Variabel Random

1. Definisi variabel Random (VR) Suatufungsi bernilai riil yg didapat dari anggota2 ruang sampel -Notasi VR menggunakan huruf besar (misal X ) sedangkan nilainya dg huruf kecil yg berpadanan (misal x). -Tiap nilai x yg mungkin disebut suatu kejadian yg merupakan himp bagian dr ruang sampel Contoh Uang logam dilempar dua kali, jika X menyatakan jumlah angka yg muncul maka tentukan nilai x yg mungkin Jawab diketahui VR X adl jumlah angka yg muncul kemungkinan yg terjadi ada 4 anggota yaitu AA berarti x= 2 AG berarti x= 1 GA berarti x= 1 GG berarti x= 0 jadi nilai x yg mungkin adalah X ={0, 1, 2} VR disktret adl ruang sampel yg mengandung titik2 yg berhingga banyak atau deretan anggota yg banyaknya sama dg banyaknya bilangan bulat VR kontinu adl rung sampel yg mengandung titik2 tak berhingga banyak dan sama banyaknya dg titik2 dalam garis Variabel Random

2. lanjutan Distribusi Peluang Diskret adalah VR diskret yg tiap-tiap nilainya mendapatkan peluang tertentu Contoh kasus husus: uang logam dilempar 3 kali, VR X menyatakan banyaknya muncul muka ,tantukan distribusi peluangnya Jawab S={MMM,MMB,MBM,MBB,BMM,BMB,BBM,BBB} 3 2 2 1 2 1 1 0 banyak muka yg muncul X={0,1,2,3} Jadi didapat distribusi peluangnya adl X 0 1 2 3 P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8 Catatan bahwa semua nilai x yg mngkin mempunyai jumlah peluang 1 Definisi Fungsi peluang atau distribusi peluang f(x) atau P(X=x) suatu VR diskret bila: a) f(x) 0 , b) f(x) = 1 dan c) f(x) = P(X=x)

3. lanjutan 1.Tentukan distribusi peluang jumlah bilangan yg muncul bila dua dadu dilempar 2. Tentukan fungsi peluang untuk jumlah muka bila 4 uang logam dilempar jawab • S={ (1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); (2,1);(2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6); (3,1);(3,2); (3,3); (3,4); (3,5); (3,6); (4,1);(4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (4,6); (5,1);(5,2); (5,3); (5,4); (5,5); (5,5); (6,1);(6,2); (6,3); (6,4); (6,5); (6,6) } X=jumlah muka yg muncul={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} jadi distribusi peluangnya adal X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(X=x) ..............................5/36 • X=jumlah muka yg muncul ={0,1,2,3,4} jadi fungsi peluangnya adalah X 0 1 2 3 4 P(X=x)=f(x) 1/16 4/16 6/16 4/16 ...1/16.........

4. lanjutan Definisi : Distribusi Kumulatif F(x) VR X diskret , dg distribusi peluang f(x) dinyatakan oleh F(x) = P(Xx)= Σ f(t) Contoh: uang logam dilempar 3 kali, VR X menyatakan banyaknya muncul muka ,tantukan a) distribusi peluang dan b) distribusi kumulatif Jawab a) Distribusi peluang /fungsi peluang sudah dijawab b) Sedangkan distribusi kumulatif sbb F(0)=f(0)= 1/8 F(1)= f(0) + f(1) =4/8 F(2)= f(0) + f(1) + f(2) =7/8 F(3)= f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = 1 jadi di dapat 0 bila x 0 1/8 bila 0 x1 F(x)= 4/8 bila 1x 2 7/8 bila 2x3 1 bila x 3

