Vitalii Dugaev Katedra Fiz yki Politechnika Rzeszowska

1. FIZYKA CIAŁA STAŁEGO Vitalii Dugaev Katedra Fizyki Politechnika Rzeszowska Semestr letni, rok 2013/2014

2. Formalizm matematyczny Rozpatrzmy niezaburzony układ jednej cząstki o takim widmie poziomów energii, w którym jeden z poziomów jest R-krotnie zdegenerowany, a jego energia różni się znacznie od energii innych poziomów Rozpatrujemy więc R niezależnych stanów układu φ1, φ2,..., φR, mających tę samą energią. Zero energii możemy tak dobrać, ażeby H0φ = 0 Poddajemy ten układ słabemu zaburzeniu. Zaburzenie może wywołać rozszczepienie R stanów W pierwszym przybliżeniu nowe stany układu przy zaburzeniu U możemy przedstawić jako liniową kombinację starych stanów Załóżmy, że utworzone w ten sposób funkcje ψ są rozwiązaniami równania Schrödingera w przypadku zaburzonym Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 1

3. Pomnożymy obie strony przez φm* i scałkujemy po objętości R równań mają nietrywialne rozwiązanie wtedy, kiedy znika wyznacznik Szczególny prosty przypadek: załóżmy, że każdy element macierzowy równy jest jedności Wykorzystujemy właściwości wyznacznika: Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 2

4. Rozwiązanie: Udowodnimy, że rzeczywiście jest jeden pierwiastek równy R Utwórzmy symetryczną kombinację wektorów φs dla której energia Pierwiastek ten równy jest całej sumy pierwiastków, a zatem wszystkie inne pierwiastki musza być równe zeru Jeśli potencjał U jest oddziaływaniem przyciągającym i zlokalizowanym, to elementy macierzowe od U są ujemne i prawie równe sobie: Wówczas otrzymamy Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 3

5. Elektrony sparowane i stan nadprzewodzący Przypuśćmy, że mamy układ N swobodnych elektronów, które początkowo ze sobą nawzajem nie oddziaływają Stany Φ układu o N cząstkach mogą być określone przez podanie obsadzenia stanów w układzie jednoelektronowym Załóżmy obecnie, że elektrony oddziaływają ze sobą, przy czym oddziaływania zachodzą między wszystkimi parami elektronów Można znaleźć takie zagadnienie wielu ciał, w którym można przyjąć równe elementy macierzowe: Rozważmy tylko te stany układu, które zajęte są przez pary elektronów: zazwyczaj stosowaną definicją jest Rozpatrywane stany: Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 4

6. Przy rozpatrywaniu pary stanów o tej postaci można przyjąć, że wszystkie elementy macierzowe w oddziaływaniu U są sobie równe Otrzymujemy widmo, w którym pojedynczy poziom podstawowy jest oddzielony od stanów wzbudzonych o przedział energii Eg Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 5

7. prąd napięcie Tunelowanie elektronowe • Rozważmy dwa metale oddzielone od siebie • izolatorem • Izolator działa jak bariera. Jeżeli bariera jest • cienka, istnieje duże prawdopodobieństwo, • że elektron przejdzie przy barierę – nazywa się • to tunelowaniem lub efektem tunelowym • Tunelowy prąd między normalnymi metalami jest • proporcjonalny do przyłożonego napięcia: • gdzie C jest stałą, V – przyłożonym napięciem, a • DA i DBsą gęstościami stanów dla elektronów • przewodnictwa Charakterystyka złącza z normalnych metali przedzielonych warstwą tlenku Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 6

8. prąd napięcie • Giaever odkrył w 1960 roku, że jeżeli jeden metal staje się • nadprzewodniczący, to charakterystyka prądowo-napięcowa zmienia • się od linii prostej do krzywej • W nadprzewodniku występuje przerwa energetyczna, w której środek • stanowi poziom Fermiego • W temperaturze T = 0 prąd elektryczny nie popłynie tak długo, aż • przyłożone napięcie nie będzie równe V = Δ/e • Istnieją także osobliwe zjawiska przy przechodzeniu tunelowym pary • nadprzewodących elektronów, zwanymefektem tunelowym Josephsona prąd energia Fermiego napięcie Charakterystyka dla złącza z jednym metalem normalnym, a drugim nadprzewodzącym Gęstości stanów Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 7

9. Własciwości dielektryczne • PolaryzacjaP zdefiniowana jest jako moment dipolowy przypadający na • jednostkę objętości • Całkowity moment dipolowy układu: • gdzie rn jest wektorem określającym położenie ładunku qn • Pole elektryczne w punkcie r pochodzące od momentu dipolowego p Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 8

10. Lokalne pole elektryczne w pobliżu atomu • Pole elektryczne w pobliżu dowolnego atomu zwane jest polem lokalnym • Elok • Pole lokalne jest sumą pola elektrycznego E0 pochodzącego ze źródeł • zewnętrznych oraz pola dipoli znajdujących się wewnątrz próbki • Pole dipolowe rozkłada się na kilka części: • gdzie • E0 – zewnętrzne pole elektryczne pochodzące ze źródeł zewnętrznych • E1 – pole depolaryzacji wynikające z polaryzacji ładunków na zewnętrznej • powierzchni próbki • E2 – lorentzowskie pole wnęki: pole pochodzące od ładunków • polaryzacyjnych znajdujących się ba wewnętrznej powierzchni wnęki, • wyciętej w próbce tak, że rozpatrywany atom jest środkiem wnęki • E3 – pole pochodzące od atomów znajdujących się wewnątrz wnęki Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 9

