Nerovnice s kombinačními čísly

1. 12. února 2013 VY_32_INOVACE_110213_Nerovnice_s_kombinacnimi_cisly_DUM Nerovnice s kombinačními čísly Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Daniel Hanzlík Obchodní akademie a Střední odborná škola logistická, Opava, příspěvková organizace. Materiál byl vytvořen v rámci projektu OP VK 1.5 – EU peníze středním školám, registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0809.

2. Kombinační číslo Na úvod prezentace si připomeňme pojem kombinační číslo. Kombinační číslo (binomický koeficient) odpovídá počtu k-členných kombinací z n prvků (tj. k-tic, v níž nezáleží na pořadí prvků) Označení čteme: kombinace k-té třídy z n prvků čteme: n nad k Platí: obr. 1

3. Vlastnosti kombinačních čísel Připomeňme si taky základní vlastnosti kombinačních čísel: 1) Pro 2) Pro obr. 1

4. Kombinace bez opakování – praktická část Praktická část výukového materiálu „Nerovnice s kombinačními čísly“ se zabývá využitím vzorce pro počet kombinací bez opakování při řešení čtyř nerovnic s kombinačními čísly. obr. 2

5. Nabídka úloh a jejich řešení Úloha 1 Řešení úlohy 1 Úloha 4 Úloha 2 Řešení úlohy 4 Řešení úlohy 2 Úloha 3 Řešení úlohy 3 Shrnutí

6. zpět do nabídky úloh Úloha 1 Řešte nerovnici: obr. 3

7. pokračování Řešení úlohy 1 V nerovnici si nejprve vyjádříme kombinační číslo pomocí faktoriálů: Nyní stanovíme podmínky platnosti výrazů s faktoriály: Následně nerovnici dále upravujeme do tvaru kvadratické nerovnice: Kořeny příslušné kvadratické rovnice určíme pomocí Viétových vzorců. Platí: Ze vzorců vyplývá, že kořeny rovnice jsou: .

8. pokračování Řešení úlohy 1 Kvadratickou nerovnici následně řešíme graficky pomocí paraboly, která je grafem kvadratické funkce . Výše uvedená funkce protíná osu x ve dvou bodech (kořenech kvadratické rovnice): Tyto dva body rozdělují číselnou osu na tři intervaly (viz. graf): Z grafu je zřejmé, že uvedená kvadratická funkce nabývá kladných hodnot v intervalech: . + + 1 x _ 12

9. zpět do nabídky úloh Řešení úlohy 1 Řešením zadané nerovnice s kombinačním číslem jsou ta čísla, která odpovídají podmínce platnosti výrazů s faktoriály, a která současně jsou řešením výsledné kvadratické nerovnice. Z reálné osy rozpoznáme, o která čísla se bude jednat: … přirozená čísla, která vyhovují podmínce platnosti výrazů s faktoriály … řešení kvadratické nerovnice Podmínce platnosti i řešení kvadratické nerovnice vyhovují přirozená čísla , která jsou větší nebo rovna číslu 12. I I I I I I I I I I I I I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

10. zpět do nabídky úloh Úloha 2 Řešte nerovnici: obr. 4

11. pokračování Řešení úlohy 2 V nerovnici si nahradíme kombinační číslo (z vlastnosti kombinačních čísel). Na levé straně nerovnice se nacházejí dva výrazy s faktoriály, stanovíme tedy podmínky platnosti těchto výrazů: Nerovnici poté upravujeme do kvadratického tvaru: Pomocí Viétových vzorců určíme kořeny příslušné kvadratické rovnice Platí: Z toho plyne, že kořeny rovnice jsou:

12. pokračování Řešení úlohy 2 Kvadratickou nerovnici opět řešíme graficky pomocí paraboly, která je grafem kvadratické funkce . Uvedená funkce protíná osu x ve dvou bodech (kořenech kvadratické rovnice): Číselná reálná osa je těmito dvěma body rozdělena na tři intervaly (viz. graf): Z grafu kvadratické funkce je zřejmé, že kvadratická funkce nabývá záporných hodnot v intervalu Řešením nerovnice je + + 8 -6 _

13. zpět do nabídky úloh Řešení úlohy 2 Řešením dané nerovnice s kombinačním číslem jsou ta čísla, která odpovídají podmínce platnosti výrazů s faktoriály, a která současně jsou řešením výsledné kvadratické nerovnice. Z reálné osy určíme, o která čísla se bude jednat: … přirozená čísla, která vyhovují podmínce platnosti výrazů s faktoriály … řešení kvadratické nerovnice Podmínce platnosti i řešení kvadratické nerovnice vyhovují ta přirozená čísla , která jsou větší nebo rovna číslu 4, ale menší než číslo 8. I IIIIIIIIIIIIII -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 45 6 78

14. zpět do nabídky úloh Úloha 3 Určete, pro která přirozená čísla má řešení nerovnice obr. 5

15. pokračování Řešení úlohy 3 Z vlastnosti kombinačních čísel plyne, že . Nyní určíme podmínky platnosti výrazů s faktoriály: (nerovnici řešíme v oboru přirozených čísel) Nerovnici dále upravujeme, převedeme ji opět do kvadratického tvaru: Kořeny příslušné kvadratické rovnice určíme pomocí Viétových vzorců. Platí: Ze vzorců plyne, že kořeny rovnice jsou

