Congreso de Matemáticas Capricornio Comca 2009 Comunicaciones

1. “La Función Natural Prima; p(nζ) = nζ · Cnζ+ 1y sus alcances Conceptuales de Divisibilidad y Primalidad” Congreso de Matemáticas Capricornio Comca 2009 Comunicaciones Luis Ramos Sandoval Ingeniero Metalúrgico

2. I.- Existencia de un ente matemático de interés “nζ” Dice relación con la existencia de una gran perfección matemática natural respecto de los números primos, haciéndolos dependientes por primera vez de una variable que se origina a partir del mismo primo. Axioma nº 1:Sea “p” un número primo cuyo inverso multiplicativo es igual a “1/p”, corresponde a una fracción con numerador siempre igual a uno y denominador primo ≥ 7, el cual, puede ser representado también de forma decimal periódica pura. 1/p = 0, d1d2d3d4d5..........dn-2dn-1dnd1d2d3…dn-2dn-1dn...... (1) Donde: • d1 d2 d3 d4 d5……….……dn-2 dn-1 dnes la parte del número decimal periódico conocida como la expansión decimal periódica pura. • “nζ” corresponde a la cantidad de dígitos de este número decimal periódico puro a partir del inverso multiplicativo del número primo en cuestión, excluyendo el primer cero o a partir de la coma, puede tomar los valores:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,….n , y es igual al “n” del ultimo dígito igual a dn

3. Tabla nº 1: Resultados de la aplicación de la definición del inverso multiplicativo para los números primos p hasta el primo igual a 83 mostrando la expansión decimal pura y nζ p 1/p 0, d1 d2 d3 d4 d5 …….... dn ζ-1dnζnζ 7 1/7 0,142857 6 11 1/11 0,09 2 13 1/13 0,076923 6 17 1/17 0,0588235294117647 16 19 1/19 0,052631578947368421 18 23 1/23 0,0434782608695652173913 22 29 1/29 0,0344827586206896551724137931 28 31 1/31 0,032258064516129 15 37 1/37 0,027 3 41 1/41 0,02439 5 43 1/43 0,023255813953488372093 21 47 1/47 0,0212765957446808510638297872340425531914893617 46 53 1/53 0,0188679245283 13 59 1/59 0,0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 58 61 1/61 0,016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 60 67 1/67 0,014925373134328358208955223880597 33 71 1/71 0,01408450704225352112676056338028169 35 73 1/73 0,01369863 8 79 1/79 0,0126582278481 13 83 1/83 0,01204819277108433734939759036144578313253 41

4. La Función Natural Prima “p(nζ)” Se observa en “todos” los números primos mayores o iguales a siete, la existencia interna de una combinación lineal natural, perfecta y de tipo recursiva, generada a partir del cálculo del inverso multiplicativo de estos mismos. El cumplimiento de esta fórmula se produce a partir del cálculo del inverso multiplicativo de cada número primo p (nζ) en particular. Teorema n°1:Si “p”es un número primo mayor o igual a 7, entonces siempre se cumple: p (nζ) = nζ · Cnζ+ 1; con nζ ≥ 2 y Cnζ ≥ 1;nζyCnζpertenecen a los Naturales(2) Donde: • 1/p = 0, d1d2d3d4d5..........dnζ-2dnζ-1dnζ d1d2d3…dnζ -2dnζ -1dnζ...... • d1d2d3d4d5........dn-2dn-1dnζ es igual a la expansión decimal periódica pura del inverso multiplicativo del primo “p” en evaluación. • nζcorresponde a la cantidad de dígitos de laexpansión decimal periódica pura del inverso multiplicativo del primo “ p”. • Cnζ corresponde a un complemento numérico perteneciente a los números naturales obtenido a partir del nζ para cada primo p en particular, de valor igual a ( p (nζ) – 1 ) / nζ

5. Tabla nº 2: Resultados de la aplicación de la ecuación nº 1 para los números primos“p” hasta el primo 97. p (nζ) nζCnζp (nζ) = nζ · Cnζ+ 1 d1 d2 d3 d4 d5 …….... dn ζ-1dnζ 7 6 1 7 = 6 · 1 + 1 142857 11 2 5 11 = 2 · 5 + 1 09 13 6 2 13 = 6 · 2 + 1 076923 17 16 1 17 = 16 · 1 + 1 0588235294117647 19 18 1 19 = 18 · 1 + 1 052631578947368421 23 22 1 23 = 22 · 1 + 1 0434782608695652173913 29 28 1 29 = 28 · 1 + 1 0344827586206896551724137931 31 15 2 31 = 15 · 2 + 1 032258064516129 37 3 12 37 = 3 ·12 + 1 027 41 5 8 41 = 5 · 8 + 1 02439 43 21 2 43 = 21 · 2 + 1 023255813953488372093 47 46 1 47 = 46 · 1 + 1 02127659574468085106382 97872340425531914893617 53 13 4 53 = 13 · 4 + 1 0188679245283 59 58 1 59 = 58· 1 + 1 01694915254237288135593220 3389830508474576271186440 6779661 61 60 1 61 = 60 ·1 + 1 0163934426229508196721311 475409836065573770491803 27868852459

6. Ejemplo nº 1: Se tiene para el primo p igual a 173, su inverso multiplicativo es: 1/173=0,0057803468208092485549132947976878612716763005780346 Entonces, se tiene que: 1/p = 0, d1d2d3…..........dn ζ -2dn ζ -1dn ζd1d2d3d4d5......... dn ζ -2dn ζ -1dn ζ Donde: d1= 0 ; d2 = 0 ; d3 = 5 ; d4 = 7; d5 = 8 ; d6 = 0 ; d7=3; d8 = 4 ; d9 = 6 ; d10 = 8 ; d11= 2; d12 = 0 ; d13= 8 ; d14=0; d15= 9 ; d16 = 2 ; d17 = 4 ; d18 =8; d19 = 5 ; d20 = 5 ; d21=4 ; d22 = 9 ; d23 = 1 ; d24= 3 ; d25 = 2; d26 = 9 ; d27= 4 ; d28=7; d29 = 9 ; d30 = 7 ; d31 = 6 ; d32 = 8; d33 = 7 ; d34 = 8 ; d35=6 ; d36 = 1 ; d37 = 2 ; d38 = 7 ; d39 = 1; d40 = 6 ; d41= 7 ; d42=6; d43 = 3 Calculando este inverso con el programa Mathematica (Wolfram), se tiene la siguiente expresión: In[1]:= N[1/173,50] Out[1]= 0.0057803468208092485549132947976878612716763005780347 Igualando, se tiene quednζ = d43y es el último dígito de la expansión cíclica decimal pura, entonces: Entonces, igualando los subíndices, se tiene: n = nζ=43 Aplicando la definición n°1, se tiene: p (nζ) = nζ · Cnζ+ 1,entonces: p (43) = 43· 4+ 1 = 173

