3.5: Equilíbrio Termodinâmico 1 A existência de equilíbrio termodinâmico ( ET ) ou equilíbrio

1. 3.5: Equilíbrio Termodinâmico1 A existência de equilíbrio termodinâmico (ET) ou equilíbrio termodinâmico local (ETL) no interior estelar   grandes simplificações: »» pode-se escrever: (3.15) e (3.16) No caso do Sol, em

2. »» O caminho livre médio (mean free path) para as interações (colisões) entre as partículas no interior estelar é: (3.17) onde  ≡ seção eficaz de interação.  Para colisões de elétrons ou íons com elétrons ou íons,   10−16 −10−18 cm2. Para interações de fótons com elétrons ou íons, 10−24 cm2. »» Define-se o peso molecular médiocomo o nº médio deu.m.a. / partícula de um gás (adimensional) u.m.a. 1,661 x 10-24 g

3.  Exemplos de valores de : • H ionizado: =½ (<massa>/ part.) = ½ mH • Copo d’água: 18 • Atmosfera da Terra:   29 • »» Define-se a Densidade Numérica média nde partículas como: • onde mHé a massa do átomo de H, • A densidade numérica de partículas no interior estelar é, • (3.18)

4. »» Com esses valores de n, ~ 10-7 cm para interações entre partículas e  ~ 1 cm para interações envolvendo fótons.  Isto é, se compararmos esses valores com os gradientes de Pe T (eqs. (3.15) e (3.16) )  e  variação muito pequenadesses parâmetros emalguns:  no caso mais desfavorável ( ~ 1 cm), ou, e CONCLUSÃO ??

5. CONCLUSÃO:  P e T podem ser consideradasCONSTANTES nasregiõesonde acontecem as interações ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ EQUILÍBRIO TERMODINÂMICO 3.6: A Variação da Energia com r »» Seja a taxa de produção de energia nuclear (erg g−1 s−1) na região central da ; sua luminosidade L pode ser escrita: Vamos considerar novamente uma casca de raio r e espessura » Vamos considerar novamente uma casca de raio r e espessura dr (figura 2.1) 

6.  e (3.19) (euler),≡ variação radial de L; ou, (3.20) (lagrange) Sendo L(r) e L(r + dr)as energias/seg emitidas em r, e r + dr, e os valores locais, pode-se escrever:

7. »» Ordens de grandeza: De (3.19), com , deduz-se que: (3.21). Para o Sol,, o que permite escrever-se: para Estrelas em geral. Ex: SP

8. »» Da forma lagrangiana da eq. da variação radial de L, 8 (3.20), pode-se escrever: dL = єdM  FÍSICA?? »» Implementações na eq. (3.20):  inclusão dos neutrinos e  caso não-estacionário: na presença de expansão e/ou contração, ocorre U e cabe a inclusão de um termo e a eq. de variação radial de Lcompleta será: (3.21)

9. III - CONDIÇÕES FÍSICAS NO INTERIOR ESTELAR9(continuação) 3.8: O Gás de Elétrons  Três simplificações importantes: ET (ETL), gás ionizado e gás perfeito* 3.8.1: Gases Perfeitos (GP): Um<energia de interação> entre partículas << energia térmica delas Quando isso ocorre?escrita: ---------------------------- * num gás perfeito, só existem as interações colisionais entre as partículas. (isto é, não existem forças de atração/repulsãointermoleculares).

10.  Ocorre quando a interação é pequena ou quando o gás é suficientemente rarefeito. »» A relação entre a pressão, a temperatura e a densidade de um GP é: (3.22) , sendo k a cte. de Boltzmann. » Em termos do número total de partículas N no volume V, , sendo o nº de moles, o nº. de Avogadro e R= 8,31 x 107 erg K-1 mol-1 é a constante dos gases. Como, segue que

11. »» INFORMAÇÃO PRÁTICA:  um gás totalmente ionizado comporta-se como um GP, mesmo a densidades relativamente altas. »» Comparação entre as Etérmica e Ec de interação coulombiana num GP: para partículas com separação média der, (3.22), sendo .  o volume ocupado por uma partícula é e seja e T ~107 no interior estelar; com isso, e ;

12. » Por outro lado, <Et > ~ (3/2) kT ~ 10-9 erg ~ 103 eV, isto é, Ec << Et  Se a condição acima não for satisfeita,   desvio clássico do GP  Outros casos de desvio: degenerescência, ioniz. Incompleta, criação de pares 3.8.2: Funções de Distribuição »» A distribuição das partículas de um gás em função de sua energia depende da estatística aplicada. a) No limite clássico, para partículas idênticas e distinguíveis, aplica-se a estatística de Maxwell-Boltzmann:

13. (3.23), sendo o peso estatístico do nível E, ≡ ≡nº de configurações com energiaE /cm3 . é o fator de degenerescência, que é f(n) . » Para baixas densidades, e para altas, ; Para fótons, . b) Para partículas idênticas e indistinguíveisde spin semi-inteiros (≡ férmions), como elétrons, prótons e neutrinos, a estatística a aplicar é a de Fermi-Dirac:

14. (3.24) c) Para partículasidênticas e indistinguíveis,de spininteiro (bósons), como fótons, partículas alfa e mésons  , há que aplicar-se a estatística de Bose-Einstein: (3.25) »» Além da densidade de partículas usa-se às vezes o fator de ocupação, ou índice de ocupaçãof(E) = n(E)/g(E), que é ~

15. ~ A probabilidade de ocupação do estado de energia E. • Para a distribuição de MB,e se (baixas densidades) , f(E)<< 1 . »» O que mais nos ocupará no interior estelar? a Pg é exercida essencialmente pelos elétrons, que seguem a Estatística de FD; nesse caso, (3.26) E nas altas densidades em questão, e obtemos , O que não é novidade. PORQUE??

