„Analiza algorytmu autoregresji w prognozowaniu toru obiektów ruchomych”

Instytut Geodezji Wyższej i Astronomii Geodezyjnej Wydział Geodezji i Kartografii Politechniki Warszawskiej „Analiza algorytmu autoregresji w prognozowaniu toru obiektów ruchomych” Karolina Szafranek Opiekun pracy: dr inż. Ryszard Szpunar Seminarium Zakładu Geodezji Planetarnej Centrum Badań Kosmicznych PAN Warszawa, 4 styczeń 2008

Cel i założenia pracy Celem pracy było sprawdzenie użyteczności algorytmu autoregresji w prognozowaniu toru pojazdu w sytuacji utraty sygnału GPS. Prognoza wykonywana była na podstawie znajomości współrzędnych (płaskich) punktów sprzed symulowanej przerwy. Kolejne współrzędne X, Y poszczególnych fragmentów w dyskretny sposób opisujące przebytą drogę traktowano jako szeregi czasowe i analizowano je oddzielnie, zakładając, że nie są one ze sobą skorelowane. Wartości X, Y w funkcji czasu uznano za sygnał losowy, tzn. za taki, w którym znane są jedynie ogólne prawa statystyczne, według których sygnał ewoluuje w czasie. Podstawowe założenie dotyczyło płynności poruszania się pojazdu na analizowanym fragmencie (brak nagłych skrętów, zmiany sposobu poruszania się).

Zebranie danych - współrzędnych płaskich punktów przedstawiających w dyskretny sposób trasę jaką przebył samochód (centrum fazowe anteny) - miało miejsce w lipcu 2007 roku w Grybowie. Do pomiarów kinematycznych użyto trzech dziewięciokanałowych, dwuczęstotliwościowych odbiorników satelitarnych Trimble 4700 oraz anten MicroCentered L1/L2. Dwie anteny połączone z odbiornikami znajdowały się na dachu samochodu we wzajemnej odległości około 1 metra, jedna na dachu Ośrodka Szkoleniowego Politechniki Warszawskiej. Odbiorniki wyznaczały swoją pozycję w układzie ETRF89 co 1 sekundę. W postprocessingu wykonano obliczenia pozycji względnych dla wszystkich trzech par odbiorników (eliminacja błędów obserwacyjnych, instrumentalnych i środowiskowych) otrzymując współrzędne płaskie w układzie 2000 (strefa o południku osiowym 21 stopni). EKSPERYMENT - CZĘŚĆ GEODEZYJNA

EKSPERYMENT - CZĘŚĆ GEODEZYJNA Otrzymano współrzędne opisujące tory odbiorników ruchomych względem stacji bazowej oraz opis toru przebytego przez jeden z odbiorników ruchomych względem drugiego odbiornika ruchomego. Odrzucono te obserwacje, dla których odległość pomiędzy dwoma odbiornikami ruchomymi znacznie odbiegała od wartości średniej, co było związane z zakłóceniami pomiarowymi, niekorzystną geometrią satelitów itp. Z pozostałego materiału wybrano kilkanaście kompletnych zróżnicowanych pod względem przebiegu fragmentów trasy, a każdy z nich przetransformowano do układu lokalnego. Kryteria doboru odcinków zależały od ich kształtu: • odcinki o kształcie toru zbliżonym do linii prostej: wartości podwójnych różnic współrzędnych podobnego rzędu • odcinki zakrzywione: analiza pochodnych i poszukiwanie lokalnych ekstremów bądź punktów przegięcia

EKSPERYMENT - CZĘŚĆ GEODEZYJNA Różnice współrzędnych pomiędzy kolejnymi wyznaczeniami zależą zarówno od kształtu toru, jak i od prędkości pojazdu. Analizowane fragmenty zostały przebyte ruchem jednostajnym bądź jednostajnie zmiennym. Wynik części pomiarowej to dwuwymiarowy szereg czasowy (X, Y) opisujący kształt każdego z fragmentów (pojedyncza realizacja procesu losowego, gdyż trasa przebyta została jednokrotnie). Szeregi złożone ze współrzędnych są niestacjonarne – parametry takie jak średnia i wariancja ulegają zmianie w czasie. Dokładność otrzymanych współrzędnych oszacowano na kilka centymetrów w lokalnym układzie współrzędnych (przesunięcie rzędu metra w układzie 2000, ze względu na błąd wyznaczenia współrzędnych stacji bazowej). Obliczenia (wyznaczenie współrzędnych) zostały wykonane przy pomocy programu Trimble Total Control.

