1 / 54

ELEMENTÁRNÍ FUNKCE

ELEMENTÁRNÍ FUNKCE. Mgr. Vladimír Wasyliw - s využitím práce Mgr. Petra Šímy – SŠS Jihlava. Elementární funkce. Obsah:. 1. Lineární a konstantní funkce. 2. Kvadratická funkce. 3. Mocninná funkce. 4. Lineární lomená funkce. 5. Exponenciální funkce. 6. Logaritmická funkce. Ű.

minda
Download Presentation

ELEMENTÁRNÍ FUNKCE

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE Mgr. Vladimír Wasyliw - s využitím práce Mgr. Petra Šímy – SŠS Jihlava

  2. Elementární funkce Obsah: 1. Lineární a konstantní funkce 2. Kvadratická funkce 3. Mocninná funkce 4. Lineární lomená funkce 5. Exponenciální funkce 6. Logaritmická funkce

  3. Ű Zpět na obsah Lineární a konstantní funkce Lineární funkcí nazýváme každou funkci f: y = ax+b , a,b R, D(f)max = R. Př.: f1: y = 2x - 3 , f2: y = - 0,5x +1 , f3: y = x , f4: y = 10x apod. Grafem každé lineární je přímka. (pro D(f) R je grafem část přímky) U Graf lineární funkce je určen dvěma libovolnými různými body (pro dvě různá x D(f) určíme f(x)). y = ax + b f(x2) x1 x2 f(x1)

  4. Ű Zpět na obsah Lineární a konstantní funkce Vlastnosti lineární funkce: 1) Je-li a = 0, stává se lineární funkce f: y = ax + b funkcí konstantní f: y = b. Grafem konstatní funkce je přímka (nebo její část), která je rovnoběžná se souřadnicovou osou x a procházející bodem [0; b]. D(f)= R *) H(f) = {b} je omezená není prostá v každém x D(f) je maximum i minimum je sudá y = b b *) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R, pro D(f) R se mohou změnit

  5. Ű Zpět na obsah Lineární a konstantní funkce Vlastnosti lineární funkce: 2) Je-li b = 0 , a ą 0, jde o tzv. přímou úměrnost f: y = ax. Grafem přímé úměrnosti je přímka (nebo její část) různoběžná se souřadnicovými osami a procházející bodem [0;0]. D(f)= R *) H(f) = R není omezená shora není omezená zdola pro a > 0 je rostoucí pro a < 0 je klesající je prostá nemá maximum nemá minimum je lichá y = ax , a > 0 y = ax , a < 0 *) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R, pro D(f) R se mohou změnit

  6. Ű Zpět na obsah Lineární a konstantní funkce Vlastnosti lineární funkce: 3a) Pro a > 0, b ą 0 , má funkce f: y = ax + b tyto vlastnosti: D(f)= R *) H(f) = R je rostoucí není omezená shora není omezená zdola je prostá nemá maximum nemá minimum y = ax + b a > 0 [0;b] [-b/a;0] *) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R, pro D(f) R se mohou změnit U

  7. Ű Zpět na obsah Lineární a konstantní funkce Vlastnosti lineární funkce: 3b) Pro a < 0, b ą 0 , má funkce f: y = ax + b tyto vlastnosti: D(f)= R H(f) = R je klesající není omezená shora není omezená zdola je prostá nemá maximum nemá minimum *) y = ax + b a < 0 [0;b] [-b/a;0] *) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R, pro D(f) R se mohou změnit

  8. Ű Zpět na obsah Kvadratická funkce Kvadratickou funkcí nazýváme každou funkci f: y = ax2+ bx + c , a, b, c R, a ą 0, D(f)max = R. Grafem každé kvadratické funkce je křivka zvaná parabola , která je osově souměrná podle osy rovnoběžné se souřadnicovou osou y. Průsečík osy paraboly a paraboly se nazývá vrchol paraboly (většinou označen V). (pro D(f) R je grafem část paraboly) U kvadratický člen absolutní člen Př.: f1: y = 2x2 - 3x + 5 f2: y = x2 +1 f3: y = -4x2+x f4: y = 3x2 apod. f: y = ax2 + bx + c lineární člen kvadratický trojčlen ax2 + bx + c

