POLA FIGUR PŁASKICH

1. POLA FIGUR PŁASKICH

2. CO TO JEST POLE FIGURY ? Rysunek przedstawia plan trzech działek. Łatwo zauważyć, że działka A jest najmniejsza. Natomiast aby porównać wielkość działek B i C należy wypełnić je jednakowymi figurami tzw. jednostkowymi. A B C

3. CO TO JEST POLE FIGURY ? Figura C zawiera 17 kwadratów, zatem ma większą powierzchnię niż figura B, która ma 16 kwadratów. A B C

4. CO TO JEST POLE FIGURY ? Figura obok składa się z 10 jednakowych trójkątów, więc jej pole wyrażone za pomocą tych trójkątów wynosi 10 jednostek.

5. JEDNOSTKI POLA Powszechnie stosowanymi jednostkami pola są : • milimetr kwadratowy (mm2) • centymetr kwadratowy (cm2) • decymetr kwadratowy (dm2) • metr kwadratowy (m2) • kilometr kwadratowy (km2) Ogrody, place, działki rolne i większe obszary mierzymy w arach (a) i hektarach(ha). Są to gruntowe jednostki pola. 1cm2 1cm 1cm

6. ZALEŻNOŚCI MIĘDZY JEDNOSTKAMI POLA Zależności między jednostkami pola wynikają z zależności między jednostkami długości : 1cm = 10mm 1m = 100cm 1cm2=100mm2 1m2 = 10000cm2 10·10 100·100

7. ZALEŻNOŚCI MIĘDZY JEDNOSTKAMI POLA (CD.) 1 ar to pole kwadratu o boku10m, zatem 1a = 100m2 1 hektar to pole kwadratu o boku 100m, zatem 1 ha =10000m21 ha = 100a 1cm2 = 100mm2 1dm2 = 100cm2 = 10000mm2 1m2=100dm2 = 10000cm2 = 1000000mm2 1km2 =100ha =10000a = 1000000 m2

8. POLE PROSTOKĄTA Prostokąt o wymiarach 3cm i 4cm dzielimy na kwadraty o boku 1cm. Mamy więc 3 rzędy po 4 kwadraty, każdy o polu 1cm2. 3·4=12 więc P = 12cm2 Pole prostokąta obliczamy mnożąc długość przez szerokość tego prostokąta.

9. POLE PROSTOKĄTA WZÓR NA POLE PROSTOKĄTA : P = a·b a,b – długości boków prostokąta ! b a

10. POLE KWADRATU a a Ponieważ kwadrat jest prostokątem, jego pole obliczamy w ten sam sposób. Wzór na pole kwadratu : P = a · a gdzie a oznacza długość boku kwadratu Inna postać wzoru : P = a2 !

11. POLE RÓWNOLEGŁOBOKU a h h a Gdyby rozciąć równoległobok wzdłuż wysokości to z otrzymanych części można ułożyć prostokąt. Pole równoległoboku jest równe polu otrzymanego prostokąta.

12. POLE RÓWNOLEGŁOBOKU h a Obliczając pole równoległoboku korzystamy ze wzoru : P = a · h a – długość boku (podstawy) b – długość wysokości poprowadzonej do tego boku !

13. POLE ROMBU Pole rombu możemy obliczyć dwoma sposobami :1.Ponieważ romb jest równoległobokiem, więc jego pole można obliczyć tak jak pole równoległoboku : P = a · h a – długość podstawy h – długość wysokości poprowadzonej do tej podstawy ! h a

14. POLE ROMBU 2.Dane są dwie przekątne rombu.Mając dwa jednakowe romby o przekątnych e i f, można z nich ułożyć prostokąt o bokach e i f. Prostokąt składa się z dwóch rombów, więc jego pole jest dwa razy większeniż pole każdego z tych rombów. Zatem pole rombu jest równe połowie pola prostokąta. Stąd : P = ½ · e · f P – pole rombu e,f – długości przekątnych rombu e e f f !

15. POLE TRÓJKĄTA Z dwóch jednakowych trójkątów o podstawie ai wysokości h opuszczonej na tę podstawę, można zbudować równoległobok o podstawie a i wysokości h. Pole równoległoboku jest dwa razy większe niż pole trójkąta, zatem pole trójkąta jest równe połowie pola równoległoboku o podstawie a i wysokości h. a h h a a

16. Wzór na pole trójkąta : ! h P = ½ · a · h a – długość podstawy h – długość wysokości opuszczonej na podstawę a a POLE TRÓJKĄTA

17. POLE TRÓJKĄTA PROSTOKĄTNEGO Ponieważ wysokością dla podstawy a jest przyprostokątna b i odwrotnie, pole trójkąta prostokątnego jest równe połowie iloczynu jego przyprostokątnych. P = ½ · a · b a, b – długości przyprostokątnych b a !

18. POLE TRAPEZU Z dwóch jednakowych trapezów o podstawach długościaiboraz wysokościhmożna ułożyć równoległoboko wymiarach – podstawaa+bi wysokośćh. Równoległobok składa się z dwóch trapezów zatem jego pole jest dwa razy większe niż pole każdego z trapezów. Stąd pole trapezu jest równe połowie pola równoległoboku o wymiarach a+b i h. b b a h h a a b

19. ! b h P = ½ · (a + b) · h P – pole trapezu a,b – długości podstaw h – długość wysokości a POLE TRAPEZU

20. POLE DELTOIDU e Przekątne deltoidu to odcinki |AC|=e i |BD|=f. Deltoid można podzielić na dwa trójkąty :ACD i ACB. Zatem pole deltoidu będzie sumą pól tych trójkątów. PACD= ½· e ·|DS| PACB= ½ ·e ·|SB| PABCD= ½ ·e ·|DS| + ½· e·|SB| =½· e ·(|DS| + |SB|) = ½ ·e · f Pole deltoidu jest równe połowie iloczynu długości jego przekątnych. D A C S f B

21. e ! f Wzór na pole deltoidu : P = ½ · e · f e,f –długości przekątnych deltoidu POLE DELTOIDU

22. POLA FIGUR O ZŁOŻONYCH KSZTAŁTACH Pole figury, do której nie da się zastosować żadnego z podanych wzorów można obliczyć na dwa sposoby : 1.Dzielimy figurę na mniejsze części. Pole czworokąta będzie równe sumie pól trapezu i trójkąta.

23. POLA FIGUR O ZŁOŻONYCH KSZTAŁTACH Uzupełniamy figurę tak, aby otrzymać prostokąt i trójkąty. Aby obliczyć pole czworokąta należy od pola prostokąta odjąć pola dwóch trójkątów.

24. Pola wielokątów - podsumowanie Pole prostokąta : P = a · b Pole kwadratu : P = a2 Pole równoległoboku : P = a · h Pole rombu : P = a · h lub P = ½ · e · f Pole trójkąta :P = ½ ·a· h Pole trapezu :P = ½ ·(a+b) · h Korzystając z tych wzorów można obliczać pola innych wielokątów. UWAGA – przy obliczaniu pól figur należy pamiętać, aby wszystkie potrzebne wymiary podane były w tych samych jednostkach. !

25. Powyższa prezentacja opracowana została na podstawie podręcznika:„Mogę zostać Pitagorasem”. Dany fragment prezentacji może być wprowadzeniem do nowej lekcji w kl.IV lub V, albo przypomnieniem wiadomości w kl.VI. Znak ten zwraca uwagę na pojawiający się wzór na obliczanie pola danej figury. !