Problema 1: Trobar la recta que passa pel punts A(2, -3) i B(-1, 3)

1. Problema 1: Trobar la recta que passa pel punts A(2, -3) i B(-1, 3) Gràficament, es tractaria de situar els punts en uns eixos de coordenades… … i de dibuixar la recta que passa pels dos punts…

2. Aquest pot ser el vector AB=(-1, 3) - (2, -3) = (-3, 6) Problema 1: Trobar la recta que passa pel punts A(2, -3) i B(-1, 3) Vejam com es feria analíticament…a la vegada que representam gràficament tot el que anam trobant… Començam per trobar un vector que tengui la mateixa direcció que la recta… B A

3. Agafant com a vector director AB=(-3, 6) i un dels punt de la recta, per exemple A(2, -3), podem escriure cadascuna de les equacions de la recta: x = 2 - 3t y = -3 + 6t Problema 1: Trobar la recta que passa pel punts A(2, -3) i B(-1, 3) (-3, 6) (2, -3) L’equació vectorial: (x, y) = + t· …agafant coordenada a coordenada, obtenim… l’equació paramètrica: …aïllant el paràmetre en cada equació i igualant, obtenim… l’equació contínua: 6x – 12 = – 3y – 9 …multiplicant en creu, obtenim… …aïllant la “y”, obtenim… l’equació explícita: Que simplificant queda…

4. x = 2 - 3t y = -3 + 6t Problema 1: Trobar la recta que passa pel punts A(2, -3) i B(-1, 3) Afegirem una pregunta a l’enunciat: Troba 2 punts de la recta diferents als punts A i B. El més còmode és partir de les equacions paramètriques donant valors al paràmetre t Equacions paramètriques: Per exemple, per t = 1: Ens dona el punt ( -1, 3) Podem seguir trobant punts igualment donant valors diferents al paràmetre, però provarem de fer-ho també utilitzant una altre equació que no sigui la paramètrica. Per exemple, teníem l’equació explícita que ens havia donat: Trobar punts a partir d’aquesta també és molt fàcil, simplement hem de donar un valor a “x” i trobar el valor corresponent a la “y”: Per exemple, si prenem x = 4, I obtenim el punt (4, - 7)

5. x = 2 - 3t y = -3 + 6t Problema 1: Trobar la recta que passa pel punts A(2, -3) i B(-1, 3) Troba 2 punts de la recta diferents als punts A i B. Afegirem una altra pregunta a l’enunciat: Comprovar si els punts C(-2, 4), D( - 3, 7) i E(4, -7) i F(5, 6) són de la recta. Comprovarem si C i D són de la recta utilitzant les equacions paramètriques i després comprovarem si E i F són de la recta utilitzant l’equació explícita, així veurem com es fa utilitzant dos mètodes diferents. Equacions paramètriques: Per comprovar si C és de la recta, col·locam les seves coordenades a les equacions i observem si es compleixen per algun valor del paràmentre “t”. Aquest valor ha de ser única ambdues equacions. Observam que cada equació ens dona un valor diferent pel paràmetre, això vol dir que el punt C no és de la recta.

6. Problema 1: Trobar la recta que passa pel punts A(2, -3) i B(-1, 3) Troba 2 punts de la recta diferents als punts A i B. Comprovar si els punts C(-2, 4), D( - 3, 7) i E(4, -7) i F(5, 6) són de la recta. Repetim el mateix procediment per comprovar si D és de la recta: Observam que cada equació ens dona el mateix valor pel paràmetre, això vol dir que el punt D sí és de la recta. Utilitzarem ara l’equació explícita per comprovar si E és de la recta: Equació explícita: Simplement hem de substituir els valors a l’equació i veure si aquesta es compleix: Si que es compleix, això vol dir que el punt E sí és de la recta. Comprovem ara el punt F: Però això no és cert! no es compleix l’equació, això vol dir que el punt F no és de la recta.

7. Problema 1: Trobar la recta que passa pel punts A(2, -3) i B(-1, 3) Troba 2 punts de la recta diferents als punts A i B. Comprovar si els punts C(-2, 4), D( - 3, 7) i E(4, -7) i F(5, 6) són de la recta. Afegirem una altra pregunta a l’enunciat: Trobar l’angle que forma la recta amb l’horitzontal. L’angle demanat és el que es representa a la gràfica: Per trobar aquest angle, si tenim l’equació explícita, que sempre és de la forma y = mx + n,és molt fàcil, ja que la tangent d’aquest angle és sempre el valor m (pendent de la recta). La nostra equació explícita era: que té -2 com a pendent, llavors la tangent de l’angle que cercam (que li direm a) serà -2. Trobam l’angle que ens demanen: Observació: recorda que sempre hi ha dos angles que tenen la mateixa tangent: a i a+180, d’aquests dos angles, sempre s’agafa el que està entre 0º i 180º.

8. Surten de les coordenades del punt A(-4, 1) Problema 2. Troba l’equació del punt-pendent de la recta que passa per A(-4, 1) i que forma un angle de 30º amb l’horitzontal. Primer hem de trobar la pendent (m) d’aquesta recta calculant la tangent de l’angle: Ara podem escriure l’equació:

9. Problema 2. Troba l’equació del punt-pendent de la recta que passa per A(-4, 1) i que forma un angle de 30º amb l’horitzontal. Afegirem una altra pregunta a l’enunciat: Troba l’equació explícita i les equacions paramètriques: Per trobar l’equació explícita només cal que aïllem la y de l’equació del punt-pendent: Per escriure les equacions paramètriques, necessitam un punt i un vector director. El que farem és extreure dos Punts de l’equació explícita: Equació explícita Si donam el valor x = 0, llavors obtenim I si donam el valor x = - 4, llavors obtenim

10. Problema 2. Troba l’equació del punt-pendent de la recta que passa per A(-4, 1) i que forma un angle de 30º amb l’horitzontal. Troba l’equació explícita i les equacions paramètriques: Ara ja tenim dos punts de la recta A i B(-4, 1) Podem trobar un vector director: (Per escriure les equacions paramètriques, triam el punt B perquè té les coordenades més senzilles):

11. Fí Esper que els radicals del darrer exercici no us hagin espantat!!!!