Vitalii Dugaev Katedra Fiz yki Politechnika Rzeszowska

1. FIZYKA CIAŁA STAŁEGO Vitalii Dugaev Katedra Fizyki Politechnika Rzeszowska Semestr letni, rok 2013/2014

2. DIAMAGNETYZM I PARAMAGNETYZM • Namagnesowanie M zdefiniowane jest jako moment magnetyczny • przypadający na jednostkę objętości • Podatność magnetyczną przypadającą na jednostkę objętości definiuje • się jako • gdzie H jest makroskopowym natężeniem pola magnetycznego • Substancje o ujemnej podatności magnetycznej zwane są • diamagnetykami • Substancje o dodatniej podatności magnetycznej zwane są • paramagnetykami • Uporządkowany układ momentów magnetycznych może być • ferromagnetyczny, ferrimagnetyczny, antyferromagnetyczny, śrubowy • (helikoidalny) lub o bardziej złożonej postaci • Z jądrowymi momentami magnetycznymi związany jest paramagnetyzm • jądrowy (około 10-3 razy mniejszy od momentu magnetycznego elektronu) Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 1

3. paramagnetyzm Langevina (swobodne spiny) podatność magnetyczna paramagnetyzm van Vlecka paramagnetyzm Pauliego diamagnetyzm Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 2

4. Równanie diamagnetyzmu Langevina • Twierdzenie Larmora: w polu magnetycznym ruch elektronu dookoła • centralnego jądra jest – w pierwszym przybliżeniu po H – taki sam, jak • ruch bez pola H, z tym wyjątkiem, że nakłada się nań precesja o • częstości kątowej • Precesja Larmora rozkładu elektronów jest równoważna prądowi • elektrycznemu • Moment magnetyczny μ pętli prądu równy jest iloczynowi natężenia prądu • i powierzchni pętli πρ2 (pętla o promieniu ρ) • gdzie <ρ2> = <x2>+<y2> jest średnią kwadratu odległości elektronu od • osi pola, liczonej prostopadle do tej osi Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 3

5. Średni kwadrat odległości elektronu od jądra wynosi • <ρ2> = <x2>+<y2>+<z2>. • Dla rozkładu ładunku o symetrii kulistej <x2> = <y2>=<z2>, tak więc • Podatność magnetyczna na jednostkę objętości, jeżeli N jest liczbą • atomów przypadającą na jednostkę objętości, wynosi podatność diamagnetyczna Langevina Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 4

6. Diamagnetyzm cząsteczek • Kierunek pola magnetycznego może nie być osia symetrii układu • W większości układów cząsteczkowych ten warunek nie jest • spełniony • W przypadku cząsteczki wieloatomowej o kwantowej liczbie spinowej • równej zeru mamy wyrażenie na całkowitą podatność molową • gdzie N0 jest liczbą Avogadro, <s|μz|0> - elementem macierzowym • składowej z orbitalnego momentu magnetycznego wiążącego stan • podstawowy 0 ze stanem wzbudzonym s, zaś Es – E0 jest odstępem • energii między tymi dwoma stanami • Materiał jest bądź diamagnetykiem, bądź paramagnetykiem w • zależności od tego, czy pierwszy czy ten drugi wyraz jest większy • Drugi wyraz przedstawia tzw. paramagnetyzm van Vlecka Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 5

7. Paramagnetyzm Paramagnetyzm elektronowy (dodatni przyczynek do χ) występuje w: - atomach, cząsteczkach i defektach sieciowych mających nieparzystą liczbę elektronów, bo wówczas spin całkowity układu nie jest równy zeru - swobodnych atomach i jonach z częściowo wypełnioną powłoką wewnętrzną: pierwiastki grupy przejściowej, jony izoelektronowe z pierwiastkami grupy przejściowej, pierwiastki ziem rzadkich i aktynowce - w kilku związkach o parzystej liczbie elektronów, wliczając tu cząsteczkowy tlen i podwójne rodniki organiczne - metalach Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 6

8. Równanie paramagnetyzmu Langevina i prawo Curie • Rozpatrujemy ośrodek zawierający N atomów na jednostkę objętości, z • których każdy ma moment magnetyczny μ • Namagnesowanie ośrodka jest wynikiem orientacji momentów • magnetycznych • Drgania cieplne przeciwdziałają działaniu pola porządkującemu momenty • magnetyczne • Energia oddziaływania z przyłożonym polem magnetycznym H • Namagnesowanie jest określone przy pomocy równania Langevina • gdzie x = μH/kBT, a funkcja Langevina L(x) ma postać Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 7

9. Dla x << 1 mamy L(x) ≈ x/3, tak więc namagnesowanie wynosi • Podatność magnetyczna w granicy μH/kBT << 1 wynosi • – prawo Curie • gdzie stała Curie C = Nμ2/3kB. • W temperaturach niskich obserwuje się efekty nasycenia Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 8

10. moment magnetyczny, magneton Bohra/jon funkcja Brillouina H/T, 10-3 Gs/K Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 9

11. Kwantowa teoria paramagnetyzmu Moment magnetyczny atomu lub jonu gdzie całkowity moment pędu jest sumą orbitalnego i spinowego momentu pędu. Stała jest stosunkiem momentu magnetycznego do momentu pędu; została nazwana stosunkiem magnetomechanicznym lub stosunkiem giromagnetycznym Wielkość g zdefiniowana przez zwana jest czynnikiem g lub czynnikiem spektroskopowym rozpraszania lub czynnikiem Landégo Dla spinu elektronu g = 2,0023, co zwykle przyjmuje się jako 2,0 Dla atomu swobodnego z orbitalnym momentem pędu – równanie Landégo Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 10

