Sistem Persamaan Linear

1. Sistem Persamaan Linear

2. Persamaan Linear Definsi: • Garis lurus di bidang xy (dimensi 2) dapat dinyatakan dalam persamaan: • Jika di dimensi n (n variabel)

3. Contoh persamaan linear: • 3x=6 (titik di garis x) • 2x+3y=5 (garis dibidang xy) • 4x+5y+6z=9 (bidang di ruang xyz)

4. Contoh soal: • Temukan solusi dari persamaan linnear berikut: • 2x+3y = 6 • 3x+2y+4z=12

5. Sistem Persamaan Linear Definisi • Himpunan persamaan-persamaan linear dalam n variabel yang memiliki solusi berikut: • Tepat 1 solusi • Banyak solusi • Tidak ada solusi

6. Sistem persamaan linear dengan m persamaan dan n variabel dapat dinyatakan dalam bentuk:

7. Matriks Augmented

8. Contoh:

9. Operasi Baris Elementer • Operasi Baris Elementer pada matriks augmented : • Mengalikan baris dengan bilangan tak nol • Menukar Baris • Menjumlahkan suatu baris dengan k kali baris lain

10. Eliminasi Gauss • Metode sistematis untuk menyelesaikan SPL • Mengubah matriks augmented menjadi matriks eselon baris

11. Eliminasi Gauss Jordan • Metode sistematis untuk menyelesaikan SPL • Mengubah matriks augmented menjadi matriks eselon baris tereduksi

12. Aturan Baris Eselon Tereduksi • Baris nol : Baris yang seluruh angka nya 0 • Baris tak nol : Baris yang mempunyai minimal 1 angka tak nol • Matriks Eselon Baris: • Jika baris pertama adalah baris tak nol maka angka pertama di baris tersebut harus angka 1 ( satu utama). • Jika suatu baris adalah baris nol maka dikelompokkan di dasar matriks • Jika 2 baris tak nol berurutan maka satu utama pada baris yang lebih bawah harus terletak dikanan satu utama pada baris yang diatasnya. • Angka-angka pada matriks selain satu utama adalah 0 ( Baris eselon tereduksi).

13. Matriks Eselon Baris Matriks Eselon Baris tereduksi Matriks Augmented

16. Sistem persamaan linear disebut homogen jika semua konstanta bernilai 0.

17. Matriks dan operasi matriks • Definisi: • Sekumpulan angka2 yang disusun dalam bentuk baris dan kolom • Anggota2nya disebut entri

18. Matriks bujur Sangkar : Matriks yang mempunyai diagonal utama • Matriks diagonal : Matriks bujur sangkar yang entri selain diagonal utama bernilai 0 • Matriks identitas : Matriks diagonal yang entrinya bernilai 1

19. Matriks segitiga atas: Matriks bujur sangkar yang entri dibawah diagonal utama bernilai 0 • Matriks segitiga bawah: Matriks bujur sangkar yang entri dibawah diagonal utama bernilai 0

20. Perkalian Skalar

21. Perkalian Matriks • Definisi: Jika terdapat matriks A berukuran mxn dan B berukuran nxr maka AB berukuran mxr. • Contoh:

23. Matriks Partisi

24. Contoh

25. Perkalian matrik sebagai kombinasi linear

26. Contoh

28. Matriks Transpose

29. Trace Matriks

30. Matriks Invers

31. Sifat-Sifat Matriks Invers

32. Matriks Polinomial

33. Matriks Elementer • Matriks nxn disebut matriks elementer jika matriks tersebut diperoleh dari matriks identitas dengan menggunakan sekali operasi baris elementer

34. Operasi Baris dengan perkalian matriks • Jika matriks elementer E adalah hasil operasi baris Im dan A adalah matriks berukuran mxn maka EA adalah matriks yang sama dengan matriks hasil operasi baris elementer dari A.

35. Contoh

36. Setiap matriks elementer adalah matriks invertible dan inversnya merupakan matriks elementer.

37. Jika A adalah matriks nxn. Pernyataan berikut eqivalen: • A matriks invertible • Ax=0 hanya punya solusi trivial • Bentuk eselon baris tereduksi dari A adalah I • A dapat dinyatakan sebagai perkalian matriks matriks elementer.

38. Contoh

39. Contoh

41. Jika A adalah matriks invertible maka spl Ax=b mempunyai tepat 1 solusi

43. Menentukan ke konsistenan spl