  9. Ű Zpět na obsah Kvadratická funkce Vlastnosti kvadratické funkce: 1) Je-li b = c = 0 , jde o tzv. ryze kvadratickou funkci f: y = ax2. Grafem každé ryze kvadratické funkce je parabola s osou totožnou se souřadnicovou osou y a s vrcholem v bodě [0;0]. 1a)Pro a > 0 : D(f)= R *) H(f) =  0; +Ą) je omezená zdola není omezená shora je klesající na (-Ą; 0  je rostoucí na  0; +Ą) není prostá má ostré abs. minimum v xm = 0 nemá maximum je sudá y = ax2 , a > 0 V=[0;0] *) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R, pro D(f) R se mohou změnit U

  10. Ű Zpět na obsah Kvadratická funkce Vlastnosti kvadratické funkce: 1) Je-li b = c = 0 , jde o tzv. ryze kvadratickou funkci f: y = ax2. Grafemem každé ryze kvadratické funkce je parabola s osou totožnou se souřadnicovou osou y a s vrcholem v bodě [0;0]. 1b)Pro a < 0 : D(f)= R *) H(f) = (-Ą ; 0  je omezená shora není omezená zdola je rostoucí na (-Ą; 0  je klesající na  0; +Ą) není prostá má ostré abs. maximum v xM = 0 nemá minimum je sudá V=[0;0] y = ax2 , a < 0 *) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R, pro D(f) R se mohou změnit U

  11. Ű Zpět na obsah Kvadratická funkce Tvar paraboly - grafu ryze kvadratické funkce y = ax2ovlivňuje hodnota koeficientu a . Nejjednodušší kvadratickou funkcí (tzv. základní kvadratickou funkcí) je funkce : y = 1.x2 = x2 (tj. a = 1, b = c = 0). Grafy ostatních ryze kvadratických funkcí y = ax2 jsou v porovnání s ní a) užší . . . pro |a| > 1 b) širší . . . pro 0 < |a| < 1 y = ax2 y = ax2 a = 1 a = -1 a = 2 a = -2 a = 3 a = -3

  12. Ű Zpět na obsah Kvadratická funkce Graf funkce y = ax2+ k vznikne posunutím grafu funkce y = ax2ve směru osy y o k jednotek (pro k > 0 nahoru, pro k < 0 dolů). Vrchol paraboly je bod V = [ 0 ; k ]. y = ax2+ k a > 0, k > 0 a < 0, k < 0 y = ax2+ 2 y = ax2 + 1 y = ax2 y = ax2 - 1 y = ax2 y = ax2 - 3 vrchol V = [ 0 ; k ]

  13. Ű Zpět na obsah Kvadratická funkce Graf funkce y = a(x-m)2 vznikne posunutím grafu funkce y = ax2ve směru osy x o m jednotek (pro m > 0 doprava, pro m < 0 doleva). Vrchol paraboly je bod V = [ m ; 0 ]. y = a(x-m)2 a > 0, m < 0 a < 0, m > 0 y = ax2 y = a(x-1)2 y = a(x+1)2 y = ax2 y = a(x-3)2 y = a(x+3)2 vrchol V = [ m ; 0 ]

  14. Ű Zpět na obsah Kvadratická funkce Graf funkce y = a(x-m)2+ k vznikne posunutím grafu funkce y = ax2ve směru osy x o m jednotek (pro m > 0 doprava, pro m < 0 doleva) a ve směru osy y o k jednotek (pro k > 0 nahoru, pro k < 0 dolů). Vrchol paraboly je bod V = [ m ; k ]. y = a(x-m)2+ k a > 0, m < 0, k > 0 y = a(x+1)2 + 2 y = ax2 vrchol V = [ m ; k ]