5. lanjutan Distribusi peluang Kontinu Dalam hal VR kontinu X , untuk distribusi peluangnya / fungsi peluangnya f(x) disebut Fungsi Padat Peluang Definisi Fungsi Padat Peluang f(x), VR kontinu X, untuk semua bilangan riil bila: a) f(x)0 , untuk semua x R b) dx = 1, dan c) P(axb)= dx Contoh Misalkan VR X mempunya fungsi padat peluang f(x) = , -1x2 0 , selain itu • Tunjukkan bahwa syarat fungsi padat peluang dipenuhi • Hitung P(0x1) jawab a) dx = dx + dx + dx = . = 1/9. - 1/9.= 1 b) P(0) = dx = = 1/9 2 -1 1 0

6. lanjutan Definisi distibusi kumulatif F(x) untuk VR X kontinu dg fungsi padat peluang f(x) adalah F(x) = P(X)= Sehingga didapat P(ab) =F(b) – F(a) Contoh Carilah distribusi kumulatif bila diketahui fungsi padat peluang f(x) = , -1x2 0 , selain itu Jawab F(x) = dt = = + = 1/9( ) Contoh Diketahui distribusi kumulatif F(x) = 1/9(+ 1) , -1x2 Tentukan P(0 F(1) – F(0) = 2/9 – 1/9 =1/9 Ingat waktu SLTA cara membuat tabel distribusi bergolong atau tunggal jika dietahui data sebnyak n buah lalu ditanya rata-rata, varian, standrt deviasi Definisi yg dibahas diatas hanya satu variabel random, sedangkan untuk n VR analog saja x -1

7. Nilai Ekspektasi (nilai harapan) Misal X suatu VR dg distribusi peluang f(x) , maka NILAI EKSPEKTASI X dinotasikan dg E(X) didefinisikan dg E(X) = ; bila X diskret E(X) = ; bila X kontinu Sekarang lihatlah fungsi g(x) dari VR X maka nilai harapan g(x) adl E(g(x)) E(g(x)) = ; bila X diskret E(gx)) = = ; bila X kontinu Contoh Cariha nilai harapan banyaknya kimiawan dalam panitia 3 oran yg dipilih secara random dari 4 kimiawan dan 3 programer Jawab didapat X={0,1,2,3} sedangkan fungsi peluangnya/ditribusi peluangnya f(x) = , untuk x= 0,1,2,3 Selanjutnya mencari pelung f(0), f(1), f(2), dan f(3) sbb 4x 3 3-x 73

8. lanjutan 40 33 . 1. 1 f(0) = = = = 1/35 35 f(1) = f(2) = f(3) = E(X) = 0.(1/35) + 1 (12/35) + 2(18/35) + 3(4/35) = 1,7 Jadi rata-rata nya beranggotakan 1,7 Contoh Misal VR X menyatakan umur dlm jam sejenis bola lampu, dg fungsi padat peluangnya adl sbb f(x)= , x 100 0 , x yg lain Tentukan nilai harapan bola lampu tsb Jawab E(X) = .x dx = 200 jadi bola lampu tsb diharapkan rata2 umur 200 jam 73

9. lanjutan Contoh 1.Diketahui variabel random X dengan fungsi padat probabilitas sbb f(x)= , -1 0 , x yg lain Tentukan E(g(x)) bila a) g(x)= -4 b) g(x)= 2x-1 2. Misalkan var random X dg distribusi probabilitas sbb x 0 1 2 3 f(x) 1/3 ½ 0 1/6 Hitunglah nilai harapan Y=(X-1)2 Jawab 2. E[= f(x) =1/3+1/2+0+1/6= 1 1. b) E[(2X-1)] = dx==-dx = - ] =3/2 a) E[(-4)] =-4) dx =-4dx = - ] = 2 -1 2 -1

10. lanjut Ekspektasi Husus Untuk mendapatkan momen ke k sekitar titik asal VR X adalah g(x) = sehingga didapat E) = f(x) E( ) = f(x) dx Untuk mendapat kan rata-rata dg mengambil g(x) =X sehingga didapat μ = E(X) = f(x) μ = E(X) = f(x) dx Untuk mendapatkan variansi (penyebaran sekitar rata-rata) adalah dg mengambil g(x) =, sehingga didapat σ2 = E[] = E(X2) - =f(x) - σ2 = E[] = E(X2) - = f(x) dx - Untuk mendapatkan kovariansi dg mengambil g(x) =( x-μx)(y-μy), sehingga didapat E[( x-μx)(y-μy)] = E(XY) -μxμy = Σxf(xy) - μxμy =- μxμy