7. Tabla nº 3: Los siguientes resultados corresponden a la salida de un Programa realizado en Turbo Pascal , el cual, calcula y muestra la aplicación de la ecuación nº 1 como un par ordenado: p; [n]ζ 7; [6] 11; [2] 13; [6] 17; [16] 19; [18] 23; [22] 29; [28] 31; [15] 37; [3] 41; [5] 43; [21] 47; [46] 53; [13] 59; [58] 61; [60] 67; [33] 71; [35] 73; [8] 79; [13] 83; [41] 89; [44] 97; [96] 101; [4] 103; [34] 107; [53] 109; [108] 113; [112] 127; [42] 131; [130] 137; [8] 139; [46] 149; [148] 151; [75] 157; [78] 163; [81] 167; [166] 173; [43] 179; [178] 181; [180] 191; [95] 193; [192] 197; [98] 199; [99] 211; [30] 223; [222] 227; [113] 229; [228] 233; [232] 239; [7] 241; [30] 251; [50] 257; [256] 263; [262] 269; [268] 271; [5] 277; [69] 281; [28] 283; [141] 293; [146] 307; [153] 311; [155] 313; [312] 317; [79] 331; [110] 337; [336] 347; [173] 349; [116] 353; [32] 359; [179] 367; [366] 373; [186] 379; [378] 383; [382] 389; [388] 397; [99] 401; [200] 409; [204] 419; [418] 421; [140] 431; [215] 433; [432] 439; [219] 443; [221] 449; [32] 457; [152] 461; [460] 463; [154] 467; [233] 479; [239] 487; [486] 491; [490] 499; [498] 503; [502] 509; [508] 521; [52] 523; [261] 541; [540] 547; [91] 557; [278] 563; [281] 569; [284] 571; [570] 577; [576] 587; [293] 593; [592] 599; [299] 601; [300] 607; [202] 613; [51] 617; [88] 619; [618] 631; [315] 641; [32] 643; [107] 647; [646] 653; [326] 659; [658] 661; [220] 673; [224] 677; [338] 683; [341] 691; [230] 701; [700] 709; [708] 719; [359] 727; [726] 733; [61] 739; [246] 743; [742] 751; [125] 757; [27] 761; [380] 769; [192] 773; [193] 787; [393] 797; [199] 809; [202] 811; [810] 821; [820] 823; [822] 827; [413] 829; [276] 839; [419] 853; [213] 857; [856] 859; [26] 863; [862] 877; [438] 881; [440] 883; [441] 887; [886] 907; [151] 911; [455] 919; [459] 929; [464] 937; [936] 941; [940] 947; [473] 953; [952] 967; [322] 971; [970] 977; [976] 983; [982] 991; [495] 997; [166] 1009; [252] 1013; [253] 1019; [1018] 1021; [1020] 1031; [103] 1033; [1032] 1039; [519] 1049; [524] 1051; [1050] 1061; [212] 1063; [1062] 1069; [1068] 1087; [1086] 1091; [1090] 1093; [273] 1097; [1096] 1103; [1102] 1109; [1108] 1117; [558] 1123; [561] 1129; [564] 1151; [575] 1153; [1152] 1163; [581] 1171; [1170] 1181; [1180] 1187; [593] 1193; [1192] 1201; [200] 1213; [202] 1217; [1216] 1223; [1222] 1229; [1228] 1231; [41] 1237; [206] 1249; [208] 1259; [1258] 1277; [638] 1279; [639] 1283; [641] 1289; [92] 1291; [1290] 1297; [1296] 1301; [1300] 1303; [1302] 1307; [653] 1319; [659] 1321; [55] 1327; [1326] 1361; [680] 1367; [1366] 1373; [686] 1381; [1380] 1399; [699] 1409; [32] 1423; [158] 1427; [713] 1429; [1428] 1433; [1432] 1439; [719] 1447; [1446] 1451; [290] 1453; [726] 1459; [162] 1471; [735] 1481; [740] 1483; [247] 1487; [1486] 1489; [248] 1493; [373] 1499; [214] 1511; [755] 1523; [761] 1531; [1530] 1543; [1542] 1549; [1548] 1553; [1552] 1559; [779] 1567; [1566] 1571; [1570] 1579; [1578] 1583; [1582] 1597; [133] 1601; [200] 1607; [1606] 1609; [201] 1613; [403] 1619; [1618] 1621; [1620] 1627; [271] 1637; [409] 1657; [552] 1663; [1662] 1667; [833] 1669; [556] 1693; [423] 1697; [1696] 1699; [566] 1709; [1708] 1721; [430] 1723; [287] 1733; [866] 1741; [1740] 1747; [291] 1753; [584] 1759; [879] 1777; [1776] 1783; [1782] 1787; [893] 1789; [1788] 1801; [900] 1811; [1810] 1823; [1822] 1831; [305] 1847; [1846] 1861; [1860] 1867; [933] 1871; [935] 1873; [1872] 1877; [938] 1879; [313] 1889; [118] 1901; [380] 1907; [953]

