Controle ótimo quadrático

Controle ótimo quadrático Josemar de Oliveira Quevedo Lucas VizzottoBellinaso Prof. Dr. ViníciusMontagner Santa Maria, junho de 2012

Tópicos • Introdução • Controle ótimo quadrático: equacionamento • Escolha de Q e R • Exemplo de projeto • Projeto mal feito • Projeto bem feito • Simulação de um conversor Buck • Conclusões

Introdução • Realimentação de estados: • Obtençãodarespostadesejadapara o sistemaatravés do cálculo do ganhoK, ondeu = R – K x. • Funciona se o sistema for controlável. • Controleótimoquadrático: • Técnicaempregadaparacálculo do ganhoK. u

ControleótimoquadráticoDesenvolvimentomatemático • Consistenaminimização de um índice de desempenhoquadráticoJ. • As matrizes Q e R devem ser Hermitianas e definidaspositivamente: • Q = Q’ e R = R’ • v’Qv≥ 0 e v’Rv≥ 0 , ondev é um vetorcomoxeu. • Se o sistema for controlável, a minimização de Jsempretorna o sistemaestável.

ControleótimoquadráticoDesenvolvimentomatemático Sendou = - Kx, pode-se obter: Se houverumamatrizPHermitianaque: Do sistemarealimentado substitui-se: O queleva a:

ControleótimoquadráticoDesenvolvimentomatemático SendoQ + K’RKsemprepositivo, pelasegunda Lei de Liapunov, se o sistema for estável, entãoexistePquesatisfaça: Se e separandoostermosemKdaequaçãoacima: Pode-se obterque a minimização de Jemrelação a Krequer:

ControleótimoquadráticoDesenvolvimentomatemático • O cálculo de K é resumidonasseguintesetapas: • Encontrar P definidapositivamentequesatisfaça a equaçãoreduzida de Ricatti: • CalcularK com a seguinteequação:

Escolha de Q e R • MatrizQ: • Relativa à importância do erro de cadaestado do sistema. • Normalmentedefinidana forma diagonal, paraque a importância de cadaestadosejadefinida de forma independente. • Exemplo: q1refere-se à importância do erro de x1. Quandomaiorq1, maisrápidoseráreduzido o erro de x1.

Escolha de Q e R • MatrizR: • Relativa à energianecessáriaparacadaentrada. • Normalmentedefinidana forma diagonal, paraquecadaentradasejatratadaindependentemente. • Exemplo: r1refere-se à energiaabsorvidadaentradau1. • Quantomaior é r1, menor é a energiaabsorvida de u1, e mais lento é o controledependentedessaentrada. • Quantomenorr1maioresosganhosrelativos à entradau1.

Escolha de Q e RComando do Matlab • Para obter o ganho K no software Matlab, utiliza-se o seguintecomando: K = lqr(A,B,Q,R) ou K = lqr(sys,Q,R) • Exemplo: A = [1 2 ; 3 4]; B = [1 ; 0]; Q = [10 0; 0 1]; R = 1; K = lqr(A,B,Q,R) Valor de K obtido no Matlab: K = [13.0812 22.4926]

Exemplo de projeto: modelagem do sistema Figura 1 - Sistema RLC proposto • R=50Ω; • C=220uF; • L=886μH; • Vc (referência)=50V

Exemplo de projeto: sistema ampliado • Sistema aumentado: Figura 2 – Diagrama de blocos do sistema a ser controlado .

Exemplo de projeto: controlabilidade • Controlabilidade: • Valores numéricos da matriz aumentada

Exemplo de projeto: definição de Q e R • Projeto adequado: • Objetivo: buscar a resposta que alie os menores ganhos, menor energia de controle e resposta mais rápida do controlador sobre a planta. • Ganhos: K = [-0,0223 11,1723 -79,0569]; • Pólos = [-505 -12195].

Exemplo de projeto: definição de Q e R • t = 0:0.0001:0.12; • [y,x,t] = step(AA,BB,CC,DD,1,t); • [y2,X,t] = step(A,B,C,D,1,t); • x1 = [1 0 0]*x'; • x2 = [0 1 0]*x'; • x3 = [0 0 1]*x'; • subplot(2,2,1); plot(t,x1,'LineWidth',2); grid • holdon • plot(t,y2,'r'); • subplot(2,2,2); plot(t,x2,'LineWidth',2); grid • subplot(2,2,3); plot(t,x3,'LineWidth',2); grid • erro=1-x1; • subplot(2,2,4); plot(t,erro);grid Aaum = [A zeros(2,1);-C 0]; Baum = [B;0]; Q = [1 0 0;0 100000 0; 0 0 5000000]; R = [800]; Kah = lqr(Aaum,Baum,Q,R) K = Kah(1:2) Kl = -Kah(3); AA = [A-B*K B*Kl;-C 0]; BB = [0;0;1]; CC = [C 0]; DD = [0]; % tensão de saída % corrente % erro integrado