11. Beberapa distribusi peluang diskret 1 Distribusi seragam f(x)= , untuk x = x1, x2, x3.......... Xk dengan rataan μ= dan σ²= = - μ² Contoh Misal seorang dipilih secara acak dari 10 karyawan untuk mengawasi suatu proyek. Tiap karyawan peluangnya sama , tentukan a) bentuk distribusinya b) gambar histogramnya c) rataan d) variansi Jawab misal tiap karyawan dinomeri 1 sampai 10 f(x) = , x=1,2,3.......,10 f(x) b) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X c) Rataan = =5,5 d) Variansi = =8,25

12. lanjutan nx Distribusi Binomial, dan distribusi Normal 1 Distribusi Binomial b(x;n,p) = . X=0,1,2,3,........n dimana p=sukses dan q=gagal Distribusi binomial b(x;n,p) mempunyai rataan dan variansi μ=np dan σ2=npq Contoh Suatu suku cadang dpt menahan goncangan tertentu dg peluang ¾ . Hitunglah peluang tepat dua dari empat suku cadang yg tdk rusak jawab b(2;4,3/4) = ((= = Suatu penderita penyakit tertentu mempunyai peluang 0,4 sembuh ,bila diketahui ada 15 orang yg telah mengidap penyakit tersebut berapakah peluang • Paling sedikit 10 orang akan sembuh • Antara 3 sampai dg 8 orang akan sembuh= • Tepat 5 yang sembuh. P(X=5) =b(5;15, 0,4) = - 42

13. lanjut • P(X10) =1- P(X10)=1- = 1- 0,9662 =0,0338 b) . =. - = 0,9050 – 0,0271 = 0,8779 c) P(X=5) =b(5;15, 0,4) = - = 0,4032 – 0,2173 =0,1859 Catatan tolong cara baca tabel binomial dipehatikan !!!!!

14. Distribusi Normal Bentuk distribusi normal fungsi padat probabilitas VR X, dengan rata-rata μ dan variansi σ² adalah f(x)= n(x;μ¸σ²) = , dengan Π=3,14159 dan e=2,71828 Bila rata-rata μ=0 dan variansinya σ²=1 ,disebut distribusi normal standart Sehingga bentuk funfsi padat probabilitasnya adalah f(z)= n(z;0¸1) = , Hal ini bisa didapat dengan mentranformasi Z= σσ=1 x1 x2 μ z1 z2 0 Luas dibawah kurva dan diatas sumbu datar sama dengan 1 Luas antara x1sampai x2 sama dg peluang antara x1sampai dg x2 P(x1 Xx2 )=dx (cara menghitung ada tabelnya) perhatikan juga luas/peluang ygdimaksud gambar tsb

15. lanjutan Contoh 4.1 Diketahui suatu distribusi normal dengan μ = 50 dan σ = 10, carilah peluang untuk X antara 45 dan 62. Jawab Nilai z yang berpadanan dengan x1 45 dan x2 = 62 adalah z1 = =- 0,5 z2 = = 1,2 Jadi, P(45 < X < 62) = P(-0,5 < Z < 1,2). -0,5 0 1,2 z Nilai P(--0,5 < Z < 1,2) diberikan oleh luas yg dihitami pada gambar diatas, luas ini dapat dicari dengan mengurangkan luas bagian kiri ordinat z = -0,5 dari seluruh bagian kiri z = 1,2.Dengan menggunakan tabel 4,diperoleh P(45 < X < 62) = P(-0,5 < Z < 1,2) 45 50 = P(Z < 1,2) – P(Z < - O,5) = 0,8849 – 0,3085 = 0,5764

