Funzioni

1. Funzioni Una funzione (o applicazione) fra due insiemi A e B è una legge che associa a ciascun elemento di A uno e un solo elemento di B. L'insieme di partenza A è il dominio della funzione; l'insieme di arrivo B il codominio. In simboli, una funzione f di dominio A e codominio B verrà indicata con f:A→B. Se la funzione f manda l'elemento a appartenente ad A nell'elemento b appartenente a B, scriveremo b = f(a), e diremo che b è immagine di a tramite f. L'insieme degli elementi di B che sono immagine tramite f di elementi di A è l'immagine di f, e viene indicata con Imf oppure con f(A);

2. f(A) = {b Є B | b = f(a) per qualche a Є A} Oppure in modo più compatto: f(A) ={f(a) ЄB \ a Є A}

3. b = f(a) Variabile dipendente Variabile indipendente Mentre a può esserequalsiasi elemento del dominio e dunque variabile indipendente, l’ elemento b del codominio è determinato univocamente da a e da f e pertanto è la variabile dipendente.

4. Esempi: • Il lancio di un dado genera sei eventi e se il dado non è truccato tutti hanno la stessa probabilità. La probabilità è un numero tra 0 e 1 . Dunque una prova aleatoria da luogo ad una funzione che associa ad ogni evento un numero reale compreso tra 0 e 1 1/6 Numeri reali da 0 a 1 Codominio Dominio

5. Si consideri l’ insieme dei bambini (A) e l’ insieme delle donne (B). Mediante la funzione mamma (f) è possibile associare ad ogni bambino la donna che lo ha generato. Ma se consideriamo come insieme di partenza le mamme e come insieme di arrivo i bambini questa è anch’ essa una funzione ? ? f:{mamme}→ {bambini}

6. L’ andamento della popolazione italiana dall’ unità di Italia ad oggi è una funzione che presenta come dominio gli anni dal 1861 ai giorni nostri e come codominio la popolazione italiana in ciascun anno. Ovviamente questa funzione non è trasformazione algebrica del dominio ma è ottenuta osservando empiricamente la popolazione italiana nel trascorrere degli anni.

7. Funzioni suriettive, iniettive e biettive, : dominio A: l'insieme su cui una funzione è definitacodominio B: l'insieme di valori che una funzione può assumereimmagine: l'insieme di valori che una funzione assume, ovvero gli elementi b del codominio per i quali esiste almeno un elemento a del dominio A tale che f(a)=bfunzione suriettiva:quando l'immagine coincide col codominio, cioè per ogni elemento b del codominio per i quali esiste almeno un elemento a del dominio A tale che f(a)=bfunzione iniettiva: quando elementi distinti del dominio hanno un'immagine distinta, cioè ogni elemento del codominio corrisponde a un solo o a nessun elemento del dominio.una funzione allo stesso tempo iniettiva e suriettiva è biettivafunzione biettiva: o corrispondenza biunivoca, è una funzione che a ogni elemento del dominio A corrisponde uno e un solo elemento del codominio B, e a ogni elemento di B corrisponde uno e un solo elemento di A.

8. Funzioni biiettive posseggono l’ inversa: • Si considera la seguente funzione biiettiva: f: A→B. Chiameremofunzione inversa: • f—1(B) = A • Ovvero:

9. ESEMPI SURIETTIVE • A={bambini}; B = {mamme} ; ƒ: "essere figlio di" • Ogni mamma (per definizione!) lo è di qualche bambino . Un figlio • purtroppo può essere orfano di madre ma se si ha una mamma questa è unica, • non esiste una mamma che non abbia un figlio (non stiamo qui a precisare le tragedie che possono capitare..). INIETTIVE • A: {donne}; B: {uomini}; ƒ: (in un paese monogamico) “essere sposata con" • Ogni uomo (elemento del codominio) può essere sposato con una o nessuna donna (elemento del dominio), • non accade mai che due donne (elementi del dominio) siano sposate con lo stesso uomo (elemento del codominio). • Ovviamente stiamo parlando di paesi monogami. BIIETTIVE codice fiscale (fare esempio)

10. Gran parte del nostro corso si occuperà di funzioni reali di una variabile reale ovvero di funzioni f con dominio costituito da numeri reali se non da tutti i numeri reali e un codominio costituito dai numeri reali, dunque: Per queste funzioni è dunque essenziale stabilire i valori che definiscono il dominio della funzione. Il dominio della funzione viene chiamato Campo di Esistenza. Esempio: la funzione : è definita per tutti i reali ad eccezione di 0. Dunque il suo Campo di Esistenza è: La funzione: ha come Campo di Esistenza :