Übungen zur Vorlesung Stochastik und ihre Didaktik

1. Übungen zur Vorlesung Stochastik und ihre Didaktik Thema: Faire Spiele / Gerechte Spiele Referenten: Anne Büttner, Anne Thiel, Stephan Schultz

2. 6.1Konzipieren Sie eine Doppelstunde zum Thema „Faire Spiele“ für die Klasse 6. Lernziel soll sein, dass den Schülerinnen und Schülern ihr naives Fairnessverständnis bewusst gemacht und mit den ihnen zur Verfügung stehenden Mitteln der Wahrscheinlichkeitsrechnung präzisiert und beschrieben wird. Wählen Sie einfache altersgerechte Beispiele undGegenbeispiele.

3. Vorwissen der Schüler aus Klasse 1 bis 5 • Themenfeld: Daten und Zufall • propädeutisches Verständnis von Wahrscheinlichkeit • Kennen und Anwenden von einfachen Formulierungen • aus der Stochastik • gewisse Vorstellung vom Begriff Zufallsgröße • keine mathematischen Definitionen • Spiele

4. Einstieg in die Doppelstunde • Was versteht ihr unter dem Begriff „fair“? • Was stellt ihr euch unter fairen Spielen vor?  kurzes Sammeln der ersten Ideen  eventuell: Festhalten der Vorstellungen der Schüler an der Tafel

5. 1.Spiel: Theorie Wir haben ein Säckchen mit drei blauen und mit drei gelben Kugeln.Abwechselnd ziehen nun die Kinder Fix und Foxi aus diesem Säckchen eine Kugel und legen sie anschließend wieder zurück ins Säckchen. I)Wird eine blaue Kugel gezogen, erhält Fix einenBonbon. Wird aber eine gelbe Kugel gezogen, erhält Foxi einen Bonbon. Würdest du dieses Spiel eingehen? Ist das Spiel deiner Meinung nach fair?

6. 1.Spiel: Theorie II)Wird eine blaue Kugel gezogen, erhält Fix einen Bonbon. Wird aber eine gelbe Kugel gezogen, erhält Foxi zwei Bonbons. Würdest du dieses Spiel eingehen? Ist das Spiel deiner Meinung nach fair?

7. Zwischenergebnis Damit ich entscheiden kann, ob ein Spiel fair ist, muss ich nicht nur die Chance bzw. die Wahrscheinlichkeit, sondern auch den möglichen Gewinn betrachten.

8. 2.Spiel: Praxis Würfelspiel mit Oktaeder Variante 1: Für dieses Würfelspiel braucht man 2 Spieler. Der erste spielt um die Zahlen 1 und 2. Der andere spielt um 3, 4, 5, 6, 7 und 8. Beide Spieler würfeln abwechselnd 16-mal nacheinander. Wird eine der Zahlen von Spieler 1 gewürfelt bekommt er einen Chip, bei den anderen Zahlen bekommt Spieler 2 einen Chip. Frage an SchülerInnen: Ist das ein schönes Spiel? Ist es ein faires Spiel?

9. 2.Spiel: Praxis Würfelspiel mit Oktaeder Variante 2: Für dieses Würfelspiel braucht man 2 Spieler. Der erste spielt um die Zahlen 1 und 2. Der andere spielt um 3, 4, 5, 6, 7 und 8. Beide Spieler würfeln abwechselnd 16-mal nacheinander. Wird eine der Zahlen von Spieler 1 gewürfelt bekommt er sechs Chips, bei den anderen Zahlen bekommt Spieler 2 einen Chip. Frage an SchülerInnen: Ist das ein schönes Spiel? Ist es ein faires Spiel?

10. 2.Spiel: Praxis Würfelspiel mit Oktaeder Zwischenbemerkung: Bei Variante 1 hatte Spieler 1 nach 16 Durchgängen deutlich weniger Chips als Spieler 2. Bei Variante 2 hatte Spieler 1 deutlich mehr Chips als Spieler 2. Vermutung: Es gibt bestimmt einen Gewinn, der zwischen dem ersten und dem zweiten liegt und durch den das Spiel fair wird. Frage: Habt ihr eine Idee, wie man den Gewinn für Spieler 1 wählen muss, damit das Spiel fair wird? Lösung: 3 Chips Erklärung: Die Wahrscheinlichkeit für Spieler 1 ist nur 1/3 von der Wahrscheinlichkeit von Spieler 2, dafür muss Gewinn von Spieler 1 dreimal so groß sein, wie der von Spieler 2.

