Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében

1. Elektronikus kereskedelem Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében X. ElőadásAZ OPCIÓÁRAZÁS ALAPJAI PÉNZÜGYI MATEMATIKA ÉS KOCKÁZATANALÍZIS Az Európai Szociális Alap támogatásával

2. Tartalom Alapfogalmak Az opció ára Az opció végértéke Az opció értéke lejárat előtt A put-call paritás Az amerikai vételi opció 1-periódusos binomiális opciók árazása Opcióárazás többperiódusú modellekben HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

3. BEVEZETÉS I. Opció: Vételi (vagy eladási) jog, ami nem kötelező, előre specifikált feltételek mellett • Vételi opció: call option • Eladási opció: put option Az opció (a jogosultság) ára: prémium Ha a vétel (vagy eladás) létrejön: az opció tulajdonosa (holder) lehívja (excersises) az opciót HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

4. BEVEZETÉS II. Példa: vételi jog egy házra, egy éven belül $ 200.000 áron az opció ára: $ 15.000 (nem része a vételárnak) Az opció: egy származtatott eszköz (derivative security) Alaptermék (underlying asset): a ház Az opció értéke: legyen a ház piaci ára 1 év múlva $ 300.000 ekkor az opció értéke 1 év múlva $ 100.000 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

5. BEVEZETÉS III. Történelmi példa: • a holland tulipán mánia (cca 1600t) • a termelők: eladási opciókat kötöttek • a kereskedők: vételi opciókat kötöttek • egy szabályozatlan piac; összeomlik 1636-ban HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

6. ALAPFOGALMAK I. • egy egység opció tipikusan 100 részvényből áll • call vagy put: vételi vagy eladási opció • kötési vagy lehívási árfolyam (strike price): egy darab részvény ára az opció lehívása esetén • amerikai vs. európai opció: • amerikai opció: a lejárati idő előtt bármikor lehívható • európai opció: csak a lejárati időpontban hívható le HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

7. ALAPFOGALMAK II. • aki az opciót felajánlja, az írja (write) az opciót • az opció ára: a kibocsátó prémiuma • kockázatok: • aki veszi az opciót: vesztesége maximuma az opció ára • aki írja az opciót: tetszőlegesen nagy vesztesége lehet (ld. call) Példa: vételi opció az IBM részvényére $ 70 -ért a tényleges ár a lejáratkor $ 90 veszteség: $ 20 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

8. 1. oszlop: záró ár 2. oszlop: kötési árfolyam 3. oszlop: a lejárati hónap (a lejárat napja: a 3. pénteket követő szombat) 4. oszlop (call): a forgalom mérete 5. oszlop (call): az opció utolsó jegyzett ára 6-7. oszlop: ugyanez put-ra ALAPFOGALMAK III. HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

9. AZ OPCIÓ ÁRA I. Spekulatív opció : Példa: vételi opció 100 t búzára semmi módon nem akarom lehívni! Az opció forgalmazható: ha felmegy az ára, eladom Az opció: pénzügyi termék (financial instrument) HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

10. AZ OPCIÓ ÁRA II. Ki határozza meg az opció árát? HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

11. AZ OPCIÓ VÉGÉRTÉKE I. Példa: vételi opció, kötési ár: K a részvény (stock) ára lejáratkor: S az opció végértéke: S < K esetén: 0 S > K esetén: S - K Tehát: egy vételi opció végértéke lejáratkor: HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

12. AZ OPCIÓ VÉGÉRTÉKE II. Példa: eladási opció, kötési ár: K a részvény ára lejáratkor: S az opció végértéke: S > K esetén: 0 S < K esetén: K - S Tehát: egy eladási opció végértéke lejáratkor: HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

13. AZ OPCIÓ VÉGÉRTÉKE III. HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

14. AZ OPCIÓ VÉGÉRTÉKE IV. Észrevétel: a vételi opció potenciális vesztesége nem korlátos az eladási opció potenciális vesztesége korlátos Terminológia vételi opcióra: S > K in the money S = K at the money S < K out of money HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

15. AZ OPCIÓ ÉRTÉKE LEJÁRAT ELŐTT I. Példa GM részvény: kötési ár: $ 40 lejárat: 3 hónap (time to expiration) pillanatnyi részvényár: $ 37,88 kérdés: Mi az opció értéke? Kvalitatív válasz: a részvény végértéke lehet, hogy $ 40 fölé kerül → az opció értéke pozitív HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

