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Insiemi numerici

Insiemi numerici. I Naturali. I numeri naturali sono quegli oggetti matematici che servono per contare le cose che ci circondano. 0,1,2,3, … , 9, …. 10 dita  base 10. 0. 1. 2. 3. N. 3. Operazioni Somma a+b 1+2=?. 0. 1. 2. 3. N. b volte. Moltiplicazione axb = a+a+… +a.

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Insiemi numerici

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Presentation Transcript

  1. Insiemi numerici

  2. I Naturali I numeri naturali sono quegli oggetti matematici che servono per contare le cose che ci circondano. 0,1,2,3, … , 9, … 10 dita  base 10 0 1 2 3 N

  3. 3 Operazioni Somma a+b 1+2=? 0 1 2 3 N

  4. b volte • Moltiplicazione axb = a+a+… +a • Elevamento a potenza ab= axax … xa b volte a≥b Operazioni Somma a+b • Sottrazione a-b=c a=b+c • 3-2=? 1 0 1 2 3 N

  5. b volte • Moltiplicazione axb = a+a+… +a • Elevamento a potenza ab= axax … xa b volte a≥b Operazioni Somma a+b • Sottrazione a-b=c a=b+c • Divisione a:b=q  a=bxq • Divisione con resto a b  a=bxq+r • q • r • Estrazione della radice b√a = c  a=cb

  6. Proprietà delle operazioni Somma Commutativa a+b=b+a Associativa a+(b+c)=(a+b)+c Esistenza elemento neutro 0 a+0=a • Sottrazione • Commutativa • Associativa (7-1)-2 ≠ 7-(1-2) • Esistenza elemento neutro 0 a-0=a (7-2)-1 ≠ 7-(2-1)

  7. Proprietà delle operazioni Prodotto Commutativa axb = bxa Associativa ax(bxc) = (axb)xc Esistenza elemento neutro 1 ax1=a ax0=0 Legge di annullamento del prodotto axb=0  (a=0  b=0) Prodotto e somma Distributiva ax(b+c) = axb + axc

  8. Proprietà delle operazioni Divisione Commutativa Associativa (8:4):2 ≠ 8:(4:2) Esistenza elemento neutro 1 a:1=a 0:a=0 a:0 IMPOSSIBILE 0:0 forma indeterminata Divisione e somma Distributiva (a+b):c = a:c + b:c Distributiva a:(b+c) ≠ a:b + a:c Divisione e prodotto a:(bxc) ≠ (a:b)xc

  9. ab x ac = ab+c • ab : ac = ab-c • (ab) c = abxc • ab x cb = (axc)b • ab : cb = (a:c)b 1n=1 0n=0 Proprietà delle operazioni Elevamento a potenza a0=1 00 ab x a0 = ab+0 = ab

  10. Dato un numero naturale a si dice che b è multiplo di a se esiste un altro naturale n tale b=an. mcm e MCD Dati due numeri naturali a e b il loro minimo comune multiplo, mcm(a,b), è il numero m multiplo di a e di b tale che ogni altro multiplo comune ad a e b sia anche multiplo di m.

  11. 2 3 4 6 6 9 8 12 10 15 12 18 … … mcm e MCD

  12. Dato un numero naturale a si dice che b è divisoredi a se esiste un altro naturale n tale a=bn. mcm e MCD Dati due numeri naturali a e b il loro massimo comune divisore, Mcd(a,b), è il numero d divisore di a e di b tale che ogni altro divisore comune ad a e b sia anche divisore di d.

  13. 24 18 2 2 4 3 6 6 12 9 24 18 … … mcm e MCD

  14. Gli Interi a+(-a)=0 OPPOSTO I numeri col segno Z -2 -1 0 1 2 3 N SEGNO MODULO -a

  15. a+(-a)=0 a-a=0 -1 1+(-2)=1-2=? Operazioni Somma a+b -2 -1 0 1 2 3 N Z

  16. Operazioni Somma a+b Moltiplicazione axb + x + = + + x - = - - x + = - - x - = + • Elevamento a potenza ab, b>0 • (+a)b=+ab • (-a)b=+ab se b è pari • (-a)b=-ab se b è dispari

  17. Divisione a:b • + : + = + • + : - = - • - : + = - • - : - = + Operazioni Sottrazione a-b = a+(-b) a-(-b) = a + (-1)x(-b) = a+b • Estrazione della radice, b>0 • b√ase b è pari e a ≥ 0 ± b√a se b è dispari

  18. Proprietà delle operazioni Somma Commutativa Associativa Esistenza elemento neutro 0 Esistenza dell’opposto a  -a | a+(-a)=0

  19. a0=1 Proprietà delle operazioni Elevamento a potenza ab : ab = ab-b = a0 1= ab : ab = ab-b = ab+(-b) = ab x a-b

  20. I razionali Q ax =1 INVERSO ½ con p,q  Z, q≠0 -2 -1 0 1 2 3 Z Q Numeratore Denominatore

  21. Se ieri ho vinto 2 partite su 3 e oggi ne ho vinte 5 su 7, in tutto ho vinto 7 partite su 10. Operazioni Somma

  22. Operazioni Somma Moltiplicazione

  23. Operazioni Somma Moltiplicazione Elevamento a potenza

  24. Operazioni Sottrazione Divisione Estrazione della radice, b>0

  25. Proprietà delle operazioni Somma Commutativa Associativa Esistenza elemento neutro 0 Esistenza dell’opposto 

  26. Proprietà delle operazioni Prodotto Commutativa Associativa Esistenza elemento neutro 1 Esistenza dell’inverso  ax0=0 Legge di annullamento del prodotto axb=0  (a=0  b=0)

  27. Elevamento a potenza

  28. Esercizi

  29. Gli irrazionali 0,01 001 0001 00001 … Esistono? ? Q Z N

  30. Gli irrazionali • √2 sin1 • √3 • π e • ln5

  31. I Reali R Q Z N

  32. I Reali Assiomi relativi alle operazioni + x • Commutativa • Associativa • Distributiva • Esistenza elemento neutro • Esistenza dell’opposto • Esistenza dell’inverso

  33. I Reali Assiomi relativi all’ordinamento ≤ • Dicotomia a ≤ b oppure b ≤ a • Asimmetria se a ≤ b e b ≤ a allora a=b • Se a ≤ b allora a+c ≤ b+c • Se 0 ≤ a e 0 ≤ b allora 0 ≤ a+b e 0 ≤ axb Il prodotto di due numeri positivi è positivo Il quadrato di un numero positivo è positivo

  34. I Reali Assioma di completezza Siano A e B due sottoinsiemi dei Reali tali che a ≤ b per ogni aA e bB allora esiste almeno un cR tale che a ≤ c ≤ b ½ -2 -1 0 1 2 3 Rappresentazione grafica Q R

  35. Legge di annullamento del prodotto axb=0  a=0 v b=0 • ax0=0 a + ax0 = a x (1+0) = ax1 = a • Se axb=0 e a≠0 allora b=0 b = bx1 = bx(axa-1) = (bxa)xa-1 = 0xa-1 = 0

  36. Regole dei segni + x + = + dagli assiomi + x - = - 0 = ax0 = ax(b-b) = axb + ax(-b) - x - = + 0 = (-a)x0 • = (-a)x(b-b) • = -axb + (-a)x(-b)

  37. Potenze ad esponente reale π 3 4 3,1 3,2 3,14 3,15 … … 2π 8 9 8,8 8,9 8,82 8,83 • … …

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