8. Tabla nº 4: Para valores más grandes, por ejemplo, se tiene: 500009; [62501] 500029; [500028] 500041; [250020] 500057; [500056] 500069; [500068] 500083; [22731] 500107; [250053] 500111; [250055] 500113; [500112] 500119; [83353] 500153; [500152] 500167; [166722] 500173; [83362] 500177; [500176] 500179; [71454] 500197; [125049] 500209; [125052] 500231; [50023] 500233; [500232] 500237; [250118] 500239; [250119] 500249; [250124] 500257; [500256] 500287; [500286] 500299; [500298] 500317; [250158] 500321; [125080] 500333; [250166] 500341; [500340] 500363; [250181] 500369; [125092] 500389; [21756] 500393; [500392] 500413; [83402] 500417; [500416] 500431; [11915] 500443; [83407] 500459; [500458] 500471; [250235] 500473; [500472] 500483; [250241] 500501; [71500] 500509; [55612] 500519; [250259] 500527; [500526] 500567; [500566] 500579; [500578] 500587; [83431] 500603; [250301] 500629; [500628] 500671; [250335] 500677; [250338] 500693; [250346] 500699; [500698] 500713; [500712] 500719; [250359] 500723; [250361] 500729; [125182] 500741; [500740] 500777; [500776] 500791; [250395] 500807; [500806] 500809; [35772] 500831; [250415] 500839; [250419] 500861; [500860] 500873; [500872] 500881; [50088] 500887; [500886] 500891; [100178] 500909; [500908] 500911; [83485] 500921; [250460] 500923; [250461] 500933; [250466] 500947; [250473] 500953; [500952] 500957; [250478] 500977; [500976] 501001; [250500] 501013; [125253] 501019; [501018] 501029; [501028] 501031; [250515] 501037; [125259] 501043; [250521] 501077; [250538] 501089; [62636] 501103; [501102] 501121; [250560] 501131; [501130] 501133; [125283] 501139; [501138] 501157; [125289] 501173; [125293] 501187; [250593] 501191; [250595] 501197; [250598] 501203; [250601] 501209; [62651] 501217; [167072] 501223; [167074] 501229; [501228] 501233; [501232] 501257; [501256] 501271; [250635] 501287; [501286] 501299; [501298] 501317; [125329] 501341; [71620] 501343; [501342] 501367; [501366]

9. Comprobaciones con el software Mathematica (Wolfram) para algunos cálculoselegidos: Ejemplo n°2: Si realizamos el cálculo de 1237; [206] In[1]:= N[1/1237,220] Out[1]=0.00080840743734842360549717057396928051738075990299110751818916734033953112 368633791430881164106709781729991915925626515763945028294260307194826192400970088 92481810832659660468876313662085691188358932902182700080840743734842 El numero 220,corresponde a los decimalesdistintos de cero en el comienzo de la division, por lo que, se debe de leer con tres ceros mas, es decir, 223. Ejemplo n°3: Si realizamos el cálculo de 733;[61] In[2]:= N[1/733,70] Out[2]= 0.001364256480218281036834924965893587994542974079126875852660300136425648 El numero 70,corresponde a los decimales distintos de cero en el comienzo de la division, por lo que, se debe de leer con tres ceros mas, es decir, 72.

10. Ejemplo n°4: Si realizamos el cálculo de 1699; [566] In[1]:= N[1/1699,580] Out[7]=0.00058858151854031783402001177163037080635668040023543260741612713360800470 865214832254267216009417304296645085344320188346085932901706886403766921718658034 137728075338434373160682754561506768687463213655091230135373749264273101824602707 474985285462036492054149499705709240729841082989994114184814596821659799882283696 291936433195997645673925838728663919952913478516774573278399058269570335491465567 981165391406709829311359623307828134196586227192466156562683931724543849323131253 678634490876986462625073572689817539729252501471453796350794585050029429075927015 89170100058858151854032 El numero 580,corresponde a los decimales distintos de cero en el comienzo de la division, por lo que, se debe de leer con tres ceros mas, es decir, 583.

11. II.- Demostración del Teorema n° 1: Primeramente, consideremos un aspecto relevante y determinante del comportamiento respecto de la división de “1/p” comparado con la división de “10 p-1 / p”, con psiendo primo, para ello se necesita trabajar en la divisiones y realizar observaciones del comportamiento respecto de su numerador , cociente y cantidad de restos parciales que se generan en las divisiones. Entonces, partamos con lo siguiente: Axioma nº 1: “en algún momento se produce en la división de 1 / p un resto igual a “uno” y corresponde al primer numerador igual a “ 1 ” agregándose p-1 ceros al numerador o resto” Veamos la siguiente división calculando el inverso multiplicativo: 1/p = 0, d1d2d3...........dnζ-1dn ζ (durante la división se van agregando “p-1” ceros hasta Resto1 llegar al resto igual a 1): Resto2 Resto3 n irestos …….. …….. Restoi = 1 El resto numero “uno” corresponde al momento donde se inicia o se vuelve a iniciar la expansión decimal pura. Si definimos a Znζ = d1d2d3........dn-1dnζ, como el “númeroentero” correspondiente al valor de la expansión decimal pura, donde Znζpuede ser algún entero para algunos primosp que cumple la Ecuación n°2.

12. Axioma nº 2:“la cantidad de restos parciales son divisores de p-1, estos pueden tomar los valores 2, 3,……, nζ donde nζ pertenece a los naturales.” Ahora juguemos un poco, se tiene que, el inverso multiplicativo de p, es: 1/p = 0, d1 d2 d3 d4 d5 d6…..……… dnζ Si la multiplicamos convenientemente por 10nζnos queda: 10nζ/ p= d1 d2 d3 d4 d5 d6……… dn ζ , d1 d2 d3 d4 d5.……. dnζ-1 dnζ Si reemplazamos: 1/ p = 0, d1 d2 d3 d4 d5 …………….. dnζnos queda: 10 nζ / p = d1 d2 d3 d4 d5…………..dnζ+ 1/p Si definimos a Znζ=d1 d2 d3 d4 d5………….. dnζ Reemplazando nos queda: 10 nζ/p = Z nζ+1/p O que es lo mismo tomando factor común de (1/p): (1/p) (10 nζ – 1) = Z nζ Si despejamos a p se tiene: p = ( 10 nζ – 1) / Znζ(3) Donde: • p es un numero primo, que cumple la ecuación n°2 • nζ cantidad de dígitos de la expansión pura decimal • 1 / p = 0,d1 d2 d3 d4 d5….……….dnζ • Z nζ = d1 d2 d3 d4 d5 d6……….dn ζsiempre pertenece a los naturales