12. S = ½ μz = μB 2|μB|H S = –½ μz = –μB • Magneton Bohra μB zdefiniowany jest jako i ma wartość • 0,927∙10-20 erg/Gs • Poziomami energii układu znajdującego się w polu magnetycznym są • gdzie mJjest azymutalną liczbą kwantową i ma wartości J, J–1 ,...,–J • Dla pojedynczego spinu bez momentu orbitalnego mamy mJ = ±1/2 i • g = 2, zatem Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 12

13. Jeżeli układ składa się tylko z dwóch poziomów, to obsadzenie ich • w stanie równowagi • gdzie N1 i N2 są obsadzeniami poziomów dolnych i górnych, a N = N1+N2 • jest całkowitą liczbą atomów • Wypadkowe namagnesowanie na jednostkę objętości • gdzie x = βμH Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 13

14. W przypadku x << 1, tanh x ≈ x i mamy • Podatność magnetyczna w tej granicy • ma postać prawa Curie 1/χ, 105 mol/cm3 Gd(C2H5SO4)3∙9H2O Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 14

15. Atom z liczbą kwantową J, określającą moment pędu, w polu • magnetycznym H ma 2J – 1 równoległych poziomów energii • Namagnesowanie określa wzór • gdzie funkcja BrillouinaBJ(x) zdefiniowana jest następująco • Dla x << 1 mamy • skąd podatność magnetyczna • gdzie jest efektywną liczbą magnetonów Bohra Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 15

16. Podatność paramagnetyczna elektronów przewodnictwa • W temperaturze T << TF koncentracja elektronów o momentach • magnetycznych równoległych i antyrównoległych do pola magnetycznego • H wynosi • Namagnesowanie wypadkowe: • Spinowa podatność Pauliego: Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 16

17. Ruch przestrzenny elektronów jest zaburzony przez pole magnetyczne • Pole magnetyczne modyfikuje funkcje falowe elektronów • Landau wykazał, że w przypadku elektronów swobodnych powoduje • to pojawienie się momentu diamagnetycznego równego –1/3 momentu • paramagnetycznego • Całkowita podatność magnetyczna gazu elektronów swobodnych Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 17

18. FERROMAGNETYZM I ANTYFERROMAGNETYZM • Ferromagnetyk ma spontaniczny moment magnetyczny, tzn. Występuje • w nim moment magnetyczny nawet bez przykładania z zewnątrz pola • magnetycznego • Obecność spontanicznego momentu magnetycznego sugeruje, że spiny • elektronów oraz momenty magnetyczne ustawione są w jakiś regularny • sposób prosty antyferromagnetyk prosty ferromagnetyk ferrimagnetyk deklinacyjny (odchylony) antyferromagnetyk ferromagnetyczne pasmo energii śrubowy układ spinów Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 18

19. Punkt Curie i całka wymiany • Rozpatrzmy paramagnetyk o koncentracji N jonów mających spin S • Wprowadzając wewnętrzne oddziaływanie, które usiłuje ustawić momenty • magnetyczne równoległe do siebie, otrzymujemy ferromagnetyk • Wprowadźmy postulat, że takie oddziaływanie istnieje i nazwijmy je polem • wymiany (zwane również polem Weissa) HE • Zakładamy, że pole HE jest proporcjonalne do namagnesowania M • gdzie λ jest stałą niezależną od temperatury • Każdy spin „widzi” średnie namagnesowanie pochodzące od wszystkich • pozostałych spinów • Temperatura Curie Tcjest temperaturą, powyżej której spontaniczne • namagnesowanie zanika; oddziela ona nieuporządkowaną fazę • paramagnetyczną w T > Tc od uporządkowanej ferromagnetycznej w T < Tc Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 19

20. Jeżeli χ jest podatnością magnetyczną, to Prawo Curie: – prawo Curie-Weissa Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 20

21. Wartość stałej pola Weissa: • W przypadku żelaza Tc≈ 1000 K, g ≈ 2, S ≈ 1, λ ≈ 5000 • Przy Ms≈ 1700 mamy HE≈ 107 Gs • Jon magnetyczny wytwarza pole • około 103 Gs • Pole wymiany w żelazie jest • znacznie silniejsze niż rzeczywiste • pole magnetyczne pochodzące od • innych jonów magnetycznych w • krysztale Ni Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 21

22. Wyrażenie na energię oddziaływania atomów i-tego z j-tym, • obdarzonych spinami Sii Sj: • gdzie J jest całką wymiany, związaną z nakładaniem na siebie funkcji • rozkładów atomów i-tego i j-tego • Energia potrzebna do odwrócenia rozpatrywanego spinu w obecności • wszystkich innych spinów • gdzie jest średnią wartością wektora S w kierunku namagnesowania, • Ω – objętością przypadająca na jeden atom, a z jest liczbą najbliższych • sąsiadów • Średni moment magnetyczny spinu: • Namagnesowanie odpowiadające nasyceniu: – model Heisenberga Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 22

23. Fale spinowe Wzbudzenia elementarne układu spinów mają postać fal i nazywane są falami spinowymi lub – po skwantowaniu – magnonami stan podstawowy ferromagnetyka możliwe wzbudzenie fala spinowa fala spinowa wzdłuż linii spinów Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 23

24. Wzór Heisenberga dla oddziaływania między najbliżej siebie leżacymi • spinami • Wprowadzimy moment magnetyczny w położeniu p i • efektywne pole magnetyczne działające na ten moment • i otrzymujemy • Szybkość zmiany momentu pędu jest równa momentowi skręcającemu, • który działa na spin Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 24

25. Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 13 Strona 25