11. Pole depolaryzacji E1 • Pole depolaryzacji: • gdzie N zwana jest współczynnikiem depolaryzacji, którego wartość • zależy od stosunku osi elipsoidy Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 10

12. _ + _ + _ + E2 Pole Lorentza E2 Gęstość ładunku powierzchniowego na powierzchni wnęki wynosi Pole elektryczne w środku kulistej wnęki o promieniu a Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 11

13. Pole dipoli znajdujących się wewnątrz wnęki E3 • Pole E3 pochodzące od dipoli znajdujących się wewnątrz wnęki zależy • od struktury krystalicznej • Niech oś dipoli będzie osią z • Pole wytworzone przez dipole pi • Dla otoczenia o symetrię układu regularnego lub kulistego E3 = 0 • Dla otoczenia o symetrii sieci tetragonalnej lub prostej sieci • heksagonalnej E3≠ 0 • Dla struktur układu regularnego: • gdzie E = E0 + E1 jest średnim polem makroskopowym próbki z polem – wzór Lorentza Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 12

14. Stała dielektryczna i polaryzowalność • Natężenie makroskopowego pola elektrycznego E występującego • w równaniach Maxwella zdefiniowane jest jako średnia przestrzenna • pola elektrycznego w materiale, uśredniona po objętości • Przesunięcie elektryczne D zdefiniowane jest jako • Stała dielektrycznaε ośrodka izotropowego lub o symetrii układu • regularnego zdefiniowana jest następująco: • gdzie jest podatnością elektryczną, a E jest makroskopowym • uśrednionym polem elektrycznym • Polaryzowalność α atomu definiuje się następująco: • gdzie p jest momentem dipolowym atomu, a Elok jest lokalnym polem • elektrycznym w miejscu, w którym znajduje się atom Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 13

15. W przypadku cząsteczki anizotropowej polaryzowalność jest tensorem • o składowych zdefiniowanych przez • Polaryzacja jest równa momentu dipolowemu przypadającemu na • jednostkę objętości • gdzie Ni oznacza liczbę atomów o polaryzowalności αi przypadającą • na jednostkę objętości, a Elok(i) jest polem lokalnym w miejscu • znajdowania się atomów typu i • Jeżeli pole lokalne Elok związane jest związkiem Lorentza , to • lub związek Klasiusa-Mossotiego Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 14

16. Polaryzowalność elektronowa Polaryzowalność całkowitą α można rozdzielić na trzy części: elektronową, jonową i dipolową: elektronowa jonowa dipolowa Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 15

17. Przyczynek elektronowy wynika z przesunięcia elektronów w atomie • względem jadra • Przyczynek jonowy wynika z przesunięcia i deformacji naładowanego • jonu w stosunku do innych jonów • Polaryzowalność dipolowa występuje w substancji zbudowanej z • cząsteczek mających trwały elektryczny moment dipolowy; cząsteczki • te mogą zmienić swoje orientacje pod wpływem przyłożonego pola • elektrycznego • W zakresie częstości optycznych stała dielektryczna pochodzi prawie • całkowicie od polaryzowalności elektronowej • Przyczynki dipolowe i jonowe są przy wysokich częstościach małe ze • względu na bezwładność cząsteczek i jonów • W zakresie częstości optycznych wzór Clausiusa-Mossotiego przyjmuje • postać • gdzie n2 = ε, i n jest współczynnikiem załamania Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 16

18. Polaryzowalność jonowa • Polaryzowalność jonowa wynika ze względnego przemieszczania się • jonów o przeciwnych znakach pod wpływem pola elektrycznego • Moment dipolowy przypadający na jedną cząsteczkę wynosi p = qu, • gdzie q jest ładunkiem jonu, a u – względnym przemieszczeniem • sieci jonów dodatnich i ujemnych • Polaryzowalność jonowa jest równa • gdzie N jest liczbą cząsteczek w jednostce objętości Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 17

19. Polaryzowalność dipolowa • Dążenie pola elektrycznego do porządkowania kierunków trwałych dipoli • niweczone jest przez drgania cieplne • Energia potencjalna U cząsteczki obdarzonej trwałym elektrycznym • momentem dipolowym p w polu E wynosi • gdzie θ jest kątem miedzy p i E • Polaryzacja • gdzie N jest liczbą cząsteczek w jednostce objętości, a jest • wartością średnią cos θ rozciągniętą na cały rozkład momentów w • równowadze cieplnej Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 18

20. Zgodnie z prawem rozkładu Boltzmanna względne prawdopodobieństwo • znalezienia cząsteczki w elemencie kąta bryłowego dΩ jest proporcjonalne • do exp(-U/kBT) i • gdzie β = 1/kBT Wyrażenie to definiuje funkcję LangevinaL(x) Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 19

21. x=pE/kBT Wykres funkcji Langevina L(x) Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 20

22. W granicznym przypadku x << 1 (w wysokich temperaturach) • a polaryzacja wynosi • Polaryzowalność dipolowa przypadająca na cząsteczkę • Jeżeli α0 oznacza sumę przyczynku elektronowego i jonowego do • polaryzowalności, to polaryzowalność całkowita zapisuje się w • postaci – równanie Langevina-Debye’a Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 11 Strona 21