16. LANJUTAN Contoh 4.2 Suatu jenis baterai mobil rata-rata berumur 3,0 tahun dg simpangan baku 0,5 tahun.Bila dianggap umur baterai berdistribusi normal,carilah peluang suatu baterai tertentu akan berumur kurang dari 2,3 tahun. Jawab Mula-mula buatlah diagram yang menunjukan distribusi umur baterai yang di berikan dan luas daerah yang ditanyakan. Untuk menghitung P(X < 2,3), hitunglah luas di bawah kurva normal sebelah kiri titik 2,3. Ini sama saja dengan menghitung luas daerah sebelah kiri nilai z padanannya. Jadi diperoleh σ = 0,5 z = Dan kemudian dengan menggunakan tabel 4 diperoleh P(X < 2,3) = P(Z < - 1,4) = 0,0808 2,3 3 x -1,4 0 z

17. lanjutan Contoh 4.3 Suatu perusahaan listrik menghasilkan bola lampu yang umurnya berdistribusi normal dengan rataan 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Hitunglah peluang suatu bola lampu dapat menyala antara 778 dan 834 jam. Jawab Distribusi umur bola lampu dilukiskan pada gambar 4.10. σ = 40 Nilai z yang berpadanan dengan x1= 778 dan x2 = 834 adalah z1 = z2 = = 0,85 x 778 800 834 Jadi z -0,55 0 0,85 P(778 < X < 834) = P(-0,55 < Z < 0,85) = P(Z < 0,85) – P(Z < -0,55) = 0,8023 – 0,2912 = 0,5111

18. lanjutan Contoh 4.4 Suatu pengukur dipakai untuk menolak semua suku cadang yang ukurannya tidak memenuhi ketentuan 1,50 ± d. Diketahui bahwa pengukuran tersebut berdistribusi normal dengan rataan 1,50 dan simpangan baku 0,2. Tentukanlah harga d sehingga ketentuan tersebut mencakup 95% seluruh pengukuran. Jawab Pada soal ini prosesnya dibalik dan dimulai dengan luas atau peluang yang diketahui, tentukan harga z, kemudian tentukan x dari rumus x = σz + μ. Dari tabel 4 dapat dicari bahwa P(-1,96 < Z < 1,96) = 0,95 artinya z Jadi 1,50 + d = (0,2)(1,96) + 1,50 Sehingga diperoleh d = (0,2)(1,96) = 0,392. σ = 0,2 Berarti x1=1,50-0,392=1,108;x2=1,50+0,392=1,892 0,025 0,025 x= 1,108 1,50 x=1,892 z1=-1,96 0 z2=1,96

19. contoh 5 Suatu mesin membuat alat tahanan listrik dengan rataan tahanan 40 ohm dan simpangan baku 2 ohm. Misalkanlah bahwa tahanan berdistribusi normal dan dapat di ukur sampai derajat ketelitian yang di inginkan. Berapa persentase alat yang mempunyai tahanan melebihi 43 ohm? Jawab Persentase diperoleh bila frekuensi nisbi dkalikan dengan 100%. Karena frekuensi nisbi untuk suatu sama dengan peluang jatuh dalam selang tersebut, maka harus dicari luas daerah disebelah kanan x = 43 dalam gambar 4.12. Ini dikerjakan dengan mentransformasikan x = 43 menjadi Harga z padanannya sehingga diperoleh luas disebelah Kiri z dari tabel 4, kemudian mengurangkan luas ini Dari 1. Jadi, diperoleh z = = 1,5 Sehingga 40 43 x P(X > 43) = P(Z > 1,5) 0 z=1,5 z = 1 – P(Z < 1,5) = 1 – 0,9332 = 0,0668 Karena itu, 6,68% dari alat akan mempunyai tahanan melebihi 43 ohm.