13. Ejemplo n°5: Veamos que sucede con el comportamiento de estas dos divisiones, para el número primo p = 7 . Primeramente veamos el caso igual a (1/ p): 1`0`0`0`0`0`0: 7 = 0, 1428571428857 Donde: Z nζ= 142857 -7 30nζ = 6 -28 20ceros agregados= 6 -14 60 -56 40 -35 50 -49 1 (resto final del período) Aplicando la ecuación n°3: p = ( 10nζ – 1) / Z nζ = ( 10 6 – 1) / 142857 = 999999 / 142857 = 7

14. Por otro lado, tenemos la siguiente herramienta matemática: Teorema de Fermat: Sip es primo y no divide a “a” entonces, siempre se cumple que: a p-1 ≡ 1 (mod p), es decir , a p-1 ≡ 1 (mod p) es divisible por p. Si hacemos el siguiente reemplazo, a = 10, entonces nos queda: 10p-1 ≡ 1 (mod p) En estos momentos conviene llevar esta formula en términos de una división: 10p-1 : p = x1x2 x3 x4…………… xn resto1 resto2 ....…. resto anterior resto final = 1 Se cumple:10p-1 ≡ p · x1 x2 x3 x4……………xn+ 1 Si consideramos a X n = x1x2x3x4……… xn como la parte entera de la división de 10 p-1con p. Por lo tanto, el teorema de Fermat garantiza que siempre existe un X nentero talque: 10p-1 = p · X n+ 1 (4) Donde: • p es un numero primo • X n= x1x2 x3 x4 ………… xnes un entero con una propiedad interesante.

15. Ejemplo n°6: Veamos el caso (10 p-1 / p): 10`0`0`0`0`0 : 7 = 142857 ; Donde: X n = 142857 -7 30 número de dígitosX n= 6 -28 20 ceros tomados = 6 -14 60 -56 40 -35 50 -49 1 (último resto anterior al período decimal) Aplicando la ecuación n°4: 10 p-1 = p · X n+ 1 = 7 * 142857 +1 = 999999 + 1 = 1000000 = 10 7-1 Se puede observar que existe una exacta similitud en las dos divisiones, ya que, siempre se cumple que Z nζ = X n, en el aspecto de la forma digital de los números, yesto se debea que siempre son los mismos resultados, el primero en el espacio decimal y el otro en el espacio de los enteros, diferiendo en significado, pero uniéndose en valor.

16. Resolviendo para la ecuación n°4 , aplicando logaritmo, se tiene: log ( 10 p-1 ) = log ( p · X n+ 1 ) Si se tiene que: X n= Z nζ ,(ver ejemplo n°5) entonces, reemplazando queda: p - 1 = log ( p · Z nζ + 1 ) Si además, reemplazamos a p = ( 10 nζ – 1) / Z nζ , ecuación 3, en el argumento del logaritmo de la ecuación anterior: p - 1 = log (( 10 nζ – 1) /Z nζ · Z nζ + 1 ) p - 1 = log (( 10 nζ + 0 )) = log ( 10 nζ) = nζ p = nζ + 1 , donde nζpertenece a los naturales (5) Esta correspondería a la primera “ecuación solución” de la colección de ecuaciones de la forma: p = nζ · Cn ζ + 1, con Cn ζ = 1 ynζ = { 6, 16, 18 ,22, 28, 46, .., nζ,..} Si ptiende al infinito, también nζlo hace y siendo par siempre. Y si existen infinitos primos p también existirán infinitos nζ. El conjunto solución de números primos para esta ecuación, es el siguiente: P °(p =nζ+1) = { 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, ...., p = nζ +1 ,..}

17. Análogamente, se puede realizar el mismo procedimiento para algún primop de la forma: p = 2 · n ζ + 1 Se tiene que para 1/p la expansión decimal pura es: 1/p = 0, d1 d2 d3 d4 d5 d6..……….. dnζ, si la multiplicamos por 10 2 · nζ nos queda: 10 2 · nζ/ p= d1 d2 d3……. dnζd1 d2 d3………. dnζ, d1 d2 d3 d4 d5…..…....dnζ Si reemplazamos: 1/ p = 0, d1 d2 d3 d4 d5 d6………….. dn ζ, nos queda: 10 2 · nζ / p = d1 d2 d3 ………….. dnζd1 d2 d3 ………….. dnζ+ 1/p Si definimos a Znζ=d1 d2 d3……….. dnζ d1 d2 d3……….. dnζ 10 2·nζ/p = Z nζ +1/p O que es lo mismo, tomando factor común (1/p): (1/p) (10 2 · nζ – 1) = Z nζ Por lo tanto, si despejamos a p se tiene: p = ( 10 2 · nζ – 1) / Z nζ(6) Donde: • p es un numero primo • nζcantidad de dígitos de la expansión decimal pura • 1 / p = 0,d1 d2 d3 d4 d5 d6….…... dnζ • Znζ = d1 d2 d3 d4 d5 d6…………. dnζd1 d2 d3 d4 d5 d6…. dnζ Ahora, veamos como se comporta la división 10p-1/ paplicando el Teorema de Fermat, se puede ver que ocurre lo siguiente:

18. 10p-1 : p = x1x2x3…..…..xn-1xnx1x2x3..….…...xn-1xn resto1 resto 2 [X n] ....…. 1 (último resto anterior al período decimal) Se cumple: 10 p-1 = p · x1x2x3…..…..xn-1xnx1x2x3..….…...xn-1xn+ 1 Si definimos nuevamente a un “tipo digital de entero” con la forma igual a: X n = x1x2x3…..…..xn-1xnx1x2x3..….…...xn-1xn Nuevamente, se observa que se cumple la forma digital: [ X n ] = [ Znζ ] ,(ver ejemplo n°6) Log ( 10 p-1 ) = log ( p · X nζ + 1) Entonces, reemplazando X nporZnζ: p - 1 = log ( p ·Znζ + 10 ) Si reemplazamos a p = ( 10 2·nζ – 1) / Z nζen el segundo término de la ecuación: p - 1 = log (( 10 2· nζ– 1) / Znζ) · Znζ + 1) p - 1 = log (( 10 2· nζ– 0)) = log ( 10 2·nζ ) p = 2 · nζ + 1 (7) Esta correspondería a la segunda “ecuación solución” de la colección de ecuaciones de la forma:

