Introducción a los ángulos

1. Introducción a los ángulos Preparado por: Prof. Evelyn Dávila

2. Un ángulo consta de dos rayos que tienen el mismo punto inicial. • Al punto inicial que comparten se le llama vértice. VéRTICE

3. ANGULO NEGATIVO ANGULO POSITIVO Lado inicial Lado terminal Lado inicial Lado terminal • Un ángulo puede ser positivo o negativo según la dirección en que da origen el ángulo

4. Medimos los ángulos en grados o en radianes ¿Cuánto mide el ángulo  si sabemos que una revolución es dada por 3600 ? 

5.  Medimos los ángulos en grados o en radianes ¿Cuánto mide el ángulo  si sabemos que una revolución es dada por 3600 ? Observa que es una octava parte del circulo por tanto =360/8 = 45 grados

6. Si dividimos el circulo en 360 partes iguales cada una de esas partes equivale a un grado. La medida de ese ángulo es un grado

7.  ANGULO CENTRAL Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice es el centro de un circulo con radio r.

8. La circunferencia completa de un círculo mide 3600. • Un ángulo central que encierra a toda la circunferencia del círculo mide3600 • La medida del ángulo central que encierra a un semicírculo es 180, es decir, 360/2 = 180

9. En general, un ángulo central que corresponde a una parte del círculo medirá 360/n , donde n representa la cantidad de partes iguales en que se divide el círculo.

10. Una revolución corresponde a 360 • ¿Cuánto mide un ángulo que ha recorrido dos revoluciones? 360 + 360 = 2(360) = 720 • ¿Cuántas revoluciones máximo puede recorrer un ángulo? No hay límite podemos recorres infinita cantidad de revoluciones.

11. En general, la medida de un ángulo central que ha completado n revoluciones se calcula: 360n

12.  Arco formado por el ángulo  de longitud s s r Radianes Un ángulo central mide un radiánsi este ángulo intercepta un arco con longitud igual a la longitud del radio del circulo (r).

13. Analiza la siguiente fórmula: • La longitud del arco formado por el ángulo es dada por el producto del radio del circulo y la medida de  en radianes, es decir • S = r • por lo tanto • = s/r Si s = r , tal como establecimos en la definición de radianes, entonces  = 1 radian En conclusión cuando s = r ,  mide un radián

14. La circunferencia completa de un círculo mide2 • Un ángulo central que encierra a toda la circunferencia del círculo mide2 • La medida del ángulo central que encierra a un semicírculo es , es decir, 2/2 = 

15. En general, un ángulo central que corresponde a una parte del círculo medirá 2/n , donde n representa la cantidad de partes iguales en que se divide el círculo. • EJEMPLO • Un ángulo central que corresponde a una cuarta parte de un círculo mide 2/4 = /2

16. Una revolución corresponde a 2 • ¿Cuánto mide un ángulo que ha recorrido dos revoluciones? 2+ 2 = 2(2) = 4 • ¿Cuántas revoluciones máximo puede recorrer un ángulo? No hay límite podemos recorrer infinita cantidad de revoluciones.

17. En general, la medida de un ángulo central que ha completado n revoluciones se calcula: 2n

18.     Medida de los ángulos cuadrantales en GRADOS y RADIANES

19. Expresar la medida de un ángulo dado en grados en RADIANES EJEMPLO

20. Cambiar la medida de un ángulo dado en RADIANES a GRADOS EJEMPLO

21. Práctica

22. ANGULOS COTERMINALES Angulos coterminales son ángulos que tienen el mismo lado inicial y el mismo lado terminal. EJEMPLO Lado inicial Lado terminal Observa que  = +360

23. Ejemplo - Angulos coterminales Si = 40 gradoshalla dos ángulos coterminales a éste. (  = +360 ) Un ángulo coterminal añadiendo una revolución 40 + 360= 400 grados Otro ángulo coterminal lo obtenemos al dar dos revoluciones por tanto la fórmula es: 40 + 2(360) = 760 grados ¿Cuántos ángulos coterminales a  puedo encontrar?

24. FORMULA PARA HALLAR ANGULOS COTERMINALES DE UN ANGULO DADO Observa que obtenemos un ángulo coterminal completando revoluciones completas. Fórmula para obtener un ángulo coterminal a