  15. Ű Zpět na obsah Kvadratická funkce Vlastnosti kvadratické funkce: 2) Graf každé kvadratické funkce f: y = ax2+ bx + c lze získat posunutím grafu ryze kvadratické funkce y =ax2. Vrchol paraboly, která je grafem kvadratické funkce f: y = ax2+ bx + c , je bod V = [xV;yV], kde Funkční předpis každé kvadratické funkce (kvadratický trojčlen) lze upravit na tvar . Hodnota m určuje posun grafu funkce y = ax2 ve směru osy x, hodnota k posun ve směru osy y. -m k

  16. Ű Zpět na obsah Kvadratická funkce Vlastnosti kvadratické funkce - příklad: y = x2 - 2x - 3 y = x2 V = [ 1; -4 ] y = x2- 2x - 3 = (x-1)2- 4 V = [ 0; 0 ] V = [ 1; -4 ]

  17. Ű Zpět na obsah Kvadratická funkce Vlastnosti kvadratické funkce f: y = ax2 + bx + c : y Pro a > 0 : D(f)= R *) H(f) = ; +Ą) je omezená zdola není omezená shora je rostoucí na ; +Ą) je klesající na (-Ą;  není prostá má ostré abs. minimum v xm = nemá maximum x 0 V *) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R, pro D(f) R se mohou změnit U

  18. Ű Zpět na obsah Kvadratická funkce Vlastnosti kvadratické funkce f: y = ax2 + bx + c : y V Pro a < 0 : D(f)= R *) H(f) = (- Ą; ´  je omezená shora není omezená zdola je rostoucí na (-Ą; je klesající na; +Ą) není prostá má ostré abs. maximum v xM = nemá minimum x 0 *) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R, pro D(f) R se mohou změnit U

  19. Ű Zpět na obsah Kvadratická funkce Vlastnosti kvadratické funkce f: y = ax2+ bx + c : Při sestrojování grafu kvadratické funkce f: y = ax2+ bx + c nám mohou pomoci další jeho body (pokud existují) - průsečíky se souřadnicovými osami: průsečík s osou y - bod [ 0 ; f(0) ] průsečíky s osou x - body [ x1; 0 ], [ x2 ; 0 ] , kde x1, x2 jsou řešení kvadratické rovnice ax2+ bx + c = 0 y [ 0 ; f(0) ] [ x1; 0 ] [ x2 ; 0 ] x 0

  20. Ű Zpět na obsah Mocninná funkce Mocninnou funkcí s přirozeným exponentemn je každá funkce f: y = xn, n N, D(f)max = R. Grafem této mocninné funkce je pro n = 1 přímka (jde o nejjednodušší lineární funkci y = x), pro n >1 parabola n-tého stupně (pro n = 2 jde o nejjednodušší kvadratickou funkci y = x2). Př.: y = x3 y = x4 y = 2x5 y = -x3+2

  21. Ű Zpět na obsah Mocninná funkce y = x5 Vlastnosti mocninné funkce f: y = xn, n  N : y = x3 a) Pro n liché : D(f)= R *) H(f) = R není omezená shora není omezená zdola je rostoucí je prostá nemá maximum nemá minimum je lichá y = x1 [1;1] [-1;-1] *) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R, pro D(f) R se mohou změnit U

  22. Ű Zpět na obsah Mocninná funkce Vlastnosti mocninné funkce f: y = xn, n  N : b) Pro n sudé : D(f)= R *) H(f) = R je omezená zdola není omezená shora je klesající na (-Ą;0  je rostoucí na  0;+Ą) není prostá má ostré abs. minimum v xm = 0 nemá maximum je sudá y = x6 y = x4 y = x2 [-1; 1] [1;1] [0;0] *) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R, pro D(f) R se mohou změnit U