19. p = nζ · Cn ζ + 1, con Cn ζ = 2 y nζ = { 6, 15, 21, 33, 35, 41,44 ..,nζ,..} Si ptiende al infinito, también nζlo hace, siendo par o impar.Y si existen infinitos primos p,tal que, p = 2· nζ + 1, también existirán infinitos nζ. El conjunto solución primo para este tipo de ecuación, es el siguiente: P ° (p =2 · n ζ+1) = {13, 31, 43, 67, 71, 83, 89,………....., p = 2 · nζ +1,……...} Ejemplo n°7: Veamos que sucede con el comportamiento de estas dos divisiones, para el número primo p = 13 . Primeramente veamos el caso igual a (1/ p): 1`0`0`0`0`0`0: 13 = 0, 076923076923 Donde: Z nζ= 076923076923 -91 90nζ= 6 -78 120 -117 30 -26 40 -39 1(resto final del período) Aplicando la ecuación n°6: p = ( 102 · nζ– 1) / Z nζ = ( 10 12 – 1) / 076923076923 = 13

20. Ejemplo n°8: Veamos el caso (10 p-1 / p): 10`0`0`0`0`0`0`0`0`0`0`0: 13 = 076923076923 ; Donde: X n = 076923076923 -91 90número de dígitos de X n= 12 -78 120 -117 30 -26 40 -39 100 -91 90 -78 120 -117 30 -26 40 -39 1(último resto anterior al período decimal) Aplicando la ecuación n°4: 10 p-1 = p · X n+ 1 = 13* 076923076923 +1 = 1000000 = 10 13-1 Nuevamenete se puede observar que existe una exacta similitud en las dos divisiones, ya que, siempre se cumple que Z nζ = X n, en el aspecto de la forma digital de los números, yesto se debe a que siempre son los mismos resultados, el primero de forma decimaly el otro de forma de entero, diferiendo en significado, pero uniendose estos en valor.

21. Análogamente, se puede realizar el mismo procedimiento para algún primop de la forma igual a: p = Cnζ ·nζ + 1 (2) Se tiene que la expansión decimal pura es: 1 / p = 0, d1 d2 d3 d4 d5.………... dnζsi la multiplicamos por 10 Cnζ· nζ nos queda: ( 10Cnζ · nζ ) / p = d1d2d3……..…..…dn ζ.....d1d2d3…………….….dnζ, d1d2d3 d4 d5………..dnζ Cnζ ·nζ (corriendo el decimal Cnζ ·nζ “veces”) Si reemplazamos: 1/ p = 0, d1 d2 d3 d4 d5 d6……. dn ζ, nos queda: 10 Cnζ · nζ / p = d1d2……dnζ-1 dnζ…………d1d2……dnζ-1dnζ+ 1/p Si definimos a Z nζ=d1d2d3…dnζd1d2….dnζ………….d1d2……dnζ Entonces, nos queda: 10 Cnζ · nζ/p = Z nζ+1/p O que es lo mismo tomando factor común (1/p): (1/p) (10Cnζ · nζ – 1) = Z nζ Si despejamos a pse tiene: p = ( 10 Cnζ · nζ – 1) / Z nζ(8)

22. Donde: • p es un numero primo, que cumple : p = Cnζ · nζ + 1 • nζ cantidad de dígitos de la expansión pura decimal • 1 / p = 0,d1 d2 d3 d4 d5 d6….….. dnζ • Znζ = d1 d2 d3 …. dnζd1d2d3…. dnζ …… d1d2d3 …. dnζ Ahora veamos como se comporta 10p-1 / p,cuandop = Cnζ · nζ + 1,aplicando el Teorema de Fermat, se puede ver que ocurre lo siguiente: 10p-1 : p = x1x2…xnx1x2…xn x1…xn x1x2...xn x1 x2 x3 x4 x5…………… xn resto1 resto 2 X n ....…. resto“i” = 1 Se cumple:10 p-1= p · x1x2…xnx1x2…xnx1…xn x1x2...xn x1,x2 x3 x4 x5…………… xn + 1 Si definimos a X n= x1x2…xnx1x2…xn x1…xn x1x2...xnx1 x2 x3 x4 x5…………… xn Nuevamente se cumple que: X n= Z nζ, aplicando logaritmo y reemplazando X nζ por Z nζ y p = (10Cnζ · nζ – 1) / Z Cnζse tiene: Log ( 10 p-1 ) = log (p · Xnζ + 1) = p - 1 = log ((( 10Cnζ · nζ – 1) / ZCnζ)· ZCnζ + 1) p - 1 = log (( 10Cnζ · nζ+1 – 0)) = log ( 10 C nζ · nζ) p = Cn ζ · nζ + 1 (2) El conjunto solución primo generalpara esta ecuación, es el siguiente: P ° = { p1 =1 · nζ + 1, p2 =2 · nζ + 1, p3 =3 · nζ + 1,…..., pn = Cn ζ · nζ + 1,….} Por lo que queda demostrado el Teorema n°1..

