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GEOMETRÍA PLANA

GEOMETRÍA PLANA. TEMA 8 * 3º ESO. TRAPECIOS Y EXÁGONO. TEMA 8.10 * 3º ESO. b. l ’. l. h. h. B. TRAPECIOS. Un TRAPECIO es el cuadrilátero ( 4 lados ) que tiene dos lados ( bases) paralelos. La base mayor se designa por “B” y la base menor por “b”.

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GEOMETRÍA PLANA

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  1. GEOMETRÍA PLANA TEMA 8 * 3º ESO Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  2. TRAPECIOS Y EXÁGONO TEMA 8.10 * 3º ESO Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  3. b l ’ l h h B TRAPECIOS • Un TRAPECIO es el cuadrilátero ( 4 lados ) que tiene dos lados ( bases) paralelos. • La base mayor se designa por “B” y la base menor por “b”. • PERÍMETRO: P = B + b + l + l ’ • Si unimos dos trapecios como en la figura, se forma un romboide, de área: • A = (B+b).h • Luego el área del trapecio será la mitad del romboide. b B h B b Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  4. Trapecio isósceles Es aquel en que los dos lados no paralelos son IGUALES. Se podría decir que es la parte de un triángulo isósceles que queda entre su base y una recta paralela a dicha base. PERÍMETRO: P = B + b + 2.l AREA: A = [ ( B + b ) / 2 ].h En el trapecio isósceles se puede determinar la altura conociendo las bases y el lado oblicuo. También se puede determinar el lado oblicuo conociendo las bases y la altura b l l h B Por el Teorema de Pitágoras: l = √ { h2 + [ ( B – b ) / 2 )2 ] } l = hipotenusa. h = un cateto. (B-b)/2 = el otro cateto. Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  5. Trapecio rectángulo • Es aquel en que uno de los lados no paralelos es perpendicular a las bases. • PERÍMETRO: P = B + b + l + h • AREA: A = [ ( B + b ) / 2 ].h • En el triángulo rectángulo que se resalta, por el Teorema de Pitágoras: • l = √ { h2 + [ ( B – b )2 ] } • l = hipotenusa. • h = un cateto. • (B - b) = el otro cateto. b l h h B Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  6. b=5 • EJEMPLO_9 • En un trapecio las bases miden 7 y 5 cm y el área vale 48 cm2. • Hallar la altura, los lados oblicuos y dibujarlo. l ’ l h h B = 7 • Sabemos que: A = [(B+b) / 2].h • Luego 48 = [(7+5)/2].h  48 =(12/2).h  48 = 6.h  h = 8 cm • Pero, sin más datos, el trapecio es indeterminado (infinitas soluciones). Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  7. EJEMPLO_10 • En un trapecio isósceles las bases miden 11 y 5 cm y el área vale 48 cm2. • Hallar la altura, los lados oblicuos y dibujarlo. b=5 l l h h B = 7 • Sabemos que: A = [(B+b) / 2].h • Luego 48 = [(11+5)/2].h  48 =(16/2).h  48 = 8.h  h = 6 cm • Además a ambos lados se forma un triángulo rectángulo: • Cateto mayor = altura , cateto menor = (B – b) / 2 , hipotenusa = lado l • Luego l = √ (h2 + [(B – b)/2]2) = √ (62 + [(11 – 5)/2]2) = √ (36 + 9) = √45 cm Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  8. EJEMPLO_11 • En un trapecio rectángulo el perímetro mide 30 cm, las bases miden 11 y 5 cm y la altura es 2 cm menor que el lado oblicuo.. • Hallar el área y dibujarlo. b=5 l l h h • Sabemos que: A = [(B+b) / 2].h • Luego A = [(11+5)/2].h  A = 8.h • Además P = B + b + h + l  30 = 16 + h + l • Como h = l – 2  30 = 16 + (l – 2 ) + l  30 = 16 + 2.l – 2 • Luego 2.l = 16  l = 8 cm y por tanto h = 6 cm • El área será A = 8.h = 8.6 = 48 cm2 B = 11 Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  9. TRAPEZOIDE • Es aquel cuadrilátero que no tiene ningún par de lados paralelos. • PERÍMETRO: P = a+b+c+d • Todo trapezoide se puede descomponer en cuatro triángulos, cuyos vértices serán los extremos de cada lado y un punto interior cualquiera del trapezoide. c P b d a Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  10. Ejercicio • Hallar el área del cuadrilátero de lados: • a = 7 cm, b = 10 cm, c = 12 cm y d = 7 cm • Sabiendo que el ángulo que forman los lados a y d es de 110º. c • Resolución: • Dividimos el trapezoide en 4 triángulos. • Trazamos las 4 alturas, una por cada triángulo. • Medimos las alturas. • Calculamos el área de cada triángulo y sumamos las cuatro áreas halladas. b P d a Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  11. PENTÁGONO • PENTÁGONO • Es un polígono regular de CINCO lados. • Ángulo central: 360/5 = 72º • Ángulos interiores: (180 – 72) / 2 = 54º • Se compone de 5 triángulos isósceles idénticos. • La altura de uno de ellos es la APOTEMA. • PERÍMETRO: P = 5.l • ÁREA: A = 5.(l. apo / 2) = P.apo / 2 54º 54º 72º apo l Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  12. 54º 54º • Ejercicio_1 • En un pentágono regular el área vale 45 cm2 y la apotema mide 3 cm menos que el lado. Hallar el perímetro y dibujarlo. • PERÍMETRO: P = 5.l • Necesitamos el lado. • ÁREA: A = 5.l. apo / 2 • 45 = 5.l.(l – 3) / 2 • 90 = 5.l2 – 15.l • 5.l2 – 15.l – 90 = 0 • l2 – 3.l – 18 = 0 • Resolviendo la ecuación de 2º grado: • 3 +/- √(9+72) 3 + 9 • l = ------------------- = --------- = 6 cm • 2 2 • P = 5.l = 5.6 = 30 cm 72º apo l Al dibujar un pentágono de lado 6 cm y apotema 3 cm, vemos que NO cumple con los ángulos. No hay solución Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  13. EXÁGONO • EXÁGONO • Es un polígono regular de SEIS lados. • Se compone de 6 triángulos equiláteros. • Todos sus ángulos miden 60º • PERÍMETRO: P = 6.l • ÁREA: A = P. apo / 2 • La apotema se puede deducir por el Teorema de Pitágoras: apo l • l = √ [ ( l / 2)2 + apo2 ] • De donde: • apo = √ [ l2 -- (l/2)2 ] = l. √3 / 2 l apo l / 2 Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  14. Ejercicio_1 • En un exágono el perímetro vale 54 cm. Hallar el área. • PERÍMETRO: P = 6.l • 54 = 6.l  l = 54 / 6 = 9 cm • ÁREA: A = P. apo / 2 • Apo = l. V3 /2 = 4,5 V3 • A = 54. 4,5. V3 / 2 = 121,5. V3 cm2 apo l Apuntes de Matemáticas 3º ESO

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