7. gyakorlat

1. Az informatika logikai alapjai INCK401Előadó: Dr. Mihálydeák Tamás Sándor Gyakorlatvezető: Kovács Zita 2013/2014. I. félév 7. gyakorlat

2. Formulák átalakításai • zárójelelhagyási konvenciók • normálformára hozások

3. Zárójelelhagyási konvenciók A konvenciók célja az egyértelmű olvashatóság fenntartása mellett a formulákban előforduló zárójelek számának a csökkentése. • A létrejött jelsorozatok betű szerint nem formulák, de egyértelműen előállítható belőlük egy formula. • Az egyszerűség kedvéért az így létrejött jelsorozatokat is formuláknak nevezzük, s használatukkor mindig a belőlük egyértelműen előállítható formulákra gondolunk.

4. Zárójelelhagyási konvenciók • A legkülső zárójelpár mindig elhagyható. • A kétargumentumú logikai konstansok elsőbbségi (precedencia) sorrendje: ∧,∨,⊃,≡ • A negáció erősebb bármely kétargumentumú logikai konstansnál. • Az azonos kétargumentumú logikai konstansok egymás közötti elsőbbségét a balról jobbra szabály rendezi: először mindig a bal oldali formulát tekintjük külön műveleti komponensnek.

5. Megjegyzések • Az utolsó szabály a következőképpen is megfogalmazható: azonos kétargumentumú logikai konstansok esetén balról az első a formula fő műveleti jele. • Az utolsó szabálynak csak az implikációnál van valódi jelentősége: • az A⊃B⊃C 'formula' egyértelműen zárójelezett alakja: (A⊃(B⊃C)); • A konjunkció, adiszjunkció és a (materiális) ekvivalencia esetében a műveltek asszociativitása miatt a szabályt nem követő zárójelezések is logikailag ekvivalens formulát eredményeznek. Pl.: az A∧B∧C 'formula' egyértelműen zárójelezett alakja: (A∧(B∧C)), de ez logikailag ekvivalens az ((A∧B)∧C) formulával.

6. Normálformák • literál • elemi konjunkció • elemi diszjunkció • diszjunktív normálforma • konjunktív normálforma • normálforma tétel

7. Példa • Hagyjuk el az alábbi nulladrendű formulából a felesleges zárójeleket! • ((s ∧ p) ∨ ((¬p ∧ s) ≡ t)) Megoldás: - a legkülső zárójelpár mindig elhagyható: (s ∧ p) ∨ ((¬p ∧ s) ≡ t) - a belső zárójeleket figyelembe véve az erősebb művelet (∧) van zárójelezve, ezért elhagyható a hozzá tartozó zárójelpár: (s ∧ p) ∨ (¬p ∧ s ≡ t) - az első zárójelpár elhagyható, mert a konjukció erősebb, mint a diszjunkció: s ∧ p ∨ (¬p ∧ s ≡ t) - az utolsó zárójel nem hagyható el, mert ez az ekvivalencia zárójele, amely a leggyengébb, s így gyengébb, mint a diszjunkció

8. Példa • Az alábbiak közül, melyik a p ∧ q ∨ r ∧ ¬p ⊃ s formula teljesen zárójelezett alakja? • (p ∧ (q ∨ r) ∧ ¬p ⊃ s) • ((p ∧ q) ∨ (r ∧ (¬p ⊃ s))) • (p ∧ ((q ∨ r) ∧ ¬(p ⊃ s))) • (((p ∧ q) ∨ (r ∧ ¬p)) ⊃ s) • Amelyik nem az, az miért nem az?

9. Literál Legyen L(0)=〈LC, Con, Form〉 egy nulladrendű nyelv. • Ha p∈Con, akkor a p,¬p formulákat literálnak nevezzük. • A p,¬p literálok esetén a p paramétert a literálalapjának nevezzük. • Példák: • A, ¬A, B, ¬B, ….

10. Elemi konjunkció Legyen L(0)=〈LC, Con, Form〉 egy nulladrendű nyelv. Ha az A∈Form formula literál vagy különböző alapú literálok konjunkciója, akkor A-t elemi konjunkciónaknevezzük. • Példák: • A, ¬A, B, ¬B, … • (A∧B), (¬A∧B), (¬A∧¬B),… • ((A∧B)∧¬A),…

11. Diszjunktív normálforma Egy elemi konjunkciót vagy elemi konjunkciókdiszjunkciójátdiszjunktív normálformának nevezzük. • Példák: • (¬A∧B), ¬A, (A∧B),... • (A∨(B∨C)),… • ((¬A∨B)∨¬A), ((¬A∨B)∨A), ((A∨B)∨¬A),…

12. DNF – KDNF (kitüntetett) • átalakítással • igazságtáblával – (kitüntetett DNF) • elkészítjük a formula igazságtábláját • kiválasztjuk azokat az interpretációkat, amelyek szerint a formula igaz • minden ilyen sorhoz készítünk egy olyan elemikonjunkciót, amely • tartalmazza a formulában előforduló atomi formulákat • igaz az adott interpretáció szerint • az elemi konjunkciókatdiszjunkciózzuk

13. Elemi diszjunkció Legyen L(0)=〈LC, Con, Form〉 egy nulladrendű nyelv. Ha az A∈Form formula literál vagy különböző alapú literálok diszjunkciója, akkor A-t elemi diszjunkciónaknevezzük. • Példák: • A, ¬A, B, ¬B, … • (A∨B), (¬A∨B), (¬A∨¬B),… • ((A∧B)∨¬A),…

14. Konjunktív normálforma Egy elemi diszjunkciót vagy elemi diszjunkciókkonjunkciójátkonjunktív normálformának nevezzük. • Példák: • (¬A∨B), ¬A, (A∨B),… • (A∧(B∧C)),… • ((¬A∨B)∧¬A), ((¬A∨B)∧A), ((A∨B)∧¬A),…

15. KNF – KKNF (kitüntetett) • átalakítással • igazságtáblával – (kitüntetett DNF) • elkészítjük a formula igazságtábláját • kiválasztjuk azokat az interpretációkat, amelyek szerint a formula hamis • minden ilyen sorhoz készítünk egy olyan elemidiszjunkciót, amely • tartalmazza a formulában előforduló atomi formulákat • hamis az adott interpretáció szerint • az elemi diszjunkciókatkonjunkciózzuk

16. Segédletek logikából • Dr. Mihálydeák Tamás: • http://www.inf.unideb.hu/~mihalydeak/Logika_html_2011_11_15.zip • http://www.inf.unideb.hu/~mihalydeak/Logika_my_twt-treeview.html • http://www.inf.unideb.hu/~mihalydeak/Inf_log_ea_06_07_1.pdf • Dr. Várterész Magda: • http://www.inf.unideb.hu/~varteres/logika/Logikafo.pdf • http://www.inf.unideb.hu/~varteres/logika_peldatar/matlog.pdf • http://www.inf.unideb.hu/~varteres/logika_peldatar/megoldas.pdf • Lengyel Zoltán: • http://www.inf.unideb.hu/~lengyelz/docs/logika.pdf