23. Como consecuencia de esto, se obtiene otro ente matemático de mayor amplitud conceptual que el anterior, el cual, está relacionado con el primero y tiene la virtud de ser calculado por medio de la operación de Mínimo Común Múltiplo entre los “nζ” involucrados y lo he denotado como “nºζ”, que significa nivel o potencial de los “nζ”. Obteniéndose un nuevo teorema fundamental de aritmética que se acopla o se extiende sobre el primer teorema fundamental de la aritmética, el cual, dice que: “todo número natural puede ser representado como un producto de sus factores primos elevados a los exponentes correspondientes”, el nuevo teorema dice relación con la manera correcta de ordenarlos y relacionarlos entre sí. III.- Existencia de un ordenamiento perfecto llamado Productoria Natural Prima Corresponde al ordenamiento perfecto de los números primos y la visualización o descubrimiento de la relación que existe entre los números primos que tienen ciertos nζ, los cuales pueden ser divisores, múltiplos o iguales respecto de un potencialnºζdeterminado. U(nºζ) = [(10)n°ζ- 1] / 9 = 111111……1111…………….....1111111111 (9) n veces unos = nºζ Sea la Productoria Natural Primaigual aU(nºζ ), un número natural formado solamente por dígitos iguales a “unos”, entonces se tiene:

24. Teorema n°2 : “Existencia de una forma de Ordenamiento Numérico Perfecto entre todos los Números Primos por medio de la Productoria Natural Prima(P.N.P). donde se relacionan de forma exacta los “nζ”decada número primo en cuestión para cada nivel de la productoria considerado” Sea la Productoria Natural Prima igual aU(nºζ), un número natural formado solamente por dígitos iguales a “unos”, entonces se tiene: U(nºζ) = [(10) n°ζ- 1]/9 = (p1) exp1· (p2)exp2· (p3)exp3· (p4)exp4·……· (pn)expn(10) Entonces, siempre se cumple que: • p1= p1 (nζ1) = nζ1· Cnζ1+1; p2 = p2 (nζ2) = nζ2· Cnζ2+1; p3 = p3 (nζ3) = nζ3 · Cnζ3+ 1,..…………., pn= pn (nζn) = nζn·Cnζn+1. • Losexp1, exp2, exp3, exp4,…………,expnson los posibles exponentes. • nºζes el Mínimo Común Múltiplo (M. C. M.) de los nζ1, nζ2, nζ3,…..…,nζn La demostración de esta fórmula es extremadamente compleja, por lo que es posible hacerla de forma parcial, por ejemplo, bajando la cantidad de primos involucrados o nivel.

25. Tabla n °5:Niveles del conjunto n°ζ (los resultados de la ecuación 18) Nivel n°ζ Productoria Prima de Números Primos Expresión de la M.C.Mcon su respectivos nζperteneciente al nivel n°ζ Productoria 1°ζ 3 nζ =1 ¿? 2°ζ 11 nζ =2 ((10)2–1)/9 3°ζ 37 nζ =3 · 3 nζ =1 ((10)3–1)/9 4°ζ 11nζ =2 ·101 nζ =4 ((10)4–1)/9 5°ζ 41nζ =5 · 271nζ=5 ((10)5–1)/9 6°ζ 3nζ =1 · 7nζ =6 · 11nζ=2 · 13nζ =6 · 37nζ5 =3 ((10)6–1)/9 7°ζ 239 nζ =7 · 4649 nζ =7 ((10)7–1)/9 8°ζ 11nζ =2 ·73nζ=8 ·101nζ =4 ·137nζ =8 ((10)8–1)/9 9°ζ 32 nζ =1 · 37 nζ =3 · 333667nζ =9 ((10)9–1)/9 10°ζ 11nζ =2 · 41nζ =5 · 271nζ =5 · 9091nζ =10 ((10)10–1)/9 11°ζ 21649nζ =11 · 513239nζ =11 ((10)11–1)/9 12°ζ 3nζ =1· 7nζ =6· 11nζ =2 · 13nζ =6 · 37nζ =3 ((10)12–1)/9 101nζ =4 · 9901nζ =12 13°ζ 53nζ =13 · 79nζ =13 · 265371653nζ =13 ((10)13–1)/9 14°ζ 11nζ =2 · 239 nζ =7 · 4649 nζ =7 · 909091nζ =14 ((10)14–1)/9 15°ζ 3nζ =1 · 31nζ=15 · 37nζ =3 · 41nζ =5 · 271nζ =5 ((10)15–1)/9 2906161nζ=15 16°ζ 11nζ =2 · 17nζ =16 · 73nζ =8 · 101nζ =4 · 137nζ =8 ((10)16–1)/9 5882353nζ =16 17°ζ2071723 nζ =17 · 5363222357nζ =17 ((10)17–1)/9 18°ζ 32nζ =1, · 7nζ =6 · 11nζ =2 · 13nζ =6 · 19nζ =18 ·37nζ =3 · ((10)18–1)/9 52579nζ =18 · 333667nζ =9 19°ζ1111111111111111111nζ =19 ((10)19–1)/9 20°ζ 11nζ =2 · 41nζ =5 · 101nζ =4 · 271nζ =5 3541nζ =20 · 9091nζ =10 · 27961nζ =20 ((10)20–1)/9

26. 21°ζ 3nζ =1 · 43nζ =21 · 239nζ =7 · 4649nζ =7 · 1933nζ =21 401031493 nζ =21 ((10)21–1)/9 22°ζ 112 nζ =22 · 23nζ =22· 4093 nζ =22· 8779 nζ =22 21649nζ =11 · 513239nζ =11((10)22–1)/9 23°ζ11111111111111111111111 nζ =23 ((10)23–1)/9 24°ζ 3nζ =1 · 7nζ =6 · 11nζ =2 · 13nζ =6 · 37nζ =3 73nζ =8 · 101nζ =4 · 137nζ =8 · 9901nζ =12 99990001nζ =24((10)24–1)/9 25°ζ 41nζ =5 · 271nζ =5 21401nζ =25 · 25601nζ =25 182521213001 nζ =25 ((10)25–1)/9 26°ζ 11nζ =2 · 53nζ =13 · 79nζ =13 · 859nζ =26 265371653nζ =13 · 1058313049nζ =26 ((10)26–1)/9 27°ζ 33 nζ =3 · 37 nζ =3 · 757 nζ =27, 333667nζ =9 · 440334654777631nζ =27 ((10)27-1)/9 28°ζ 11nζ =2 · 29 nζ =28 · 101 nζ =4 · 239nζ=7 · 281nζ =28 4649 nζ =7 · 909091nζ =14 · 121499449nζ =28 ((10)28–1)/9

