280 likes | 463 Views
Grunnleggende matematikk Første bolk. SOS3003/JFRYE. ’Normalspråk’: Utdanning gir høyere inntekt. SOS3003/JFRYE. ’Normalspråk’: Utdanning gir høyere inntekt Fagspråk: I gjennomsnitt øker inntektsnivået med b ('ukjent') kroner for hvert år utdanning man har. SOS3003/JFRYE.
E N D
Grunnleggende matematikk Første bolk SOS3003/JFRYE
’Normalspråk’: Utdanning gir høyere inntekt SOS3003/JFRYE
’Normalspråk’: Utdanning gir høyere inntekt Fagspråk: I gjennomsnitt øker inntektsnivået med b ('ukjent') kroner for hvert år utdanning man har SOS3003/JFRYE
’Normalspråk’: Utdanning gir høyere inntekt Fagspråk: I gjennomsnitt øker inntektsnivået med b ('ukjent') kroner for hvert år utdanning man har Matematisk 1: inntekt = 'grunnbeløp i kr.' + (økning i kr. per år utdanning * antall år) SOS3003/JFRYE
’Normalspråk’: Utdanning gir høyere inntekt Fagspråk: I gjennomsnitt øker inntektsnivået med b ('ukjent') kroner for hvert år utdanning man har Matematisk 1: inntekt = 'grunnbeløp i kr.' + (økning i kr. per år utdanning * antall år) Matematisk 2: y = a + (b * x) der y = inntekt der a = 'grunnbeløpet' der b = økning i kroner per år utdanning (effekten av utdanning) der x = antall år utdanning SOS3003/JFRYE
y = a + (b * x) 100.000 = a + (b * 0) 100.000 = a a = 100.000 120.000 = a + (b * 0) 120.000 = 100.000 + (b * 2) 120.000 – 100.000 = (b * 2) 20.000 = b * 2 20.000 / 2 = b b = 10.000 140.000 = a + (b * 0) 140.000 = 100.000 + (b * 4) 140.000 – 100.000 = (b * 4) 40.000 = b * 4 40.000 / 4 = b b = 10.000 SOS3003/JFRYE
Dermed: y = 100.000 + (10.000 * x) SOS3003/JFRYE
Matematikk er et analytisk verktøy • Gjør det mulig å ’presist’ (kvantitativt) • beskrive fenomener • beregne relasjonen mellom fenomener • Gjør det mulig å presentere fortettet informasjon • Utfordringen er å ’oversette’ mellom fagspråk og matematisk språk SOS3003/JFRYE
NB: Matematikk er ikke vanskelig! Erling Berge uttrykte det slik: lett å lære å lese litt vanskeligere å forstå det man leser enda litt vanskeligere å skrive selv Ulike dialekter: vi bruker 'regresjonsdialekten' SOS3003/JFRYE
Algebra Funksjoner Likninger SOS3003/JFRYE
Algebra Regning med 'bokstaver' (der bokstavene representerer vilkårlige tallstørrelser) SOS3003/JFRYE
Algebra – regneregler I addisjon: a + b = b + a subtraksjon: a – b = -b + a multiplikasjon: a * b = b * a divisjon a / b = a * (1/b) SOS3003/JFRYE
Algebra – regneregler II Algebraiske uttrykk kan settes opp i parenteser. Det som står inne i parentesen, skal behandles som ett tall a * (b + c) = (a * b) + (a * c) (a + b) * (c + d) = a * (c + d) + b * (c + d) = a * c + a * d + b * c + b * c NB: Stryker gangetegnene av praktiske årsaker: = ac + ad + bc + bd SOS3003/JFRYE
Algebra – regneregler III • ax • a * a * a * a * a = a5 • a * a = a2 • a2 * a = a3 • NB: a = a1 • a * a * a * a *.... a(n ganger) = an SOS3003/JFRYE
Algebra – regneregler IV -22 = -(22) √22 = 2 a0,5 = √a a0 = 1 a–2 = 1/a2 a1/n = n√a SOS3003/JFRYE
Funksjoner En funksjon er en regel som angir relasjonen mellom to (sett av) algebraiske uttrykk y = a + bx hvordan endrer y seg når x endres? f(x) = a + bx NB: y = f(x) SOS3003/JFRYE
y = a + (10.000 * x) SOS3003/JFRYE
f(x) = 2x SOS3003/JFRYE
f(x) = x2 SOS3003/JFRYE
Ligninger En ligning er en påstand om at to algebraiske uttrykk (eller også to funksjoner, eller et algebraisk uttrykk og en funksjon) er like. NB: En funksjon er derfor bestandig en ligning! SOS3003/JFRYE
Ligninger • a = b • y = x • y = f(x) • y = a + bx (ligningen for en rett linje) • f(x) = a + bx + cx2 (andregradsligningen) • y = a + bx + cw + e (regresjonsligningen med 2 x-variabler) SOS3003/JFRYE
Ligninger Man kan addere eller subtrahere med samme tall på begge sider av likhetstegning: y = x tilsvarer y + 1 = x + 1 y = x tilsvarer y – 1 = x – 1 Man kan multiplisere eller dividere med samme tall på begge sider av likhetstegning: y = x tilsvarer y * 10 = x * 10 y = x tilsvarer y / 10 = x / 10 Hensikten er som regel å få y alene på venstresiden av likhetstegnet, ettersom dette letter det videre arbeidet SOS3003/JFRYE
Konvensjoner Parametre/konstanter: Uttrykk i funksjonen som er lik for alle enheter Parameter: verdien for populasjonen Konstant (parameter-estimat): verdien for utvalget Variabler: Uttrykk i funksjonen som varierer for alle enheter SOS3003/JFRYE
Ulike typer bokstaver til ulike typer uttrykk • konstanter (parameter-estimat) (romerske bokstaver) a, b, c, d, e, p, q, r, s, t,... • variabler (romerske bokstaver): • x, y, z • regresjonskonstanter b0 b1 b2.... • regresjonsvariabler x1, x2, x3… • parametre for populasjon (greske bokstaver) • α (alfa) β (beta) µ (my) γ (ypsilon) ε (epsilon) • regresjonsparametre (for populasjonen): β0 β1 β2 β3 indekser for variabler nytter gjerne i, j, k, l, m, n... • funksjoner vil ofte bli gitt symbolene f(), g(), .... SOS3003/JFRYE
Indeksering Brukes til å skille uttrykk av samme type, for eksempel funksjoner: fi, f2... Vanligvis som subskrift etter uttrykket, men kan også settes over eller foran, spesielt når det trengs flere presiseringer: 1f2, eller 1f1 Både tall og bokstavtall: f1, fa Brukes også til å beskrive enkelte enheter (case), parametrer eller variabler a1, a2, a3, x1, x2, x3, b1, b2, b3, β1, β2, β3, Hvis man skal si noe om alle casene, parametrene eller variablene bruker man gjerne i, j, k. ai, xi, bi, βi Noen ganger stryker man (alle eller noen av) indeksene når det er 'åpenbart' hva symbolene betyr SOS3003/JFRYE
Matematiske operatorer Summasjon: Σ a1 + a2 + a3 + a4 .... + an = Σiai Multiplikasjon: Π a1 * a2 * a3 * a4 .... + an = Πiai SOS3003/JFRYE
Tre avsluttende ’tester’ yi = β0 + β1x1i + εi yi = β0 + β1x1i + β2x2i + β3x3i + β4x4i + ... + βnxni + εi yi = β0 + Σk(βkxki) + εi SOS3003/JFRYE