  23. Ű Zpět na obsah Mocninná funkce Mocninnou funkcí se záporným celočíselným exponentemn je každá funkce f: y= xn , n Z-, D(f)max = R - {0}. Grafem této mocninné funkce je hyperbola s asymptotami splývajícími se souřadnicovými osamu x, y. Př.: y = x-1 y = x-2 y = 4x-3

  24. Ű Zpět na obsah Mocninná funkce Vlastnosti mocninné funkce f: y = xn, n  Z- y = x-3 a )Pro n liché : D(f)= R- {0} *) H(f) = R - {0} není omezená shora není omezená zdola je klesající v (-Ą; 0) U (0;+Ą) je prostá nemá maximum nemá minimum je lichá y = x-5 [1;1] y = x-1 [0;0] [-1; -1] *) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R-{0}, pro D(f) R-{0} se mohou změnit U

  25. Ű Zpět na obsah Mocninná funkce Vlastnosti mocninné funkce f: y = xn, n  Z- y = x-4 b )Pro n sudé : D(f)= R- {0} *) H(f) = R - {0} není omezená zdola není omezená shora je rostoucí v (-Ą; 0) je klesající v (0;+Ą) není prostá nemá maximum nemá minimum je sudá y = x-6 [-1; 1] [1;1] y = x-2 [0;0] *) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R-{0}, pro D(f) R-{0} se mohou změnit U

  26. Ű Zpět na obsah Mocninná funkce Speciálním případem mocninné funkce se záporným celým exponentem je funkce nepřímá úměrnost, tj. funkce f: y = , D(f)max = R- {0}, k R, k ą 0. k x Grafem nepřímé úměrnosti je rovnoosá hyperbola (souměrná posle os kvadrantů a podle počátku k.s.s.) s asymptotami v osách x, y. Pro k > 0: D(f)= R- {0} *) H(f) = R - {0} není omezená shora není omezená zdola je klesající v (-Ą; 0) U (0;+Ą) je prostá nemá maximum nemá minimum je lichá 1,5 y = x [1;k] [k;1] [0;0] [-k; -1] [-1; -k] *) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R-{0}, pro D(f) R-{0} se mohou změnit U

  27. Ű Zpět na obsah Mocninná funkce • Pro posuny a změny tvaru mocninných funkcí platí stejná pravidla • jako pro funkci kvadratickou. Graf funkce y = a(x-m)n+ k vznikne • posunutím grafu funkce y = axnve směru osy x o m jednotek (pro • m > 0 doprava, pro m < 0 doleva) a ve směru osy y o k jednotek • (pro k > 0 nahoru, pro k < 0 dolů). Střed popř. vrchol křivky je • bod V = [ m ; k ]. y´ 2 + 1 (x-3)2 2 x2 x´

  28. Ű Zpět na obsah Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce f: y = ax , a (0; +Ą),a ą 1, D(f)max = R. ( pro a = 1 by šlo o funkci konstatní y = 1x = 1 ): Př.: y = 2x , y =( )x , y = 10x 1 3 Speciální případy: dekadická exponenciální funkce - exponenciální funkce se základem a = 10 , tj. funkce f: y = 10x přirozená exponenciální funkce - exponenciální funkce se základem a = e , tj. funkce f: y = ex e - Eulerovo číslo , e = 2,718 Grafem exponenciální funkce je křivka nazývaná exponenciální křivka (nebo exponenciála), která prochází body [0;1], [1;a] , [-1; ] a která se asymptoticky blíží k ose x. 1 a

  29. Ű Zpět na obsah Exponenciální funkce Vlastnosti exponenciální funkce f: y = ax , a (0; +Ą),a ą 1: Pro 0 < a < 1 : D(f)= R *) H(f) = (0; +Ą) je omezená zdola není omezená shora je klesající je prostá nemá maximum nemá minimum y = ax 0 < a < 1 1 [-1; ] a [1;a] *) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R, pro D(f) R se mohou změnit

