300 likes | 704 Views
Litt gresk matematikk . Noen kortfattete eksempler. Thales fra Miletos (624-547 B.C.E.). Thales har blitt tillagt æren for å være den første som sa at naturen er styrt av lover som kan oppdages og beskrives. Han er blant annet kjent for følgende ting: Kunne forutsi solformørkelser.
E N D
Litt gresk matematikk Noen kortfattete eksempler.
Thales fra Miletos (624-547 B.C.E.) • Thales har blitt tillagt æren for å være den første som sa at naturen er styrt av lover som kan oppdages og beskrives. Han er blant annet kjent for følgende ting: • Kunne forutsi solformørkelser. • Kunne måle avstander til skip på sjøen. • Fant ut at vinklene ved grunnlinja i en likebeint trekant er like store. • Fant at diameteren deler en sirkel i to like store deler.
Pytagoras og pytagoreerne • Pytagoras (572-497 B.C.E) • Tall, dvs. hele tall, var bygningsstein for alle ting. Alle ting kunne beskrives med tall. • Arbeidet bl.a. med harmonier og svingende strenger. • Studerte mange sider ved de hele tallene. • Pytagoreerne brukte sannsynligvis prikker eller småstein som tegn for tall. De kunne derfor få svært konkrete illustrasjoner
Kvadrattall • • • • • Her kan man lett se at kvadratet av et partall er et partall, mens kvadratet av et oddetall er et oddetall.
Kvadrattall forts. • Når du legger til nye sider i kvadratet, legger du til to så lange lengder som du har fra før + et tall i hjørnet. • Pytagoreerne generaliserte dette og viste at du kan få kvadrattallene ved å addere etterfølgende oddetall: • 1 + 3 = 22 • 1 + 3 + 5 = 32 • 1 + 3 + 5 + 7 = 42
Trekanttall • Trekanttallene får du ganske enkelt ved suksessivt å legge til de naturlige tallene.
Avlange tall De avlange tallene (figur 5) er 1 2, 2 3, 3 4, 4 5 og så videre.
Smhg. trekanttall og kvadrattall • Her kan vi lett se at ethvert kvadrattall er summen av to påfølgende trekanttall og at avlange tall er det dobbelte av et trekanttall.
Klassiske problemer • Slik kunne Pytagoreerne leke med tall. • De fikk imidlertid problemer med lengder, for de mente at alle lengder måtte kunne uttrykkes som hele tall eller deler av dem. • Dermed kom de til å benekte eksistensen av irrasjonale tall. (For eksempel så er diagonalen i et kvadrat der sidene er et helt tall, et irrasjonalt tall). Dette standpunktet førte til mye trøbbel.
Antikkens tre store matematiske problemer • Sirkelens kvadratur. • Fordobling av en terning. • Tredeling av en vinkel ved konstruksjon
Platon (429-347 B.C.E). • Grunnla i år 385 B.C.E sitt Akademi. • I ettertid er det blitt påstått at følgende setning sto over døra: “La ingen som er ukjent med geometri få komme inn her”. • Den matematiske delen av studiet besto av aritmetikk, plangeometri, romgeometri, astronomi og harmoni (musikk).
Aristoteles (384-322 B.C.E). • Var student hos Platon. • Ble senere lærer for Aleksander (den store). Dannet så sin egen skole, Lyceum. • Utviklet regler for logiske argumenter
Euklid (Nøyaktige årstall for levetid mangler). • Skrev de berømte Elementene i 13 bind, de mest innflytelsesrike av alle matematiske verker. • Bøkene er kompendier som summerer opp den matematiske viten som fantes på den tiden og systematiserer denne viten.
Elementene. • Elementene starter med en del definisjoner. • Eks.: et punkt er noe som ikke har noen deler. • Etter definisjonene kommer en del postulater. • Dette er sannheter som gjelder spesielt for matematikk, og som ikke trenger bevis. Eks.: alle rette vinkler er like store. • Så kommer et sett aksiomer, sannheter som er felles for alle vitenskaper. • Eks.: helheten er større enn delene.
