Análise de Risco

Análise de Risco Fundamentos de Estatística (1) Prof. E.A.Schmitz

Escolas de probabilidade • Lógica • Empírica • Subjetivista

Escola lógica • Baseado em simetria • Princípio da razão insuficiente de Laplace • Def: Se um evento incerto apresenta N resultados, equiprováveis, mutuamente exclusivos e coletivamente completos e se um evento A contém Na destes resultados, a probabilidade do evento A é P(A)=Na/N.

Empírica • Baseado em experimentos • Observação de resultados • Def: Se um evento incerto ocorre um grande número de vezes M e o resultado de cada tentativa é independente dos anteriores e se um evento A ocorre Ma vezes então a probabilidade do evento A é igual a sua freqüência relativa, isto é P(A)=Ma/M.

Subjetivista • Baseado na percepção individual sobre o resultado de um processo • “Probabilidades não existem” (De Finetti) • Def: A probabilidade subjetiva de um evento A é um número entre 0 e 1, representando o grau de crença do indivíduo na ocorrência do evento A. • Subjetividade deve ser coerente.

Probabilidade – visão empírica • Espaço amostral: conjunto de pontos que representa o resultado de um experimento. • Quando o experimento é repetido - cada resultado aparece com uma determinada freqüência. • Aumentando o número de vezes do experimento : cada resultado começa a aparecer com uma determinada freqüência com relação aos outros. • Probabilidade: freqüência relativa de ocorrência de cada resultado quando o número de experimentos 

Variável aleatória • Variável aleatória (VA): variável numérica definida num espaço amostral . • Variável aleatória discreta (X): • o número de valores para os quais X tem probabilidade diferente de zero é finita • cada intervalo da escala real contém um número finito de valores

Função de probabilidade X= { x1,x2,….xn} e {p1,p2,….pn} • f(xi) = pi se x=xi (f(xi) = 0 se x  xi) • f(x) é a função de probabilidade de X.  f(xi) = 1 P(a <X<b) =  f(xi) xi in { a..b} • Se a variável aleatória X é continua: f(x) >= 0 f(x) dx=1

Exemplo 1 • Função de probabilidade para a variável aleatória X = “total de pontos obtidos ao jogar um dado”.

Função distribuição cumulativa • Funções discretas • F(b) = P(X <= b)=  f(xi) onde xi in { -..b} • Funções contínuas • F(b) = f(x) dx x in { -..b} • P( a <X<b ) = F(b) - F(a)

Exemplo 2 Função distribuição cumulativa para o total de pontos obtidos ao jogar um dado. 1 2 3 4 5 6

Exemplo 3-Total de pontos ao jogar dois dados

Exemplo 3 Função de probabilidade para o total de pontos obtidos ao jogar dois dados.

Parâmetros das distribuições: Média m =  xi*f(xi) - discreta m =  x* f(x) dx - discreta • Média representa o centro de massa do gráfico

Parâmetros das distribuições: Variância s2= (xi - m)2*f(xi) - discreta s2 = (x- m )2* f(x) dx - contínua Variância representa a dispersão desvio padrão = s = s2 =

Exemplo 4 • X = “valor obtido ao jogar uma moeda”. • Cara = 0, Coroa = 1 X = {0,1} {1/2,1/2} m= 0*1/2+1*1/2=1/2 s2 = (0-1/2)2*1/2 + (1-1/2)2*1/2= 1/4

Distribuição contínua 0..1 • X = variável contínua entre 0..1 onde todos os valores são eqüiprováveis. • m=  x* f(x) dx =  x* 1 dx= x2/2 ]= 1/2 • s2 =  (x- m )2* f(x) dx=1/12

Distribuição Triangular X = variável contínua onde : otimista (a), mais provável(m) e pessimista (b) • m= (a+m+b)/3 • s2= (a (a-m)+b(b-a)+m(m-b))/18

Teoremas importantes (1) Parâmetros das distribuições Seja X uma VA média=m e desvio padrão =s • Teorema 1: se X1=c1*X + c2 • Então X1 têm como parâmetros • m1 = c1*m + c2 • s12= c12 *s2 • Se c1=(1/s) e c2=(-m/s) então...

