INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA ECONÓMICO EMPRESARIAL

1. INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA ECONÓMICO EMPRESARIAL DEPARTAMENT DE MATEMÀTICA ECONOMICOEMPRESARIAL PROF. TRINIDAD CASASÚS – ENRIC CRESPO FACULTAT D’ECONOMIA UNIVERSITAT DE VALÈNCIA

2. Preliminares sobre Funciones reales Función real de variable real. Dominio y rango Operaciones con funciones Composición de funciones Funciones monótonas Funciones inyectivas y sobreyectivas Función inversa Gráfica Funciones elementales: polinomios, logaritmos, exponencial, valor absoluto, parte entera, …

3. PRELIMINARES SOBRE FUNCIONES • Definición : Función real de una variable real Sea D R; se define una función real de una variable real como una regla “f” entre D y R que asigna un único número real a cada x D. Se suele escribir f : D R  R / x  f(x) • A cualquier elemento de D lo designaremos por la letra “x” y su imagen en  diremos que es f(x). Diremos que x es la variable independiente de la función f y que y=f(x) es la variable dependiente. • El conjunto D sobre el que está definida la función f se llama dominio ó campo de existencia de la función f. D = { x /  f(x) } • Rango, Recorrido ó Imagen de f es el subconjunto de  formado por todas las imágenes de los elementos de D. • Rf = { f(x) / xD } • * En Economía x es conocida como la variable exógena e y como variable endógena.

4. Entre conjuntos • Representación cartesiana x f(x) D R f(x) x D

5. Algunas definiciones • Una función se dice que está acotada en su dominio D si existe un ktal que f(x) k xD. • Una función se dice que es “par” en su dominio D si • f(x) = f(-x) xD. • Por ejemplo la función f(x) = x2. • Una función se dice que es “impar” en su dominio D si • -f(x) = f(-x) xD. • Por ejemplo la función f(x) = x3.

6. Operaciones con funciones • Dadas f, g : DR  Rdos funciones reales de variable real, se define: • (f±g)(x) = f(x) ± g(x), xD • (f.g)(x) = f(x).g(x), xD • (f/g)(x) = f(x)/g(x), xD tal que g(x)0 • (αf)(x) = αf(x), xD, α R

7. Función Monótona : Dada la función f : DR  R, diremos que f es monótona si • x<y  f(x) f(y) x, yD (Monótona creciente) • x<y  f(x) < f(y) x, yD (Mon. estrictamente creciente) • x<y  f(x)  f(y) x, yD (Monótona decreciente) • x<y  f(x) > f(y) x, yD (Mon. estrictamente decreciente)

8. Gráfica de una función Sea f: DR  R, se llama gráfica de dicha función, al conjunto de puntos (x , y) de R2verificando y = f(x) , para todo x D, y se denota: Gf = { ( x , y) R2 / y = f(x) xD } Dado un punto P(x,y), (x,y) son las coordenadas de P. Se dice que (x,y) es un par ordenado.

9. Composición de funciones • Sean las funciones • f : A R Ry g : B R Rcon f(A)B, • se llama función compuesta de f y g , a la función • g o f : A    tal que (g o f) (x) = g( f(x)) xA. • Dadas f y g , como arriba, que f(A)  B , es la condición necesaria y suficiente para la existencia de la función compuesta g o f. • De aquí se deduce que dadas dos funciones f y g puede existir la función g o f y sin embargo no existir f o g, o viceversa .

10. Función inyectiva: Dada la función f : D R R, diremos que f es inyectiva si f(x)=f(y)  x=y, es decir, a elementos distintos en el conjunto origen corresponden imágenes distintas. Función sobreyectiva o suprayectiva: Dada la función f : DR R, diremos que f es suprayectiva si yR  x  D tal que f(x)=y, es decir, todo elemento del conjunto final tiene al menos una antiimagen. Función inversa Sea la funciónf : DR Rinyectiva cuyo rango ó recorrido es Rf R , se llama función inversa de f y se designa porf-1 a una función, si existe, de dominio Rf y rango D tal que xRf f-1(x) = y, si f(y) = x .