EKSPERYMENT- CZĘŚĆ OBLICZENIOWA Na każdym z fragmentów zasymulowano brak danych. Do obliczeń wybrano metodę autoregresji (AR), gdyż najlepiej nadaje się ona do prognozowania stosunkowo krótkich szeregów (minimum 50 wartości danych). Kluczową sprawą było doprowadzenie szeregów współrzędnych do stacjonarności poprzez podwójne ich różnicowanie. Proces ten jest równoznaczny z zastosowaniem mocnego filtra górnoprzepustowego. Na wykresach wartości podwójnych różnic wyrażone są w metrach. Dziedzina to czas wyrażony w sekundach. W celu wyeliminowania wartości znacznie odbiegających od pozostałych, szeregi wyjściowe wygładzono średnią ruchomą (rząd=3). Każdy z szeregów doprowadzono również do takiej postaci, aby jego wartość oczekiwana wyniosła 0. Rząd autoregresji, mówiący o tym na podstawie ilu próbek znanych wyznacza się wartości następne, obliczano na podstawie kryterium Rovelli-Vulpiani:

EKSPERYMENT- CZĘŚĆ OBLICZENIOWA Współczynniki autoregresji wyznaczano metodą Burga (minimalizacja błędu predykcji w przód i wstecz i algorytm rekurencyjny Levinsona-Durbina) w funkcji tej części szeregu, na podstawie której dokonujemy prognozy, i rzędu autoregresji. Brakujące wartości wyznaczano następnie za pomocą wzorów: . . Wyznaczone w ten sposób wartości podwójnie zróżnicowanych szeregów przekształcono następnie do szeregów współrzędnych, a otrzymane w ten sposób wyniki porównano z wartościami współrzędnych otrzymanymi z pomiarów.

WYNIKI Prognozowania dokonano dla kilkunastu fragmentów, dla każdego z nich wyznaczając wartości Sa, Sb i Sc oznaczające przebytą drogę od początku prognozy do momentu, w którym błąd prognozy będzie większy od kolejno: 10 cm, 1 m i 5m. Błąd oznacza odstępstwo wartości prognozowanych od wartości pomierzonych. Dla odcinków zbliżonych kształtem do linii prostej wartości te wyniosły: Sa = 22 m Sb = 61 m Sc = 146 m a dla fragmentów odznaczających się znaczną krzywizną: Sa = 18 m Sb = 57 m Sc = 118 m

WYNIKI – prognoza odcinka nr 13 Dla tego odcinka wykonano dwie prognozy: (a) i (b). Na = 62 Nb = 81 Pax = 18 Pay = 8 Pbx = 21 Pby = 17 Saa = 30 m Sab = 52 m Sac = 146 m Sba = 13 m Sbb = 139 m Sbc = 168 m

WYNIKI – prognoza odcinka nr 13

WYNIKI – odcinek nr 3

WYNIKI – interpolacja fragmentu nr 18 Dodatkowo, dla kilku odpowiednio długich fragmentów przeprowadzono interpolację, czyli prognozę dwustronną. Taki sposób uzupełniania brakujących fragmentów trasy mógłby być stosowany jedynie w postprocessingu. Prognozę średnią wyznaczono na podstawie prognozy w przód i wstecz stosując dla punktów położonych blisko punktu przecięcia obu prognoz średnią ważoną. Krzywą otrzymaną na podstawie prognozy dwustronnej porównano z krzywą opisaną przez wielomian drugiego stopnia. Dla odcinka nr 18 największy odstęp krzywej powstałej na podstawie prognozy od toru wyniósł 5 metrów. W tym samym miejscu analogiczna wartość dla krzywej drugiego stopnia wyniosła 91 metrów.

WNIOSKI • Dokładności wykonanych prognoz zależą od kształtu analizowanego odcinka i od położenia punktu, w którym rozpoczyna się prognoza; • Odcinki o mniejszej krzywiźnie są łatwiejsze do prognozowania niż te o znacznej krzywiźnie (mniejsze błędy prognozy); • Błędy prognozy wynikają zarówno z błędów dotyczących prognozowania szeregu podwójnych różnic współrzędnych X jak i Y; • W większości przypadków błędy prognozy narastają w sposób paraboliczny bądź liniowy; • Największe błędy dotyczą tych sytuacji, w których pojazd w niespodziewany sposób zmienił sposób poruszania się; • Bardzo istotnym czynnikiem wpływającym na pogorszenie się wyników obliczeń jest niejednostajna prędkość (lub zmienne przyspieszenie) poruszającego się obiektu (różne przyrosty współrzędnych X i Y w zależności od prędkości); • Połączenie metody z innymi naziemnymi sposobami wyznaczania pozycji (n.p. inercjalne); • Interpolacja poprzez dwustronną prognozę daje bardzo dobre wyniki, choć też zależą one od kształtu danego fragmentu.

Dziękuję za uwagę

„Analiza algorytmu autoregresji w prognozowaniu toru obiektów ruchomych”