16. pokračování Řešení úlohy 3 Kvadratickou nerovnici znovu řešíme graficky pomocí paraboly, která je grafem kvadratické funkce . Uvedená funkce protíná osu x ve dvou bodech (kořenech kvadratické rovnice): Číselná reálná osa je těmito dvěma body rozdělena na tři intervaly (viz. graf): Z grafu kvadratické funkce je zřejmé, že kvadratická funkce nabývá nekladných hodnot v intervalu Řešením nerovnice jen + + _ 2

17. zpět do nabídky úloh Řešení úlohy 3 Řešením dané nerovnice s kombinačním číslem jsou přirozená čísla, která odpovídají podmínce platnosti výrazů s faktoriály, a která současně jsou řešením výsledné kvadratické nerovnice. Z číselné osy určíme, o která přirozená čísla se bude jednat: … přirozená čísla, která vyhovují podmínce platnosti výrazů s faktoriály … řešení kvadratické nerovnice Podmínce platnosti i řešení kvadratické nerovnice vyhovují ta přirozená čísla , která jsou menší nebo rovna dvěma, tj. čísla 1 a 2. I IIIIIIIIIIIIII 9 8 7 6 5 4 0 1 2 3 4 5

18. zpět do nabídky úloh Úloha 4 Určete, pro která přirozená čísla n má řešení nerovnice obr. 6

19. pokračování Řešení úlohy 4 Z vlastnosti kombinačních čísel plyne, že =(n+1). Nyní stanovíme podmínky platnosti výrazů s faktoriály: Nerovnici dále upravujeme do výsledné podoby kvadratické nerovnice:

20. pokračování Řešení úlohy 4 Řešení příslušné kvadratické rovnice opět určíme z Viétových vzorců. Platí: Odtud vyplývá, že vyhovuje dvojnásobný kořen Kvadratickou nerovnici řešíme graficky pomocí paraboly, jež je grafem kvadratické funkce Daná funkce se dotýká osy x v jediném bodě (jedná se o kořen příslušné kvadratické rovnice). Číselná osa je tímto bodem rozdělena na dva intervaly (viz. graf): Z grafu je patrné, že kvadratická funkce nabývá nekladných hodnot pouze pro Řešením kvadratické nerovnice je + + 2

21. zpět do nabídky úloh Řešení úlohy 4 Řešením dané nerovnice s kombinačním číslem jsou přirozená čísla, která odpovídají podmínce platnosti výrazů s faktoriály, a zároveň jsou řešením výsledné kvadratické nerovnice. Matematickou situaci si znázorníme na číselné ose: … přirozená čísla, jenž vyhovují podmínce platnosti výrazů s faktoriály … řešení příslušné kvadratické nerovnice Podmínce platnosti výrazů s faktoriály i řešení kvadratické nerovnice vyhovuje pouze přirozené číslo 2. Řešením nerovnice s kombinačními čísly je číslo 2. I I I I I

22. Shrnutí obr. 2 Při řešení nerovnic s kombinačními čísly stanovujeme podmínky pro všechny výrazy, které obsahují proměnnou ve tvaru faktoriálu čísla. Řešení nerovnice (zpravidla ve kvadratickém tvaru) musíme sloučit s podmínkami, abychom určili čísla, která vyhovují původní nerovnici. Při řešení kvadratické nerovnice si vypomáháme grafem příslušné kvadratické funkce (ve tvaru paraboly). Kombinační čísla mají své využití nejen v rovnicích či nerovnicích, ale jsou to tzv. binomické koeficienty. O této problematice bude pojednávat výukový materiál „Binomická věta.“

23. CITACE ZDROJŮ Použitá literatura: 1) HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy, střední odborná učiliště a nástavbové studium. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s. r. o., 2000, s. 202-203, 319, 332, 334. ISBN 80-7196-165-5.

24. CITACE ZDROJŮ Použité obrázky: 1) SOUL, Obsidian. File:Stick figure - choosing.jpg - WikimediaCommons [online]. 29 January 2012 [cit. 2013-02-12]. Dostupné pod licencí CreativeCommonsz: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Stick_figure_-_choosing.jpg 2) File:Math.png - WikimediaCommons [online]. 19 April 2008 [cit. 2013-02-12]. Dostupné pod licencí CreativeCommons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Math.png 3) RÖTZSCH, Jens. File:BMS classrooms.jpg - WikimediaCommons [online]. 4 May 2009 [cit. 2013-02-12]. Dostupné pod licencí CreativeCommons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:BMS_classrooms.jpg 4) INNOVAT. File:Class-room.png - WikimediaCommons [online]. 20 September 2012 [cit. 2013-02-12]. Dostupné pod licencí CreativeCommons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Class-room.png

25. CITACE ZDROJŮ Použité obrázky: 5) TUNGSTEN. File:Math lectureat TKK.JPG - WikimediaCommons [online]. 31 May 2005 [cit. 2013-02-12]. Dostupné pod licencí CreativeCommonsz: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Math_lecture_at_TKK.JPG 6) QUIMBERO. File:SIAS students.jpg - WikimediaCommons [online]. 24 May 2009 [cit. 2013-02-12]. Dostupné pod licencí CreativeCommons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:SIAS_students.jpg Všechny úpravy psaného textu byly prováděny v programu MS PowerPoint.

26. Konec prezentace.Děkuji Vám za pozornost. Mgr. Daniel Hanzlík