16. AZ OPCIÓ ÉRTÉKE LEJÁRAT ELŐTT II. HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

17. AZ OPCIÓ ÉRTÉKE LEJÁRAT ELŐTT III. Példa: vételi opció, kötési ár: K lejáratig 3 hónap: az opció ára C1 lejáratig 6 hónap: az opció ára C2 Észrevétel: C1 < C2 Indoklás: a P(ST > K) valószínűség a 6 hónapos fennmaradó idő esetén nagyobb HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

18. AZ OPCIÓ ÉRTÉKE LEJÁRAT ELŐTT IV. Példa: vételi opció, kötési ár: K jelenlegi ár: S Észrevétel: a fennmaradó idő hatása elenyészik, ha: S << K vagy S >> K Indoklás: S << K esetén P(ST > K) kicsi S >> K esetén az opció haszna marginális (alternatíva: vedd meg a részvényt és tartsd) HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

19. AZ OPCIÓ ÉRTÉKE LEJÁRAT ELŐTT V. A volatilitás hatása: Példa: (vételi opció) két részvény: A, B jelenlegi ár $ 90 kötési ár $ 100 lejárat 3 hónap A változékonyabb (nagyobb volatilitású) B nyugodtabb (kisebb volatilitású) Állítás: az opció értéke a volatilitással együtt nő: CA≥CB Indoklás: P(SAT > K) ≥ P(SBT > K) HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

20. PUT-CALL PARITÁS (PUT-CALL PARITY) I. Egy kombináció: végy egy vételi opciót adj el egy eladási opciót A kombináció értéke (kifizetése) lejáratkor (ld. 12.2 ábra): Tetszőleges t < T -re is öröklődik Legyen a diszkont faktor a [t,T] -re: dt HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

21. PUT-CALL PARITÁS II. HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

22. AMERIKAI VÉTELI OPCIÓ I. Meglepetés: a korai lehívás nem lehet optimális Indoklás: • ha S(t) < K és lehívom: veszítek • ha S(t) > K és t < t’ < T és r = f(t,T): tartom az opciót t’-ig és kamatot kapok K után t’-ben lehívom, ha S(t) > K alternatíva: t-ben lehívom HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

23. AMERIKAI VÉTELI OPCIÓ II. A profit: S(t’) > K esetén: S(t’) - K + rK S(t’)≤K esetén: rK Az alternatív profit t’-ben: S(t’) - (1+ r)K Az extra profit legalább 2rK ! HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

24. 1-PERIÓDUSOS BINOMIÁLIS OPCIÓK ÁRAZÁSA I. A modell elemei: • a részvény kezdőára: S • a részvény záróára: uS vagy dS • u valószínűsége p, d valószínűsége 1-p • kockázatmentes kamatláb: r és R = 1 + r Arbitrázsmentesség szükséges feltétele: HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

25. 1-PERIÓDUSOS BINOMIÁLIS OPCIÓK ÁRAZÁSA II. Egy vételi opció a periódus végére, K kötési áron. Az opció végértékei: Alapötlet: a fenti követelést szintetizáljuk Egy portfolió 0 -ban: x dollár részvény, b dollár kockázatmentes eszköz HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

26. 1-PERIÓDUSOS BINOMIÁLIS OPCIÓK ÁRAZÁSA III. A portfolió értéke a periódus végére: vagy Paraméterek igazítása (matching): keressük x, b -t, amelyre Megoldás: HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

27. 1-PERIÓDUSOS BINOMIÁLIS OPCIÓK ÁRAZÁSA IV. A portfolió értéke 0 -ban: Ez kell, hogy legyen az opció ára! Jelölés: HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

28. AZ OPCIÓ ÁRA Itt q az ún. kockázatmentes valószínűség. Másképp: Itt a várható érték a kockázatmentes valószínűség szerint. Meglepetés: az opció ára független p -től! HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

29. OPCIÓÁRAZÁS TÖBBPERIÓDUSÚ MODELLEKBEN I. Példa: két periódusú modell, T = 2 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

30. OPCIÓÁRAZÁS TÖBBPERIÓDUSÚ MODELLEKBEN II. A kockázatmentes valószínűség: HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

31. OPCIÓÁRAZÁS TÖBBPERIÓDUSÚ MODELLEKBEN III. A t = 1 időpontbeli árak: Végül t = 0 -ban: HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

32. EGY PÉLDA I. • egy részvény mai ára $ 62 • a log-hozam volatilitása:  = 0,2 • egy vételi opció: 5 hónapra kötési ár $ 60 éves kamat: 10%, havi folytonos kamatszámítással Mi az opció ára? HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

33. EGY PÉLDA II. Egy binomiális modell illesztése t = 1/12 -vel: A kockázatmentes valószínűség Visszafelé haladó rekurzióval: C = $ 5,85 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10