  30. Ű Zpět na obsah Exponenciální funkce Vlastnosti exponenciální funkce f: y = ax , a (0; +Ą),a ą 1: Pro a > 1 : D(f)= R *) H(f) = (0; +Ą) je omezená zdola není omezená shora je rostoucí je prostá nemá maximum nemá minimum y = ax a > 1 [1;a] 1 [-1; ] a *) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R, pro D(f) R se mohou změnit U

  31. Ű Zpět na obsah Exponenciální funkce Vlastnosti exponenciální funkce f: y = ax , a R+,a ą 1: Graf funkce y = ax se pro a >1 s rostoucím (resp. pro a < 0 < 1 s klesajícím) a stává "strmějším". Graf funkce f: y = ax-m+ k je posunutým grafem funkce f: y = ax. y = 0,33x y = 0,25x y = 4x y = 3x y = 2x y = 2x y = 0,5x y = 2x+1 - 3

  32. Ű Zpět na obsah Logaritmická funkce Logaritmická funkce se základem a je funkce f: y = log a x , a (0; +Ą),a ą 1, D(f)max = (0; +Ą). Logaritmická funkce se základem a je tzv. inverzní funkce k funkci exponenciální se základem a. Pro každé x (0;+Ą), y R, a (0; +Ą), a ą 1 platí:log a x = yay = x. Grafem logaritmické funkce je křivka zvaná logaritmická křivka, která je osově symetrická podle osy I. a III. kvadrantu souř.soustavy s exponenciální křivkou se stejným základem a asymptoticky se blíží k souřadnicové ose y. Každá logaritmická křivka prochází body [1;0], [a;1] , [ ;-1]. 1 a Speciální případy: dekadická logaritmická funkce - logaritmická funkce se základem a = 10, tj. funkce f: y = log10x = log x přirozená logaritmická funkce - logaritmická funkce se základem a = e , tj. funkce f: y = ln x (e - Eulerovo číslo , e = 2,718)

  33. Ű Zpět na obsah Logaritmická funkce Vlastnosti logaritmické funkce f: y = loga x , a (0; +Ą),a ą 1 : Pro a > 1 : D(f)= (0; +Ą) *) H(f) = R není omezená zdola není omezená shora je rostoucí je prostá nemá maximum nemá minimum y = logax a > 1 [a;1] [1;0] 1 [ ;-1 ] a *) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = (0;+Ą), pro D(f) (0;+Ą) se mohou změnit U

  34. Ű Zpět na obsah Logaritmická funkce Vlastnosti logaritmické funkce f: y = loga x , a (0; +Ą),a ą 1 : Pro 0 < a < 1 : D(f)= (0; +Ą) *) H(f) = R není omezená zdola není omezená shora je klesající je prostá nemá maximum nemá minimum y = logax 0 < a < 1 [ a ; 1 ] [1;0] 1 [ ;-1] a *) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = (0;+Ą), pro D(f) (0;+Ą) se mohou změnit U

  35. Ű Zpět na obsah Logaritmická funkce Vlastnosti logaritmické funkce f: y = loga x , a (0; +Ą),a ą 1 : Graf funkce y = log ax se při a >1 s rostoucím (resp. pro a < 0 < 1 s klesajícím) a stává "pozvolnějším". Graf funkce f: y = log a(x-m) + k je posunutým grafem funkce f: y = log a x. y = log2x y = log3x y = log2(x-1)+2 y = log4x y = log2x y = log0,25x y = log1/3x y = log0,5x

  36. Ű Zpět na obsah Goniometrické funkce Zobrazení množiny R do jednotkové kružnice Každému reálnému číslux lze přiřadit na jednotkové kružnici právě jeden bod K = [ xK ; yK ] tak, že délka oblouku JK je rovna x. (délka oblouku je měřena po jednotkové kružnici proti směru hodinových ručiček pro x > 0, po směru pro x < 0; měří se ve stejných jednotkách jaké jsou v k.s.s., J = [1;0]) y y |JK| = x 1 1 x K yK x K yK J J x x -1 xK 0 -1 0 1 1 xK -1 -1 Každému reálnému číslu x lze tedy takto jednoznačně přiřadit dvě reálná čísla xK ( x-ová souřadnice bodu K ) a yK (y-ová souřadnice bodu K).