20. lanjutan Contoh 4.6 Hitunglah persentase tahanan yang melebihi 43 ohm pada contoh 4.5 bila tahanan diukur dengan membulatkan ke bilangan bulat terdekat. Jawab Soal ini berbeda dengan contoh 4.5 dalam hal ini bahwa sekarang semua alat yang bertahanan melebihi 42,5 tapi kurang dari 43,5 ohm akan di tulis 43 ohm. Sesungguhnya, disini distribusi diskret dihampiri dengan distribusi normal kontinu. Luas yang dicari adalah daerah yang dihitami ke sebelah kanan 43,5 pada gambar 4.13. Sekarang diperoleh z = Sehingga P(X>43,5) = P(Z > 1,75) = 1 – P(Z<1,75) = 1 – 0,9599 40 43,5 x = 0,0401 0 z=1,75 Jadi, 4,01% dari tahanan melampaui 43 ohm bila di ukur sampai harga ohm terdekat (bilangan bulat terdekat). catata Selisih 6,68% - 4,01% = 2,67% antara jawaban ini dan contoh 4.5 menggambarkan semua alat yang bertahanan lebih besar dari 43,5 yang sekarang ditulis sebagai 43 ohm.

21. lanjutan Contoh 4.7 Nilai rata-rata 300 mahasiswa tahun pertama secara penghampiran berdistribusi normal denagn rataan 2,1 dan simpangan baku 0,6. Berapa banyak mahasiswa yang dapat di harapkan mempunyai nilai diantara atau sama dengan 2,5 dan 3,5 bila perhitungan nilai rata-rata dibulatkan sampai persepuluhan terdekat? Jawab Karena nilai dicatat sampai persepuluhan terdekat maka diperlukan luas antara x1= 2,45 X2 = 3,55 seperti terlihat pada gambar 4.14. Harga z padanannya adalah z1 = = 0,58 σ = 0,6 z2 = Sehingga P(2,45 < X < 3,55) = P(0,58 < Z < 2,42) = P(Z < 2,42) – PZ < o,58) 2,1 2,45 3,35 x = 0,9922 – 0,7190 0 0,58 2,42 z = 0,2732. Jadi 27,32%, atu kira-kira 82 dari 300 mahasiswa, mendapat nilai diantara atau sma dengan 2,5 dan 3,5.

22. SOAL SOAL 1. Tentukanlah mana dari peubah acak berikut yang diskret dan mana yang kontinu. X : banyaknya kecelakaan mobil per tahun di Jakarta. Y : lamanya waktu pertandingan tunggal badminton. M : banyaknya susu setahun yang dihasilkan seekor sapi tertentu. N : banyaknya telur perbulan yang dihasilkan seekor ayam betina tertentu. P : banyaknya SIM dikeluarkan tiap bulan disuatu kota tertentu. Q : berat padi yang dihasilkan per hektar. 2. Dari kotak yang berisi empat bola hitam dan dua bola hijau, tiga bola di ambil secara berurutan; tiap bola dikembalikan sebelum pengambilan berikutnya. Carilah distribusi peluang banyaknya bola hijau yang terambil. 3. Carilah rumus distribusi peluang peubah acak X yang menyatakan hasil yang muncul bila sebuah dadu dilantunkan sekali. 4. Suatu pengiriman enam pesawat televisi berisi dua yang rusak. Sebuah hotel membeli tiga pesawat secara acak dari kelompok tadi. Bila X menyatakan banyak pesawat yang rusak yang dibeli hotel tersebut, carilah distribusi peluang X. Nyatakanlah hasilnya dalam histrogram peluang. 5. Carilah distribusi kumulatif peubah acak X pada soal 4 dengan menggunakan F(x), carilah : (a). P(X = 1) (b). P(0 < X ≤ 2) 6. Buatlah grafik distribusi kumulatif untuk soal 5. 7. Suatu peubah acak X yang dapat memperoleh setiap nilai antara x = 1 dan x = 3 mempunyai fungsi peluang f(x) = ½. (a). Tunjukkan bahwa luas dibawah kurva = 1 (b). Hitunglah P(2 < X < 2,5) (c). Hitunglah P(X ≤ 1,6)