11. Funciones Elementales • Funciones Polinomiales f: RR tal que f(x)=anxn+an-1xn-1+...+ a1x1+ aosiendo aiR, i= 0,1,...,n. Si an  0 se dice que la función es de grado “n” ; y a0 se dice que es el término independiente. • Si f(x) = a0 se dice que es una función constante (grado cero) Su gráfica es una recta paralela al eje OX que pasa por el punto (0,a0) (0,a) (0,a0)

12. Funciones Elementales Si f(x) = a1 x + a0 se llama función lineal (grado uno). Su gráfica es una recta de pendiente a1 y que pasa por el punto (0,a0) Si f(x) = a2 x2 + a1 x + a0 (grado dos) se llama función cuadrática y su representación gráfica es siempre una parábola • Se llama función potencial a una función de la forma f(x) = xr con r0

13. Teoremas Fundamentales • Teorema Fundamental del Algebra: Toda ecuación polinómica de grado n con coeficientes reales tiene n raices en elcuerpo de los números complejos. Todo polinomio de grado n con coeficientes reales se puede escribir como producto de polinomios de primer y segundo grado. • Teorema de las Raíces: Dada una ecuación polinómica de grado n: anxn+an-1xn-1+...+ a1x1+ ao =0 cuyos coeficientes son todos enteros, las raíces enteras posibles de la ecuación deben ser divisores del términoindependiente ao

14. Teoremas Fundamentales Teorema del Resto: Dados dos polinomios P(x) y Q(x) tales que el grado de P(x) es mayor o igual que el grado deQ(x), existen dos únicos polinomios c(x) y r(x) que verifican que P(x)= Q(x).c(x)+r(x) con el grado de r(x) menor que el grado de Q(x) Corolario.- El polinomio P(x) es divisible por x-a sii P(a)=0.

15. Funciones Racionales: P(x)/Q(x), siendo P(x) y Q(x) dos polinomios. Esta función está definida para todo x talque Q(x)0 Una función racional se llama propia cuando el grado del numerador es menor que el grado del denominador. Se llama impropia en caso contrario. Toda función racional impropia se puede escribir como la suma de una función racional propia más una función polinómica: • Si C(x) es el cociente de la división de P(x) por Q(x) y R(x) es el resto de esta división, entonces donde R(x) ya es de grado inferior al de Q(x)

16. Función Exponencial Función exponencial Se llama función exponencial a una función de la forma f(x) = axcon a>0 a1 El dominio de una función exponencial es todo R si x>0 f(x) = ax > 0 ; si x = 0 f(x) = a0 = 1 si x < 0 f(x) = ax =1/a-x > 0 La función exponencial es positiva, es decir, la gráfica de la función se dibuja siempre por encima del eje OX. y=ax, 0<a<1 y=ax, a>1

17. Función Exponencial Número eSe define el número e como y se verifica que (si consideramos una aproximación de diez cifras decimales, por ejemplo) 2,7182818284 < e < 2,7182818285 El número e es un número irracional (Charles Hermite)

18. Logaritmos • Definición Dados dos números positivos a y b, definimos el logaritmo en base a de b, y lo denotamos como logab al número al que hay que elevar la base a para obtener b, es decir logab = x si y solamente si ax = b • En el caso que la base sea el número e se dice que es un logaritmo natural o logaritmo neperiano, en honor del escocés John Napier (1550-1617) • En el caso en que la base sea 10, se dice que son logaritmos decimales o vulgares. • Dado logab = x, se dice que b es el antilogaritmo de x en base a, es decir, Antiloga x= b

19. Propiedades de los logaritmos • 1.       loga1 = 0 • 2.       logaa = 1 • 3.       logaax = x • 4.       loga(b.c)= loga(b) + loga(c), para b,c>0 • 5.       loga(b/c)= loga(b) - loga(c) para b,c>0, c0 • 6.       loga(bn) = n. logab • 7.       • 8.       Cambio de base:

20. 1 Función Logarítmica • Función logarítmica Se llama función logarítmica a una función de la forma: y = f(x) = loga x a>0 a1  • Es aquella función que a cada número mayor que cero le hace corresponder su logaritmo en la base a, • El dominio de la función logarítmica es + = (0 , +) y su gráfica se dibuja siempre, por tanto, a la derecha del eje Y

21. Función Logarítmica Resultado: Si y = f(x) = loga x entonces ay = x . La función logarítmica es la función inversa de la función exponencial (la función exponencial es inyectiva a la vista de su gráfica).

22. Parte Entera (por defecto): Se define la función parte • entera por defecto E(x): tal que • E(x)= mayor entero menor o igual que x • Función Valor Absoluto:Se define la función Valor • Absoluto |x|: como la función tal que