16. » Em condições de T e n tais que (ocorre em baixas n), FD MB 3.8.3: Pressão de um Gás Perfeito PRESSÃO≡TRANSFERÊNCIA DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO P = F / unidade de área ≡ taxa de transferência de QM; » Seja uma partícula com QM que incide numa superfície S no gás;  Se a reflexão for especular (elástica), a QM transferida para S será: (ver Fig. 3.1) 

17. Fig. 3.1 Sejao número de partículas com QM entre que incidem na superfície unitária/unid. de tempo, vindas de direções que fazem com a normal ângulos no intervalo ; Nessas condições, a Pressão no cone d pode ser escrita: e a pressão total no interior do gás será, (3.27) ;

18. » chamando a densidade de partículas movendo-se nas condições em questão, pode-se escrever (3.28) , onde é a velocidade das ptclas. de QM a componente de v ao longo da normal n . »» Em condições de ET, a distribuição de velocidades é ISOTRÓPICA  ∝ ângulo sólido subtendido pela figura 3.1; daí,  = dS/r2e como teremos que =2 sin d e (3.29) sendoa densidade de ptclas. com QM entre

19. » de 3.27, 3.28 e 3.29, (3.30), para cuja integração temos de conhecer (cf. efeitos relativísticos) e a estatística adequada.  da eq. 3.30  EQUAÇÃO DE ESTADO das partículas. »» Estamos interessados no momento num gás de elétrons; Não muito próximo ao centro da , pode-se considerar que , isto é, FD→MB, e aestatística dos e-pode ser escrita: (3.31), sendo n = densidade total de ptclas./cm3 e

20. »» Assim, a Eq. de ESTADO de um gás Perfeito, Monoatômico, não-degenerado, não-relativístico e sem radiação, será: (3.32) , sendo (é possível mostrar que o termo = 1, o que nos faz recuperar (3.22). 3.8.4: O Peso Molecular Médio A equação de estado deum gás perfeito formado de partículas de diferentes espécies, pode ainda ser escrita na forma que  , com , sendo µ o peso molecular médio e .

21. » Nessas condições. Podemos definir µcomo(3.33) •  ou seja,µ é a massa média das partículas do gás, • em unidades de mH. • »» ChamandoX, Y e Z as frações por massa de H, He e elementos pesados, podemos obter uma relação µ(X, Y,Z) : • EX.: um gás de H puro, completamente ionizado; a massa de H por cm3 é , o número de núcleos de H /cm3 é e o número de partículas livres /cm3 é ;  de 3.33, ; • CASO GERAL:  Tabela 3.1

22. »» Pode-se então escrever para a densidade total, sendoZ um valor médio.

23. » Com , resulta (3.34) e sendo , (3.35) EXs.: H puro: µ= ½ ; He puro: µ = 4/3; “metais” puros:µ=2; Gás totalmente ionizado: »»» Pode-se definir também um Peso Molecular relativo à me: µ

24. (3.35), que é o Peso Molecular/elétron livre. Análogamente ao H, pode-se escrever: (3.36)e com , (3.37)e (3.38). EXs.: H puro: µe= 1; Hepuro: µe= 2; Gás ionizado em geral:  Tab. 3.2

25. 3.8.5: Degenerescência »» A densidade de partículas de energia E e o índice de ocupação correspondente se relacionam por ;

26. » Para uma distribuição contínua de estados de energia, definimos a densidade de estados = o número de estados por unidade de volume com energia entre E e E + dE. » No espaço de quantidade de movimento, definimos analogamente como o nº de estados /unidade de volume, tal que a componente do vetor esteja no intervalo , etc... » o Princípio de Heisenberg nos diz que: e a incerteza na posição associada a partículas de quantidade de movimento é: que dá um volume associado de incerteza de:

27. » Para que os estadospossam ser resolvidos e identificados, cada volume deve ser associado a umestado.  • portanto, o nº de estados / unidade de volume = inverso do (volume de incerteza)-1, Em ET as quantidades de movimento são isotrópicas, e como para estudar a DEGENERESCÊNCIA, devemosexaminar a densidade de estados com entre , segue que: • (3.39) . ≡ dois graus de polarização

28. »» Como a pode ser escrita , de 3.39 → (3.40)e sendo , pode finalmente ser escrita como: (3.41) . ►► ISTO É, À medida em quen , os e-são forçados a ocupar estados de maior , pois os de menor estarão ocupados, segundo o limite estabelecido em (3.41).

29.  MORAL DA HISTÓRIA?? Nesse caso, os e -de maior  contribuição importante   pressão do gás; é a chamada PRESSÃO DE DEGENERESCÊNCIA. • ►► ILUSTRAÇÃO DA DITA CUJAP Deg: • Façamos um corte no espaço de fase a seis dimensões (Fig. 3.2):

30. Fig. 3.2 1) baixas n:é a de MB (curva a)[n = f(T)] 2) dobrando o nº dee- para a mesma T, também dobra n(px)(curva b) 3) esse comportamento NÃO continua indefinidamente: tem um limite, devido ao Princípio de Pauli (cf. Eq. 3.41). As células de menor p são ocupadas primeiro e os e-adicionais terão de ocupar estados de > energia  curva deformada, MB , f(T) (curvas c, d, e, c/ graus de Deg. crescentes) 4) estágio de Deg. Completa: todas as células abaixo de pfocupadas (f)

31. log Teff