  37. Ű Zpět na obsah Goniometrické funkce Každý bod K jednotkové kružnice je obrazem nekonečně mnoha reálných čísel v uvedeném zobrazení. Jejich velikost se liší o násobek hodnoty 2p (délka jednostkové kružnice). Jestliže x = x0 + k.2p , kde k Z , x0 0; 2p) , je číslům x i x0 přiřazen stejný bod K na jednotkové kružnici. y y 1 1 K K yK yK x = x0 + 1.2p x0 J J x x -1 0 xK 1 -1 xK 0 1 -1 -1

  38. Ű Zpět na obsah Goniometrické funkce Funkcí sinus nazýváme funkci, která každému reálnému číslux přiřazuje číslo yK(y-ová souřadnice bodu K). y y 1 1 x K yK x sin x J J x x -1 0 -1 1 0 1 sin x yK K -1 -1 x K yK = sin x sinus_4.fig přechod do programu Cabri Geometry II Plus Ü

  39. Ű Zpět na obsah Goniometrické funkce Funkcí kosinus nazýváme funkci, která každému reálnému číslux přiřazuje číslo xK(x-ová souřadnice bodu K). y y 1 1 x K x cos x xK J J x x -1 0 -1 1 0 xK cos x 1 K -1 -1 x K xK = cos x

  40. Ű Zpět na obsah Goniometrické funkce Velikost oblouku JK může vyjadřovat velikost úhlu J0K v obloukové míře - |JK| = | J0K | = x rad. Funkce sinus a kosinus lze tedy definovat i pro každý úhel (libovolný úhel aumístit v k.s.s. tak, aby bod 0 byl jeho vrcholem a polopřímky 0J a 0K jeho ramena, a > 0 proti směru, a > 0 po směru hodinových ručiček) y y a ş J0K 1 x |a| = | J0K| = x rad 1 K yK x a sin a = sin x cos a = cos x J a J x -1 0 1 sin a = sin x x -1 0 1 cos a = cos x yK K -1 -1 a K yK = sin a = sin x a K xK = cos a = cos x

  41. Ű Zpět na obsah Goniometrické funkce Vlastnosti funkce f: y = sin x: D(f)= R *) H(f) = -1;1 je omezená zdola je omezená shora je klesající pro x + 2kp; + 2kp je rostoucí pro x + 2kp;+ 2kp je lichá není prostá má minimum v xm = + 2kp má maximum v xM = + 2kp je periodická s periodou 2p } je omezená p 3 p 2 2 p p 2 2 3 p 2 p 2 p p 3 -2p 3 p ( k Z ) -p p p 2p 2 2 2 2 *) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R, pro D(f) R se mohou změnit. Protože jde o funkci periodickou s periodou p = 2p, často se její graf studuje pouze na tzv. první periodě, tj. na intervalu 0; 2p ) . U

  42. Ű Zpět na obsah Goniometrické funkce Vlastnosti funkce f: y = cos x: D(f)= R *) H(f) = -1;1 je omezená zdola je omezená shora je klesající pro x 0+ 2kp; p+ 2kp je rostoucí pro x p+ 2kp; 2p+ 2kp je sudá není prostá má minimum v xm = p+ 2kp má maximum v xM = 2kp je periodická s periodou 2p } je omezená p 3 p -2p ( k Z ) 3 p -p p 2p p 2 2 2 2 *) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R, pro D(f) R se mohou změnit. Protože jde o funkci periodickou s periodou p = 2p, často se její graf studuje pouze na tzv. první periodě, tj. na intervalu 0; 2p ) . U