Exemplo de projeto: definição de Q e R Tempo de acomodação: 40 ms Figura 3 - Resposta do sistema – projeto adequado

Exemplo de projeto: definição de Q e R Figura 4 – Resposta em frequência do sistema – projeto adequado

Exemplo de projeto: definição de Q e R • Projeto inadequado: • Atribuir valores à matriz Q que priorizem os estados menos relevantes para a resposta do sistema. • Valores elevados reduzem o erro em relação à referência, mas aumentam o esforço de controle. • Valores reduzidos aumentam o erro e diminuem o esforço de controle; • Reduzir ou elevar demasiadamente os valores da matriz R; • A redução resulta em ganhos que tenham magnitude que podem não ser implementáveis na prática; • O aumento eleva o erro.

Exemplo de projeto: definição de Q e R • Exemplo: priorização dos estados menos relevantes para a resposta do sistema na matriz Q. • Ganhos: K = [30,3201 15,9441 -3,1623]; • Pólos = [-9043,3 + j*8974,3; -9043,3 – j*8974,3].

Exemplo de projeto: definição de Q e R Figura 5 – Resposta em frequência - priorização dos estados menos relevantes para a resposta do sistema na matriz Q

Exemplo de projeto: definição de Q e R • Exemplo: Valores muito reduzidos para a matriz R. • Ganhos: K = [38,4 1000,2 -7071,1]; • Pólos = [-300; -1,1287*10^6].

Figura 6 – Resposta em frequência – redução excessiva dos valores da matriz R

Exemplo de projeto: definição de Q e R • Exemplo: Valores muito elevados para a matriz R. • Ganhos: K = [-0.0118 0.6362 -5 ]; • Pólos = [-404,5+j*2229,6; -404,5-j*2229,6].

Exemplo de projeto: definição de Q e R Figura 7 – Resposta em frequência – aumento excessivo dos valores da matriz R

Exemplo de projeto: definição de Q e R • Comparação dos projetos: Tabela 1 – Comparação das características dos projetos

Simulação: conversor Buck Figura 8 – Conversor buck simulado sob condições nominais

Simulação: conversor Buck • Condições nominais: Figura 9 – Resposta do conversor operando em malha aberta (vermelho), e com o LQR (azul)

Simulação: conversor Buck Figura 10 – Resposta do erro e erro integrado

Simulação: conversor Buck Figura 11 – Conversor buck simulado com redução de 50% da carga

Simulação: conversor Buck • Redução de 50% da carga: Figura 12 – Resposta do conversor operando em malha aberta (vermelho), e com o LQR (azul)

Simulação: conversor Buck Figura 13 – Conversor buck simulado com aumento de 100% da carga

Simulação: conversor Buck • Aumento de 100% da carga: Figura 14 – Resposta do conversor operando em malha aberta (vermelho), e com o LQR (azul)

Simulação: conversor Buck Figura 15 – Conversor buck simulado com variação da referência

Simulação: conversor Buck • Variação da tensão de referência de 50 V para 70 V: Figura 16 – Resposta do conversor para a variação da referência

Simulação: conversor Buck Figura 17 – Conversor buck alimentado por retificador monofásico

Simulação: conversor Buck • Conversor buck alimentado por retificador monofásico: Figura 18 – Tensão de saída em azul, tensão de entrada em vermelho. (a) malha fechada (b) malha aberta

Conclusões • O controle LQR oferece uma forma metódica de cálculo dos ganhos de realimentação de estados a partir da minimização de um fator de desempenho quadrático J; • A resposta do sistema depende dos valores projetados para as matrizes Q e R, as quais determinam a importância relativa do erro e da quantidade de energia necessária no processo de controle, respectivamente;

Conclusões • As matrizes Q e R são definidas empiricamente, portanto, estão sujeitas a diferentes respostas, que serão tão boas quanto maior a faixa de valores testados, permitindo assim definir a configuração que melhor se encaixa para um dado projeto; • O projeto do controlador aplicado ao conversor Buck visou obter uma resposta que levasse o nível de tensão de saída para o valor desejado com reduzida demanda de energia e rápida resposta dos estados do sistema;

Conclusões • Vantagens do conversor LQR: • Permite a minimização da energia demandada pelo sistema, resultando em melhor rendimento do sistema de controle; • Desvantagens do conversor LQR: • Limitação da técnica relacionada à maneira aleatória de definição dos ganhos do controlador, sendo difícil definir a condição ótima de ganhos.

Considerações finais • Josemar de Oliveira Quevedo: • josemar.oliveira.quevedo@gmail.com • Lucas VizzottoBellinaso: • lbellinaso@gmail.com

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