Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében

1. Elektronikus kereskedelem Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében IX. ElőadásALAPTERMÉKEK ÁRALAKULÁSÁNAK MODELLEZÉSE PÉNZÜGYI MATEMATIKA ÉS KOCKÁZATANALÍZIS Az Európai Szociális Alap támogatásával

2. Tartalom A binomiális háló modell A folytonos multiplikatív modell A Wiener folyamat ITO-Folyamatok Folytonos idejű árfolyammodellek A diszkontált árfolyamat GBM vs BLM HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

3. BEVEZETÉS A cél: az alaptermék áralakulásának modellezése Két alapmodell: • binomiális háló • Ito - folyamatok HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

4. A BINOMIÁLIS HÁLÓ MODELL (BLM) I. Választunk egy periódust, pl. 1 hét A modell: • egy periódus elején az ár: S • ekkor a periódus végén az ár S+ = Su vagy Sd • itt u > 1, d < 1 fix • a növekedés valószínűsége p, a csökkenés valószínűsége 1-p HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

5. A BINOMIÁLIS HÁLÓ MODELL II. HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

6. FOLYTONOS MULTIPLIKATÍV MODELL I. Választunk egy periódust, pl. 1 hét (jav:v helyett u irandó) vagy ahol normális eloszlású független. (Jav: v helyett ) Ekkor lognormális.(Jav:v helyett u irandó) HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

7. FOLYTONOS MULTIPLIKATÍV MODELL II. A log-dinamikából kapjuk: Itt a 2. tag normális ! Feltevés: S(0) konstans, így S(k) lognormális ! (Jav: v helyett ) HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

8. EMPIRIKUS LOG-HOZAM ADATOK log S(k) eloszlása: (INSERT: Fig 11.3, p.302) Észrevétel: vastagfarkú eloszlás! Tipikus értékek:  = 12%,  = 15% HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

9. LOGNORMÁLIS ELOSZLÁS Definíció (ism.): u lognormális, ha w = ln u normális. A lognormális eloszlás: (INSERT: Fig 11.4, p.304) HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

10. LOGNORMÁLIS ELOSZLÁS II. Tegyük fel, hogy w: Ekkor -re: Értelmezés: ew felfelé szóródik, alulról korlátos, pozitív = 15% esetén: ! De: nagyobb volatilitás esetén az korrekció jelentős HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

11. A WIENER FOLYAMAT I. Véletlen tagok összege → véletlen bolyongás Legyen (k) független, standard normális, N(0,1). A részletösszegek sorozata egy véletlen bolyongás. . HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

12. A WIENER FOLYAMAT II. Egy véletlen bolyongás átskálázása: legyen  t > 0, tk = k t Ábrázolás: a (t,z) síkon. HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

13. WIENER FOLYAMAT III. Egy véletlen bolyongás: HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

14. A WIENER FOLYAMAT IV. A z(tk) folyamat jellemzői:z(tk) egy Gauss folyamat : Ha [t1,t2] és [t3,t4] nem metszik egymást, akkor HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

15. A WIENER FOLYAMAT V.  t→ 0 esetén: a Wiener-folyamat formális, heurisztikus definíciója: ahol (t) standard normális, és t’≠t’’ esetén. Alternatív terminológia: Brown mozgás dz(t): Gauss fehér zaj HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

16. A WIENER FOLYAMAT VI. Precíz definíció: z(t) Wiener-folyamat, ha • Minden s < t -re z(t) – z(s)normális, • Ha [t1,t2] és [t3,t4] nem metszik egymást, akkor • z(0) = 0 és z(t)folytonos 1 valószínűséggel HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

17. ITO – FOLYAMATOK I. Klasszikus kalkulus: ha x(t) differenciálható, akkor (Leibniz-fromalizmusa) Formáslis differenciál (infinitezimális) kalkulus: alapja a linearitás ill. Példa: HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

18. ITO - FOLYAMATOK II. Sztochasztikus kalkulus: a z(t) Wiener folyamat nem-differenciálható. Egy új formálsi infinitezimális elem: dz(t). Az új infinitezimális kalkulus objektumai: Értelmezés: drift + diffúzió Az x(t) folyamat neve: Ito - folyamat. HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

19. ITO - FOLYAMATOK III. Műveleti szabályok: alapja linearitás és Példa: Ekkor Az utolsó tag: az Ito-féle korrekciós tag ! HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

20. AZ ITO - LEMMA Általában: legyen Kérdés:Mi az folyamat sztochasztikus differenciálja. Ito-lemma: legyen F elég sima, kétszer folyt. diff.ható. Ekkor Az utolsó tag: az Ito-féle korrekciós tag. HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

21. FOLYTONOS IDEJŰ ÁRFOLYAMMODELLEK I. Az árfolyam a t időben: S(t) A modell: (jav: 3 helyett +, rhelyett ) Ez megoldható: HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

22. FOLYTONOS IDEJŰ ÁRFOLYAMMODELLEK II. Mi az S(t)dinamikája? Legyen Ekkor: ,így Az utolsó tag: az Ito korrekciós tag. Innen Tehát S(t) dinamikája: (jav: vhelyett ) Terminológia: S(t) egy geometriai Brown mozgás (GBM) HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

23. FOLYTONOS IDEJŰ ÁRFOLYAMMODELLEK III. Nyilvánvaló: S(t) lognormális, ui. ln S(t) normális: Innen a korábbi elemi eredmény alapján: Jelölés: HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

24. FOLYTONOS IDEJŰ ÁRFOLYAMMODELLEK – ÖSSZEFOGLALÁS Legyen az S(t) árfolyamat egy geometriai Brown-mozgás: Ekkor: A log-hozamra: (jav: ln a tört egészére vonatkozik). (Hf: alkalmazzuk Ito-t) ahol és HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

25. A DISZKONTÁLT ÁRFOLYAMAT Definiáljuk a diszkontált árfolyamatot: Ekkor (jav: 2. tagban dS(t)áll) Innen Észrevétel: a drift 0 ! HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

26. GBM vs. BLM I. Vegyünk egy GBM-t: és vegyünk egy t periódust, és tekintsük S(t) -t! A cél: szerkesszünk egy BLM-t, amely illeszkedik S(t) –re úgy hogy: és HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

27. GBM vs. BLM II. A keresett BLM paraméterei: u,d,p Ekkor $1 dollárból indulva: Az U = lnu, és D = lnd jelöléssel az illeszkedés egyenlete: Három ismeretlen, két egyenlet. Tegyük fel, hogy D = -U ! HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

28. GBM vs. BLM III. Ennek közelítő megoldása kis t –re, (p kb ½ alapján): Megjegyzés: itt , empirikusan nyerhető adatok ! Az illesztés értelme: a BLM könnyen kezelhető. HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10