  43. Ű Zpět na obsah Goniometrické funkce Význačné hodnoty goniometrických funkcísin x a cos y pro x 0;2p p p p p 2 3 3 5 11 7 7 5 5 4 p p p p p p p p p p p 2p 0 X 2 3 3 6 4 3 4 6 2 4 6 6 4 3 30 135 240 315 330 360 0 45 120 150 180 210 225 270 300 60 90 X (°) 1 1 1 1 3 2 2 3 2 2 3 3 0 1 0 1 0 sin x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 3 3 2 2 3 3 cos x 1 1 0 1 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

  44. Ű Zpět na obsah Goniometrické funkce y = cos x , D(f) = 0; 2p) y = sin x , D(f) = 0; 2p) p p 3 3 p ( ; ) ( ; ) p ( ; ) (0; ) p p 2p x 2 2 2 2 - - + + sin x - - + + cos x y = cos x p 3 p 2p p 2 2 y = sin x p p 3 3 p ( ; ) ( ; ) p ( ; ) (0; ) p p 2p x 2 2 2 2 rost. rost. kles. kles. sin x cos x kles. kles. rost. rost.

  45. Ű Zpět na obsah Goniometrické funkce Vlastnosti goniometrických funkcí sinus a kosinus: Pro posuny a změny tvaru grafů funkcí sinus a kosinus platí stejná pravidla jako pro jiné funkce. y = a.sin x ( resp.y = a.cos x ) y = sin x y = 2.sin x y = 0,5.sin x

  46. Ű Zpět na obsah Goniometrické funkce Vlastnosti goniometrických funkcí sinus a kosinus: Pro posuny a změny tvaru grafů funkcí sinus a kosinus platí stejná pravidla jako pro jiné funkce. y = sin x + n (resp. y = cos x + n) y = sin x y = sin x + 1 y = sin x - 2

  47. Ű Zpět na obsah Goniometrické funkce Vlastnosti goniometrických funkcí sinus a kosinus: Pro posuny a změny tvaru grafů funkcí sinus a kosinus platí stejná pravidla jako pro jiné funkce. y = sin(x - m) (resp. y = cos(x - m) ) y = sin x p p y = sin( x - ) 3 3 y = cos x p p y = cos( x+ ) 4 4

  48. Ű Zpět na obsah Goniometrické funkce Vlastnosti goniometrických funkcí sinus a kosinus: Pro posuny a změny tvaru grafů funkcí sinus a kosinus platí stejná pravidla jako pro jiné funkce. y = sin(k.x) (resp. y = cos(k.x) ) , k ą 0 y = sin x y = sin(2x) Perioda funkce y = sin(kx) resp. y = cos(kx) je 2p p = k y = cos x 1 y = cos( x) 2

  49. Ű Zpět na obsah Goniometrické funkce sin x Funkce tangens se nazývá funkce daná rovnicí y = cos x p p D(f) = R - U{(2k+1). } sin x , x ą (2k+1). tj. Je tedy f: tg x = 2 2 cos x k Z Funkci tangens lze také definovat pomocí jednotkové kružnice a její tečny bodem J = [1;0]: t y 1 K´ K tg x x J x -1 xK 0 1 p D(f) = R - U{(2k+1). } 2 k Z -1

  50. Ű Zpět na obsah Goniometrické funkce cos x Funkce kotangens se nazývá funkce daná rovnicí y = sin x p cos x p , x ą 2k. D(f) = R - U{2k. } tj. Je tedy f: cotg x = 2 sin x 2 k Z Funkci tangens lze také definovat pomocí jednotkové kružnice a její tečny bodem L = [0;1]: y L K´ cotg x 1 t K x J x -1 xK 0 1 -1

More Related