Tallteori hos Euklid. • Tre av bøkene (7, 8 og 9) omhandler tallteori. Også disse starter med definisjoner. • Eks.: et større tall er et multiplum av et mindre tall når det kan måles med det mindre. • I bok 7 introduseres den berømte Euklidske algoritme for å finne største felles mål for to tall, eller vise at de er inkommensurable. (Algoritmen var kjent lenge før Euklid).
De fire siste bøkene • I bok 10 (den som av mange regnes som den beste) behandler Euklid irrasjonale størrelser. • De siste bøkene handler om romgeometri.
Arkimedes 287-212 B.C.E). • Arkimedes var den første som skapte skikkelige matematiske modeller fra fysiske problemer. • Spesielt kjent er loven om oppdrift i vann. • Godt kjent er også hans lover for vektstenger. • Eks.: Vekter som balanserer i like avstander (fra aksen) er like store.
Litt av hans matematikk. • En av hans teoremer er det følgende: • Arealet av sirkel er lik arealet av en rettvinklet trekant hvor en av katetene er lik radius og den andre lik omkretsen. (SJEKK DETTE SELV.) • Arkimedes fant ut at forholdet mellom omkretsen og diameteren til sirkelen ligger mellom 3 1/7 og 3 10/71. • Arkimedes fant mange matematiske sammenhenger som vi ikke kan gå inn på her.
Hvor nøyaktig var hans ? • 3 1/7 3,1428571 • 3 10/71 3,140845 • 3,1415926.. • Vi ser at 3 1/7 - 0,0012645 og at - 3 10/71 0,0007476. • Arkimedes kom altså svært nær en moderne verdi for . ( er nå regnet ut med noen milliarder desimaler!)
Appolonius (250-175 B.C.E). • Appolonius er først og fremst kjent for sine arbeider med såkalte kjeglesnitt, dvs. ellipser, parabler og hyperbler. • Hans funn var forbløffende avanserte. Han behandler for eksempler brennvidden i parabler, det som i dag utnyttes i slike ting som parabolantenner og lysreflektorer.
Ptolemaios (c. 100 - 178 C.E). • Ptolemaios er kjent for sin astronomi. • Han ga en komplett beskrivelse av gresk astronomi i sin “Matematisk samling”, også den i 13 bøker. • Flere hundreår etter at den var skrevet, begynte islamske vitenskapsmenn å kalle den for al-magisti, “den største”. Verket har siden vært kjent under navnet Almagest. Alle senere verker i astronomi til og med Copernicus bygget på den.
Nikomakus. (Nøyaktige årstall for levetid mangler). • Nikomakus var tallteoretiker. • Han fant f.eks. de fire første perfekte tallene, 6, 28, 496 og 8128. • De perfekte tallene er lik summen av sine faktorer (de tallene som går opp i tallet). F.eks. så er 28 = 1+2+4+7+14. (Euklid hadde beskrevet perfekte tall, men kjente ikke det fjerde).
Nikomakus forts. • Nikomakus utvidet pytagoreernes plane tall (se over) til flersidete tall (5-kanttall osv.) • Han opererte også med romlige tall, f. eks. pyramidetall.
Diofantos. (Nøyaktige årstall for levetid mangler. • Diofantiske likninger: • Dette er likningssett med flere ukjente enn antall likninger (f.eks. 3 ukjente og bare to likninger). • Slike likninger har gjerne mange løsninger, av og til uendelig mange. • Løsningene er forutsatt å være rasjonale tall.
Diofantos forts. • Diofantos er også kjent for å ha innført bruk av symboler (symbolske forkortinger) i sine likninger. (Eks.. som oversatt skal bety 3 kvadrater, 12 tall og 9 enheter). • Også Diofantos skal ha skrevet 13 bøker. Bare 6 av dem er kjente i ettertiden. Dette er arabiske oversettelser av en kommentarutgave skrevet av Hypatia.
Hypatia (ca. 370-415 B.C.E). • Hypatia var den siste store matematikeren i den hellenistiske kulturen. • Også hun bodde i Aleksandria. (Datter av en annen matematiker, Theon). Hun fortsatte å undervise i den gamle platonske filosofien, selv om kristendommen hadde blitt statsreligion. • Dette førte til at hun ble myrdet under stridigheter mellom de kristne og hedningene. Striden var dessuten blandet opp med personstrid om det politiske lederskapet i byen.