3 –4 –5

20. Construir o gráfico da função y = –2x – 2. y y = –2x – 2 5 4 3 2 1 x –1 0 –4 –3 –2 –5 1 2 5 4 3 –1 –2 –3 –4 –5

21. Dois pontos determinam uma reta. Por isso, se conhecermos dois de seus pontos, podemos obter a função afim que ela representa. Ou seja, podemos obter os coeficientes a e b da função.

22. Exemplos A semi-reta da figura mostra a despesa mensal y (em milhares de reais) de uma empresa, para produzir x toneladas no mês. Despesa (milhares de reais) y 60 40 20 x 40 0 10 20 30 Produção (t) • Escrever y em função de x. • Obter a despesa na produção de 76 t. • Obter o número de toneladas produzidas, para uma despesa de 93 mil reais.

23. Exemplos Para o gráfico abaixo, obtenha a fórmula da função. y 4 x 2 0 A função é do tipo y = ax + b, com a e b reais (a ≠ 0). Para x = 0 temos y = 4 b = 4. Para x = 2 temos y = 0, substituindo em y = ax + b, temos 0 = a.2 + 4 –2a = 4 a = –2 y = –2x + 4

24. Exemplos Para o gráfico abaixo, obtenha a fórmula da função. y 1 –2 0 x –1 A função é do tipo y = ax + b, com a e b reais (a ≠ 0). Para x = 0 temos y = 1 b = 1. Para x = –2 temos y = –1, substituindo em y = ax + b, temos ⇒ 2a = 2 –1 = a.(–2) + 1 a = 1 y = x + 1