Teoremas importantes (2) Soma de n variáveis aleatórias independentes Z=  xi i  {1..n} • Teorema 2: Se (mi,si ) são os parâmetros de xi. então Z tem como parâmetros: • m=  mi • s2=  si2

Distribuição Normal (1) • f(x) = k*e -1/2 ((x- m)/ s)2 • k = 1/(s.2)

Distribuição Normal (2) • m =0 e s=1..10

Distribuição Normal (3) Normal Reduzida (0,1)

Distribuição Normal (4)  = cumulativa da normal reduzida

Distribuição Normal (5) • Números importantes da normal reduzida: P(m-s  x m-s)= 0.68 (68%) P(m-2s  xm+2s)=0.95 (95%) P(m-2.3s  xm+2.3s)=0.98 (98%) P(m-3s  xm+3s)=0.995 (99,5%)

Teoremas importantes (3) • Uso da distribuição normal reduzida Seja X normal e sua distribuição cumulativa com parâmetros F (m , s). • Teorema 3: Seja  a normal cumulativa reduzida (m=0 e s=1), então: • P(a<x<=b)=F(b)-F(a)=((b- m)/ s )-((a- m)/ s )

Teoremas importantes (4) Soma de n variáveis aleatórias independentes Z=  xi i  {1..n} onde xi segue uma normal. • Teorema 4: Se (mi, si) são os parâmetros de xi . Então Z segue uma distribuição Normal com : • Média(Z) = m=  mi • Variância(Z) = s2=  si2

Teoremas importantes (5) • Teorema 5- Teorema central do limite (TCL) (forma forte) Z=  xi i  {1..n} xi (distribuição qualquer) • Se (mi, si) são os parâmetros de xi • então Z tende a uma distribuição normal: • Média(Z) = m =  mi • Variância(Z) = s2 =  si2 (n  , na prática n>30)

Exercícios com CoRisco (1) 1-Simule um jogo de cara ou coroa. Verifique a freqüência do número de caras com: 10, 100 e 1000 lançamentos. 2-Simule o lançamento simultâneo de 20 moedas. Verifique a freqüência relativa do número total de caras para 10, 100 e 1000 lançamentos. Calcule a média e a variância do número total de caras. 3-Obtenha uma aproximação empírica para a soma de de 12 variáveis aleatórias que seguem uma distribuição uniforme 0..1. Calcule a média e a variância e faça um gráfico da distribuição de freqüência. 4-Obtenha uma aproximação empírica para a soma de n (n= 2,5,10) distribuições triangulares. Suponha que a distribuição i tem como parâmetros (i-1,i,i+1).Calcule a média e a variância e compare com os resultados teóricos.

Exercícios com CoRisco (2) 4- Obtenha uma aproximação empírica para o produto de duas distribuições normais com média =0 e variância =1. 5-Obtenha estimativas para a função Máximo( Xi) (i=2,5,10) que representa a distribuição de probabilidade do máximo dentre i VAs cada uma delas representando uma Normal(0,1). 6-Compare os resultados obtidos nos exercícios 2 a 4 com aqueles obtidos usando-se o TCL. 7-Suponha um fluxo de caixa com 20 valores, cada um deles seguindo uma triangular com valores (8,10,12) descontados a uma taxa de 1% por período. Obtenha uma aproximação empírica para a distribuição de probabilidade do VPL e compare com o resultado obtido usando o TCL. Comente o resultado. O valor presente de um fluxo de caixa futuro, n períodos a frente é de: VP= VF/(1+t)n

Geração de números aleatórios (1) • Seja X uma VA uniforme 0..1 • Seja Y uma VA com distribuição cumulativa G(y). • Queremos: • P(Xx)=P(Y  y) (para todo y) • P(X x)=U(x)=x • U(x) = G(y) • x=G(y)  y=G-1(x)

F(t) 1 (t) F-1(t) A M B t t Função de Densidade de Probabilidade Triangular Gerando amostras com densidade de probabilidade f(t) Geração de números aleatórios (2)

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