Funzioni

1. A B Funzioni Dati due insiemi non vuoti A e B, si chiama applicazione o funzione da A a B una relazione tra i due insiemi che a ogni elemento di A fa corrispondere uno e un solo elemento di B.

2. Sia A l’insieme formato da quattro ragazzi: A=Paolo; Bruno; Carlo; Mario, Esempi di funzione... A e B l’insieme costituito da sei signore tra le quali vi siano le mamme dei ragazzi dell’insieme A: B=Anna; Maria; Valentina; Pina; Luisa; Franca. Paolo . Carlo . Bruno . Consideriamo tra gli insiemi A e B la relazione  definita da “…ha per madre…“ e supponiamo che sia: Mario . • Paolo  Franca (Paolo ha per madre Franca) • Bruno  Maria (Bruno ha per madre Maria) • Carlo  Anna (Carlo ha per madre Anna) • Mario  Franca (Mario ha per madre Franca) B Anna . Pina . Maria . Questa relazione stabilisce tra i due insiemi A e B una corrispondenza e, ad ogni elemento del primo insieme corrisponde uno, ed uno solo, elemento del secondo insieme, perciò, la relazione determina un’applicazione o funzione da A verso B. Luisa . Franca . Valentina .

3. ...Esempi di funzione • Sia A l’insieme dei numeri naturali pari A=0,2,4,6,8,10,12,14,16... e B l’insieme dei numeri naturali B=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13.... La relazione “…è il doppio di…” determina una corrispondenza fra gli insiemi A e B; ad ogni elemento di A corrisponde uno, ed uno solo, elemento di B, perciò, la relazione è un’applicazione o funzione da A a B.

4. Relazioni che non sono funzioni Perché queste relazioni non sono funzioni? A B 1 L’esempio 1 non è una funzione perché, un elemento di A non ha il corrispondente in B. A 2 B L’esempio 2 non è una funzione perché, ad un elemento di A corrispondono due elementi di B.

5. A B Immagine e Controimmagine Per indicare che f è una funzione tra A e B scriviamo: f:AB Se x è un elemento di A, il suo corrispondente y di B si indica con f(x) x y=f(x) y=f(x) controimmagine f immagine y è l’immagine di x. x è controimmagine di y. f:x f(x) x  A, f(x)B

6. Dominio e Codominio Una funzione è una corrispondenza univoca tra l’insieme A e l’insieme B cioè, è una legge che ad ogni x A fa corrispondere un unico y B. Codominio Dominio L’insieme A è detto dominio della funzione. A B L’insieme degli elementi di B che hanno almeno una controimmagine in A è detto insieme delle immagini o codominio della funzione. f(A) x y=f(x) f Il codominio si indica con f(A) Esercizi

7. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche... Funzione iniettiva Sia f una funzione definita da un insieme A a un insieme B. Si dice che f è una funzione iniettiva o anche che è un’iniezione, se, comunque si scelgano due elementi x1,x2A, si ha x1x2 f(x1)f(x2) B A

8. ...Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche... Funzione suriettiva Sia f una funzione definita da un insieme A a un insieme B. Si dice che f è una funzione suriettiva o anche che è una suriezione, se il codominio di f coincide con B, cioè se f(A)=B. B A

9. … Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche Funzione biunivoca Se una funzione f:AB è sia iniettiva che suriettiva si dice che la funzione è biiettiva o una biiezione o una funzione biunivoca. Perciò, la funzione è biunivoca se sono verificate le condizioni: B A x1x2 f(x1)f(x2) f(A)=B

10. Funzione costante Una funzione f:AB si dice costante quando tutti gli elementi del dominio hanno la stessa immagine A B Funzione costante

11. Funzioni numeriche Se gli insiemi A e B sono numerici, si parla di funzioni numeriche. Generalmente, gli insiemi numerici A e B sono sottoinsiemi dell’insieme R dei numeri reali AR, B R e i loro elementi vengono chiamati variabili. xA, yB

12. Funzioni matematiche o analitiche e funzioni empiriche Funzioni matematiche o analitiche Le funzioni matematiche sono funzioni numeriche per le quali, a partire da un x del dominio A, l’immagine f(x)=yB si ottiene mediante un numero finito di operazioni matematiche; l’insieme di queste operazioni dà la legge per “costruire” l’immagine y dell’elemento x considerato.

13. Funzioni empiriche Le funzioni empiriche sono funzioni numeriche e non numeriche per le quali l’immagine di un elemento x non è ottenibile con una legge prefissata, bensì per mezzo di misurazioni sperimentali o di rilevazioni.

14. Classificazione delle funzioni analitiche Funzioni analitiche Funzioni trascendenti Funzioni algebriche Goniometriche Razionali Irrazionali Logaritmiche Intere Fratte Intere Fratte Esponenziali

15. Insieme di esistenza Quando si considera una funzione, è essenziale specificarne il dominio. Nel caso di funzioni matematiche, il dominio D, se non è indicato, è l’insieme dei valori reali che possono attribuirsi alla variabile indipendente x affinché esista il corrispondente valore reale y. In questo caso, il dominio prende il nome di insieme di esistenza o di definizione della funzione. L’insieme di esistenza è il sottoinsieme più vasto di R che può essere preso come dominio della funzione.

16. Grafico di una funzione Data una funzione matematica di equazione y=f(x), si dice grafico della funzione l’insieme di tutti e soli i punti del piano cartesiano aventi per ascissa i valori della variabile indipendente x appartenenti al dominio e per ordinata i valori corrispondenti della variabile dipendente y. Un punto appartiene al grafico di una funzione se e solo se le sue coordinate soddisfano l’equazione della funzione.

17. Funzioni uguali Due funzioni reali f e g si dicono uguali in un dominio comune D quando f(x)=g(x) xD Le funzioni sono uguali. Le funzioni non sono uguali perché non hanno lo stesso dominio.

18. Funzioni pari e funzioni dispari Funzione pari: Una funzione f di equazione y=f(x) e di dominio D si dice pari se, xD, f(-x)=f(x). Se una funzione y=f(x) è pari, appartengono al suo grafico le coppie di punti di coordinate (x;f(x)) e (-x;f(x)) perciò, il suo grafico risulta simmetrico rispetto all’asse delle ordinate.

19. Esempio di funzione pari

20. Funzioni pari e funzioni dispari Funzione dispari: Una funzione f di equazione y=f(x) e di dominio D si dice dispari se, xD, f(-x)=-f(x). Se una funzione è dispari, appartengono al suo grafico le coppie di punti di coordinate (x;f(x)) e (-x;-f(x)) perciò, il suo grafico risulta simmetrico rispetto all’origine degli assi cartesiani.

21. Esempio di funzione dispari

22. Funzioni pari e funzioni dispari Consideriamo una funzione del tipo y=P(x) dove P(x) è un polinomio. • La funzione y=P(x) è pari, se e solo se, nel polinomio compaiono solo potenze di x di grado pari. • La funzione y=P(x) è dispari, se e solo se, nel polinomio compaiono solo potenze di x di grado dispari.

23. Esempio: Funzione né pari né dispari

24. Definizione di funzione numerica (Dirichlet) Una variabile reale y è funzione di una variabile reale x in un dominio D (D R), se esiste una legge f, di natura qualsiasi, che faccia corrispondere ad un qualsiasi elemento x del dominio, uno e un solo valore di y del codominio. x variabile indipendentey variabile dipendente