27. Para el nivel primo igual 331°ζ: 1987 nζ =331 · 5591902924565229547615053402672929597942179723759995526477660347816361907957277861656321646256220992003578817871721746910473634177 7106749426829950232063971369457026226024716210926578314600458536039814348822904434379019180227031258737348319633171168148520941676 4524967846558183749930101213442934630654811832466588380025722753453 nζ =331 = ((10)331–1)/9 Para el nivel primo igual 337°ζ: 427991 nζ =337 · 282549563 nζ =337 · 9188152908208946356626597117935112864428102385590794565344276027932765729600704475474522937798178804642243817015946282552881350849 9703986351507211018441964969245021493394743700315757812711812891481814614583685817662444094878166618037401297391647436831867063669 89101143937955823849478782178108864591920880651248326458831267 nζ =337 = ((10)337–1)/9 Para el nivel primo igual 347°ζ: 27067 nζ =34 · 4105039757310049547829870732298042306539738837370639934647767063624011198548457941815166479887357709059412240407548347105741719108 5495663025496401932652717741571327118303140765918317918909044634097281232168733554184472276613999006580378730968009425171282783873 761817383201356305135815240370602989289951273178080729711867259434407622237821373 nζ =347 = ((10)347–1)/9 Para el nivel primo igual 349°ζ: 127037 nζ =349 · 28974679nζ =349 · 3018621271038020630940011729679731476363103347710385431287897717771348629641051118520836115665909786140752995975097011123895878042 9584904696391376816046983150884011632588977790482768372352054083371856921538556231036808912871936692099501321575872911653945955345 62421792616468184613 76997055242207823838477705346141650446419842549104902757 nζ =349 = ((10)349–1)/9 Para el nivel primo igual 353°ζ: 1781225293nζ =353 · 1044667255801249 nζ =353 · 5971186761077908392402271407138469531337493584613277755428999212784863535602930319390757965057266944400930822994221431803426200382 2591696096237499388906240188560643234342101386837946383981815554806365894329678470465583039004932216435451180978084664872610746563 66822115475153656260621410869928975265101194270553763134331528776323 nζ =353 = ((10)353–1)/9 Para el nivel primo igual 359°ζ: 719 nζ =359 · 73237 nζ =359 · 799853 nζ =359 · 33569502677 nζ =359 7858559916889789781254600132092600279284463028134147209863387518527800039501364192832012829887445943942288617197555187233855290709 1098256294039417846912789721448544040406346211763514837321834844791550986953496650035636894216208335994405988139606666085970146580 45136751481516533494667313211292928329674320653732579091897263224715271477 nζ =359 = ((10)359–1)/9 Estos cálculo se demoran un día o más por nivel.

29. Ejemplo nº 9: Veamos el caso cuando el nivel nºζ es igual a 25. La Productoria Prima Natural es: 41 nζ =5 * 271 nζ =5 * 21401 nζ =25 * 25601 nζ =25 * 182521213001 nζ =25 = ((10)25 – 1)/9 = 1111111111111111111111111 Comprobemos el valor de los nºζ particulares para cada primo. Se tiene: 1/41 = 0,02439 02439 024…….. esto significa que nζ = 5 1/271 = 0,00369 00369 00……….. entonces nζ = 5 1/21401 = 0,00004 67267 88467 82860 61399 00004 672679…. nζ = 25 1/25601 = 0,00003 90609 74180 69606 65599 0000390609……….nζ = 25 1/ 182521213001 = 0,00000 00000 05478 81522 12999 0000000000054… se tiene que nζ= 25. Por lo tanto, cumple con la P. P. N. y con la condición que 25 es el Mínimo Común Múltiplo de los nζrelacionados

30. III.- Divisor de la Productoria Prima Natural Veamos el caso de que exista algún divisor posible, en donde U es divisible por algún número primo. Sea p1 algún primo ≥ 7, donde se cumple que: p1(nζ1) = nζ1 · Cnζ1+ 1(11) Si p1 es divisor de la Productoria Prima Natural, entonces debe cumplir con la siguiente expresión, si nζ1 esigual o divisordel niveln°ζ, entonce se cumple que: U mod p1 = 0 (12) O en términos de los nζ: [(10)nºζ -1] / 9 mod (nζ1 · Cnζ1 + 1)= 0(13)

31. Ejemplo nº 10:Sea p1 un número primo, digamos 173, entonces p1= 173, y cumple con: p1(nζ) = nζ1 · Cnζ1+ 1, por lo tanto nζ1 = 43(calculado anteriormente). Si consideramos el caso para el mismo nivel de n ºζ: U = ((10)43 - 1) /9 ) = 1111111111111111111111111111111111111111111 (un número formado por 43unos) , resulta que 173 es un divisor exacto de U. Veamos entonces, si se cumple: 1111111111111111111111111111111111111111111 : 173 = 6422607578676942838792549775208734746307 (Esta división tiene como resultado a un número natural y es exacta o de resto cero). Se tiene que buscando otro posible divisor primo con igual periodo nζ, se encuentra que el número: 1527791tiene un nζ igual a 43, es decir, 1/1527791, es igual: 0,0000006545397898010919032773461815130472689, es un número con 43 dígitos, por lo que el 1527791 debe pertenecer a la ProductoriaPrima Natural, esto significa que divide de forma exacta al número resultante anterior de la primera división, comprobemos tanta belleza: 6422607578676942838792549775208734746307 : 1527791 = 4203852214522105994074156592890477con resto cero. Como se esperaba, exactamente el número 1527791divide a 6422607578676942838792549775208734746307 Por lo tanto, se tiene que: 1111111111111111111111111111111111111111111 = p3* p3 * p3 = 173 • 1527791 • 4203852214522105994074156592890477 ¿Uno podría encontrar algún otro?

32. El cálculo de un posible número primo gigantesco a partir de la definición de la Productoria Prima Natural, es posible, mediante la utilización de condiciones o resultados que sean lo más poco probables, es decir, realizando un tipo de tamizado matemático en el conjunto de los números primos con nuevas condiciones de primalidad o divisibilidad. Ahora viene la gran pregunta, ¿hay manera de saber cuándo se estará en presencia de un producto de sólo dos números primos?, cosa que un número primo determine al otro, por medio de la fórmula Consideremos los siguientes pasos a seguir para disminuir la posibilidad de encontrarse con más de dos primos en la fórmula: • Aumentar el cálculo de los nζlo más que se pueda, para tener un espectro más amplio del comportamiento, con varios PC he calculado y tabulado hasta el primo 100.000.000. • Que el nζsea un número primo, ya que, al serlo no se tienen submúltiplos, por consiguiente, no se tienen números primos con nζ submúltiplos que cumplan la fórmula. Por lo tanto, se reduce la cantidad de primos.