23. 8. Suatu peubah acak X yang dapat memperoleh setiap harga antara x = 2 dan x = 5 mempunyai fungsi padat f(x) = . Hitunglah a. P(x < 4) b. P(3 < X < 4) 9. Pandang fungsi padat f(x) = k √ x, 0 < x < 1 = 0. untuk x lainnya. a. Hitunglah k b. Hitunglah F(x) dan pakailah untuk menghitung P(0,3 < X < 0,6) 10. Skor berikut menyatakan nilai ujian akhir suatu mata pelajaran statistika. 23 60 79 32 57 74 52 70 82 36 80 77 81 95 41 65 92 85 55 76 52 10 64 75 78 25 80 98 81 67 41 71 83 54 64 72 88 62 74 43 60 78 89 76 84 48 84 90 15 79 34 67 17 82 69 74 63 80 85 61 Dengan menggunakan 10 selang, yang terkecil dimulai dengan 9. a. Buatlah distribusi frekuensi nisbi. b. Histrogram frekuensi nisbi. c. Buatlah distribusi frekuensi kumulatif nisbi yang dihaluskan. d. taksirlah kuartir dan desil ketujuh.

24. 11. Hitunglah nilai harapan peubah acak X yang mempunyai fungsi adat f(x) = 2(1 – x), 0 < x < 1 = 0 untuk x lainnya 12. Misalkanlah X menyatakan hasil yang muncul bila suatu dadu yang setangkup dilantunkan. Hitunglah E(Y), bila Y = 2 - 5. 13. Hitunglah nilai harapan g(X) = , bila X mempunyai fungsi padat seprti pada soal 11. 14. Mislakanlah X peubah acak dengan distribusi peluang berikut : x -2 3 5 P(X = x) 0,3 0,2 0,5 Hitunglah rataan dan simpangan baku X.

25. SOAL • Bilangan 1 sampai dengan 10 dituliskan masing – masing dengan sepuluh potongan kertas yang kemudian yang digulung lalu dimasukkan dalam sebuah kotak. Bila X adalah peubah acak yang menyatakan bilangan yang tertulis dalam gulungan kertas yang diambil secara acak, carilah rumus distribusi peluang X. Berapakah peluang mengambil ilangna lebih kecil dari 4? • Hitunglah rataan dan variensi peubah acak X pada soal 1. • Seoarang pemain basball mempunyai rata – rata pukulan 0,250 (1 dari 4 pukulan kena tepat). Berapakah peluangnya tepat memukul kena 1 dalam 4 pukulan berikutnya? • Bila X adalah peubah acak yang menyatakan banyaknya angka yang muncul bila suatu uang logam yang setangkup dilantunkan sekali, hitunglah distribusi peluang X. Sebutkanlah 2 distribusi terkenal yang dapat menyatakan X. • Dalam pengujian sejenis ban truk memlalui jalan yang kasar ditemukan bahwa 25% truk mengalami kegagalan karena ban pecah. Berapakah peluang 5 sampai 10 truk dari 15 yang diuji akan mengalami pecah ban? • Peluang seseorang sembuh dari operasi jantung yang rumit adalah 0,9. berapakah peluang 5 dari 7 orang yang menjalani operasi ini akan sembuh? • Seoarang insinyur pengawas lalu lintas menyatakan bahwa 75% kendaraan yang melintas suatu daerah pemerikasaan berasal dari DKI. Berapakah peluang bahwa paling sedikit 3 dari 5 kendaraan mendatang yang melalui pemeriksaan tersebut berasal dari luar DKI? • Suatu survei penduduk disuatu kota di Amerika Serikat menunjukkan bahwa 20% lebih menyenangi telepon berwarna putih dari pada warna lainnya. Berapakah peluang bahwa lebih dari setengah dari 20 pesawat yang akan di pasang dikota tersebut akan berwarna putih?