11. 2.Spiel: Praxis Würfelspiel mit Oktaeder Variante 3: Für dieses Würfelspiel braucht man 2 Spieler. Der erste spielt um die Zahlen 1 und 2. Der andere spielt um 3, 4, 5, 6, 7 und 8. Beide Spieler würfeln abwechselnd 16-mal nacheinander. Wird eine der Zahlen von Spieler 1 gewürfelt, bekommt er drei Chips, bei den anderen Zahlen bekommt Spieler 2 einen Chip. Frage an SchülerInnen: Ist das ein schönes Spiel? Ist es ein faires Spiel? 2. Fazit: Man kann bei einem unfairen Spiel die Wahrscheinlichkeiten und den Gewinn so verändern, dass es fair ist. Andersherum kann man so auch aus einem fairen Spiel ein unfaires machen.

12. 3. Spiel: PraxisGlücksrad Man braucht 2 Spieler für das Glücksradspiel. Jeder Spieler bekommt 20 Chips. Einem Spieler werden die beiden gelben Felder, dem anderem Spieler das blaue Feld zugeordnet. Die Felder sind alle gleichgroß. Danach wird abwechselnd 18-mal am Glücksrad gedreht. Wird ein gelbes Feld erdreht, bekommt der zugehörige Spieler ein Chip vom anderen. Wird das blaue Feld erdreht, bekommt der Spieler mit dem blauen Feld 2 Chips vom Spieler mit den gelben Feldern. Die Ergebnisse werden an der Tafel in einer Tabelle zusammengefasst und ausgewertet.

13. 3. Spiel: PraxisGlücksrad Spieler I: Gewinn = Anzahl der Chips * Möglichkeiten = 2 Chips * 1 (Feld) = 2 Chips Verlust = Anzahl der Chips * Möglichkeiten = 1 Chip * 2 (Felder) = 2 Chips Spieler II: Gewinn = Anzahl der Chips * Möglichkeiten = 1 Chip * 2 (Felder) = 2 Chips Verlust = Anzahl der Chips * Möglichkeiten = 2 Chips * 1 (Feld) = 2 Chips  Spieler 1 gewinnt genau so viel, wie er verliert  Gewinn und Verlust gleichen sich aus  Ja, Spiel ist fair!

14. Merksatz Ein faires Spiel ist ein Spiel, bei dem der durchschnittliche Gewinn gleich dem durchschnittlichem Verlust ist.

15. Anwendung des Merksatzes auf Spiel 2 Analyse von Gewinn und Verlust bei Spieler 1 Variante 1: Gewinn = alle Chips, die er bekommt = 1 Chip bei 2 Zahlen = 2 Chips Verlust = alle Chips, die er nicht bekommt = alle Chips, die Spieler 2 bekommt = 1 Chip bei 6 Zahlen = 6 Chips  Gewinn < Verlust  Das Spiel ist unfair für Spieler 1.

16. Anwendung des Merksatzes auf Spiel 2 Analyse von Gewinn und Verlust bei Spieler 1 Variante 2: Gewinn = 6 Chips bei 2 Zahlen = 12 Chips Verlust = 1 Chip bei 6 Zahlen = 6 Chips  Gewinn > Verlust  Das Spiel ist unfair für Spieler 2.

17. Anwendung des Merksatzes auf Spiel 2 Analyse von Gewinn und Verlust bei Spieler 1 Variante 3: Gewinn = 3 Chips bei 2 Zahlen = 6 Chips Verlust = 1 Chip bei 6 Zahlen = 6 Chips  Gewinn = Verlust  Das ist ein faires Spiel.

18. Übungsaufgabe Du verabredest dich mit einem Freund zum gemeinsamen Spielen. Du besitzt 10 Murmeln und dein Freund viel mehr Murmeln als du. Er schlägt dir folgendes Spiel vor: a) „Ich habe hier vier Hütchen mit verschiedenen Unterseiten. Es gibt eine weiße und drei schwarze Unterseiten. Deckst du das Hütchen mit der weißen Unterseite auf, erhältst du 6 Murmeln von mir. Deckst du jedoch ein Hütchen mit einer schwarzen Unterseite auf, bekomme ich eine Murmel von dir.“ Würdest du dieses Spiele eingehen? Ist das Spiel deiner Meinung nach fair? Versuche, deine Überlegungen rechnerisch zubegründen.

19. Übungsaufgabe Gewinn = Möglichkeiten für Gewinn * möglicher Gewinn = 1 * 6 = 6 Verlust = Möglichkeiten für Verlust * möglicher Verlust = 3 * 1 = 3 Gewinn > Verlust Ja, ich würde dieses Spiel eingehen. Nein, das Spiel ist nicht fair.

20. Hausaufgabe Dein Freund merkt, dass sein Spiel dochnicht so gewinnbringend für ihn war und er verändert ein wenig die Spielregeln. Du erhältst nun, wenn die weiße Seite erscheint, nur noch drei Murmeln. Würdest du dieses Spiele eingehen? Ist das Spiel deiner Meinung nach fair?