33. Si, “p1” es algún primo muy grande, con un nζ1también primo (nζ1 = nζ2 = nº ζ), entonces se cumple que: • p1 = p1(nζ) = nζ1 · Cnζ1+ 1 • (((10)nºζ -1)/9) mod (nζ1 · Cnζ1+ 1)=0 Entonces existe un posible numero primo p2gigantesco que cumple lo siguiente: ( ( (10)nºζ - 1) / 9)div (nζ1 · Cnζ1+ 1) = p2, entonces, se tiene que: p1 · p2=(10)nºζ - 1) / 9= 111111111…....11111………….11111 Donde: p1 = p1(nζ) = nζ1 · Cnζ1+ 1; p2 = p2(nζ) = nζ2 · Cnζ2+ 1 y nζ1 = nζ2 = nºζ = nζ Intuitivamente se puede hacer la siguiente observación matemática: • Si nζ ∞ (tiende al infinito primo)la expresión (10)nºζ - 1) / 9 estaría formada por dos números primos solamente con un99,999….99% de certeza, ya que al aumentar nºζcada vez, será más difícil encontrar un tercer primo con el mismo nºζ,pero aún no hay PC’s tan poderosos para comprobarlo. • Si realizamos programas que nos permitan calcular primos que tienen un nζque sea primo y este a su vez, que resulte en otro primo que tenga otro nζ primo, y así sucesivamente, bajaríamos cerca de cero la posibilidad de repetición del nζ. A continuación, se detalla.

34. Cálculo de un Record de un “Posible Número Primo” Utilizando el ejemplo anterior podemos plantear lo siguiente: p1 = 8630519 [4315259] p2 = 17261039 [8630519] p3 = 34522079 [17261039] p4 = 69044159 [34522079] p5 = ((10^69044159-1)/9)[69044159] O también que es lo mismo: p5=((10^69044159-1)/9)[69044159][34522079][17261039][8630519][4315259] Si U es un generador del nivel 69044159 de la Productoria Prima Natural, entonces se define que: U = 111111………………………………………….11111 = (1069.044.159-1) / 9  Si consideramos que existe otro número divisor primo que divida a este número, este debería pertenecer a la Productoria Prima del generadorU con un nζigual a 69.044.159, por ende, este debe ser de la forma igual a: p(nζx )= nζ · Cnζx + 1 = 69.044.159 ·Cnζx+ 1 y debe cumplir con lo siguiente: U mod p(nζx )= (1069044159-1) / 9 Mod (69.044.159 · 2 *x + 1)

35. He realizado evaluaciones tentativas de posibles divisores de (1069044159-1)/9 Con el siguiente programa y evaluado en el Software Mathematica: “ In:[1]:= n = 1; While[n<100000000000, If[PrimeQ[69044149*2*n+1], Print["resto:", Mod[(10^69044149-1)/9, 69044149*2*n+1], "divisor:", 69044149*2*n+1]]; n++] ” Encontrando los siguientes divisores: 88238435203( “= 1278 *69044159+1”) y 3204339419191 (“= 69044159*46410+1”) Los resultados de la salida del programa y donde se producen los restos ceros o divisores, se muestran a continuación: resto:400842314divisor:828529909 resto:603394603divisor:1380883181 resto:294259429divisor:2071324771 resto:4465715855divisor:8285299081 resto:8855658164divisor:9113828989 resto:1576871020divisor:10494712169 resto:11541482399divisor:11599418713 resto:8187113025divisor:11737507031 resto:10903299887divisor:12566036939 resto:6455827402divisor:13394566847 ……………………………….. resto:20039859484divisor:31898401459 resto:10000814494divisor:33141196321 resto:597063356divisor:86167110433 resto:28655921833divisor:87133728659 resto:40829126091divisor:87547993613 resto:0divisor:88238435203 “= 1278 *69044159+1” resto:48804053446divisor:89205053429 resto:52101456980divisor:90309759973

36. resto::83774188986divisor:91690643153resto::80515798789divisor:92795349697resto:64744895774divisor:94176232877resto:93305352669divisor:102323443639resto:51497557319divisor:103704326819resto:42741273471divisor:104394768409resto:23556243041divisor:104809033363resto:29545827626divisor:104947121681resto:36696895326divisor:105637563271resto:60011889931divisor:105775651589resto:40694965863divisor:110332566083resto:66134010109divisor:111989625899resto:103965718880divisor:114060950669……..resto:2713043447005divisor:3192049558889resto:1663633669604divisor:3195225590203resto:1723549838153divisor:3195639855157resto:1772553329454divisor:3196054120111resto:701747282078divisor:3201577652831resto:1017559293999divisor:3203648977601resto:0divisor:3204339419191 “= 69044159*46410+1”resto:1763143754713divisor:3205167949099resto:1942801858607divisor:3208482068731resto:2668856711016divisor:3209724863593

37. Hasta la fecha no he encontrado mas divisores, por lo que el número: p = [(1069044159-1)/9 ] / [(69.044.159 · 1278+ 1) (69.044.159 · 46410 + 1) ]= 392971613738635761185638667448214500024709070033582933988558884493937109576893655768530061780276……… Es un candidato fuerte para ser un numero primo de 69 millones de dígitos aproximadamente. Y ha sido evaluado hasta el numero : 109324659448919 y corresponde a 791701 evaluaciones. Existe un premio para los records de números primos gigantes, pero este debería confirmarse y aún no hay tecnología tan avanzada, sólo la posibilidad de hacerlo en sistema Java y utilizar la red mundial para confirmarlo. Esto sería, muy interesante, ya que pudiese transformarse en una obsesión matemática sin precedentes, por lo que necesito ayuda………..

38. Gracias a todos ………………y nos vemos en el próximo Comca 2010