26. 9. Diketahui bahwa 75% dari tikus yang disuntik denagn sejenis serum terlindung dari serangan sejenis penyakit. Bila 3 tikus disuntik, berapakah peluang paling banyak 2 dari padanya terserang penyakit tersebut? 10. Bila X menyatakan banyaknya kendaraan dari luar DKI pada soal 7 bila 5 kendaraan melewati pemeriksaan, carilah distribusi peluang x. Gunakan teorema chebyshev untuk menghitung menafsirkan µ ± 2σ.

27. Soal 1. Diketahui distribusi normal dengan μ = 200 dan σ = 100, hitunglah : a. luas dibawah 214; b. luas diatas 179; c. luas antara 188 dan 206; d. titik sehingga luas dibawahnya 80%; e. kedua titiik setangkup terhadap 200 yang mengapit 75% bagian tengah. 2. Diketahui peubah X yang berdistribusi normal dengan rataan 18 dan simpangan baku 2,5. hitunglah : a. P(X < 15) ; b. nilai k sehingga P(X < K) = 0,2578 ; c. P(17 < X <21) ; d. nilai k sehingga P(X > k) = 0,1538 ; 3. Suatu mesin minuman diatur sedemikian rupa sehingga mengeluarkan rata – rata 207 Ml secangkir. Banyaknya minuman berdistribusi normal dengan simpangan baku 15 Ml. a. berapa bagian cangkir yang akan berisi lebih dari 231 Ml b. berapa peluang 1 cangkir berisi antara 198 dan 126 Ml c. berapa cangkir yang akan kepenuhan (sehingga tumpah) bila digunakan seribu cangkir berukuran 237 ml. d. dibawah nilai berapakah terdapat 25% dari jumlah cangkir denagn isi terkecil.

28. 4. Diameter sebelah dalam suatu cincin torak berdistribusi normal dengan rataan 10 cm dan simpangan baku 0,003 cm. a. berapa proporsi cincin yang mempunyai diameter-dalam melebihi 10,075 cm b. berapa peluang suatu cincin torak berdiameter-dalam antara 9.97 dan 10,03 cm c. di bawah nilai diameter-dalam berapakah terdapat 15% dari seluruh cincin torak? 5. Bila nilai ujian statistika suatu kelas berdistribusi menghampiri normal dengan rataan 74, dan simpangan baku 7,9, hitunglah : a. nilai lulus terendah bila mahasiswa dengan nilai 10% terendah mendapat nilai F (gagal). b. nilai B tertinggi bila mahasiswa dengan nilai 5% tertinggi mendapat A. 6. Tinggi 1000 mahasiswa berdistribusi normal dengan rataan 174,5 cm dan simpangan baku 6,9 cm. Bila pengukuran dibulatkan ke setengah cm terdekat, berapa banyakkah dapat diharapkan tinggi mahasiswa a. kurang dari 160,0 cm ? b. antara, dan termasuk 171,5 dan 182,0 cm ? c. sama dengan 175,0 cm ? d. lebih besar atau sama dengan 188 cm ? 7. Dalam suatu ujian matematika nilai rata – rata adalah 82 dengan simpangan baku 5. semua mahasiswa yang bernilai dari 88 sampai 94 mendapat B. bila nilai berdistribusi hampiran normal dan delapan mahasiswa mendapat nilai B, berapa orangkah yang mengikuti ujian tersebut ?

29. 8. Sebuah perusahaan menggaji pegawainya rata – rata Rp525 per jam dengan simpangan baku Rp60. Bila gaji berdistribusi hampiran normal, a. berapa persen karyawan yang bergaji antara, dan termasuk, Rp475 dan Rp569 sejam b. di atas berapa rupiahkah 5% gaji perjam tertinggi ? 9. IQ 600 pelamar ke suatu perguruan tinggi berdistribusi hampiran normal dengan rataan 115 dan simpangan baku 12. Bila perguruan tinggi itu hanya menerima yang mempunyai IQ paling rendah 95, berapa banyakkah pelamar yang aka ditolak jika hanya didasarkan atas ketentuan ini tanpa memandang kemampuan yang lain ?