Analýza průběhu funkce

1. Analýza průběhu funkce je zvykem provádět tuto analýzu v předem daném pořadí úkonů (je výhodou, je-li k dispozici graf funkce(viz prezentace grafyfx) • určení definičního oboru funkce (s případným výpočtem limit ve významných bodech) • určení bodů na osách souřadných • vyhledání stacionárních bodů a jejich klasifikace (lokální extrémy, inflexe) • sestrojení tečen ve významných bodech

2. Rozbor průběhu funkce předvedeme na příkladě programátorsky (pro potřeby matematického software – pro výpočty a konstrukci grafů) 2*x^3-6*x^2-18*x+7

3. Pustíme se nyní do rozboru průběhu funkce. Již při prvním pohledu na funkční předpis je zřejmé, že definiční obor starosti dělat nebude. Je vidět, že všechny operace jsou proveditelné pro všechna reálná čísla: Ani nemusíme počítat limity na hranicích definičního oboru, nanejvýš na jeho koncích, viz později. Takže druhý krok. Každý naučený student ví, že je užitečné určit průsečíky s osami. Zpaměti to půjde jen pro bod na ose y:

4. Pro průsečíky s osou x dostaneme k řešení kubickou rovnici. A tu v obecné podobě se neučí řešit nikdo (když nepočítáme studenty oboru matematika). Teoreticky by v tomto případě exaktní řešení šlo získat, ale za cenu ztraceného večera, v mnoha úlohách už by to ale stejně nebylo možné a bude nutno řešit úlohy pouze numericky. Přibližnou polohu kořenů poznáme z grafu:

5. Předveďme nyní, jak lze numericky danou rovnici řešit. Ani nemusíme shánět speciální matematický software, MS excel disponuje dostatečnou podporou numerických výpočtů. Je třeba jen aktivovat řešitele.

6. podmínky nastavme tak, abychom vyhledali nejmenší kořen:

8. Naučit se používat řešitele excelu je docela užitečné. Umí nejen řešit rovnice, ale vyhledává i řešení složitěji definovaných úloh, např hledá extrémy funkcí. Jeho působnost se neomezuje na funkce jedné proměnné. Jeho použití není přitom závislé na tvaru použitých funkcí. Jde tedy o velmi silný prostředek numerické matematiky. Pokud ale řešíme pouze dílčí úlohu, např. rovnici o jedné neznámé, máme na výběr pohodlněji ovladatelné programy. Předveďme na programech: Funkce Math Studio wxMaxima

9. Program Funkce vyřeší úlohu o řešení rovnice převodem na určení souřadnic průsečíků dvou čar. Rychlé, pohotové, málo přesné.

10. Math Studio řeší rovnice dokonale Ale o tak přesné vyjádření kořenů jsme snad ani nestáli. Raději požádejme o numerické řešení. (Některé rovnice půjde řešit pouze numericky.)

11. V průběhu zadávání jsme požádáni o meze intervalu, v němž hledáme kořen. Dopočítejte další kořeny.

12. Program Maxima, zvlášť je-li provozován v prostředí wxMaxima, poskytuje dokonalý servis pro řešení rovnic a jejich soustav. Program řešení nevydal. Tak jednoduše to zřejmě nepůjde

13. Vyberme z nabídky pro rovnice:

14. Samozřejmě jsme mohli využít specifičnosti zadání naší rovnice a mohli jsme požadovat kořeny polynomu:

15. Přejděme k odhalování extrémů funkce. Z grafu je vidět, že naše funkce má jedno lokální maximum a jedno lokální minimum. A to jmenujeme jen ty extrémy, které patří mezi stacionární body. (Globální extrémy můžeme vypočíst pomocí limit (např. pomocí wxMaxima)).

16. K vyhledání extrémů můžeme přistupovat dvojím způsobem: • hledat největší nebo nejmenší funkční hodnotu v daném intervalu a nestarat se o nic více (nemusíme mít žádné vědomosti z diferenciálního počtu) • hledat ten bod na křivce, v němž má graf vodorovnou tečnu – stacionární bod, v něm funkce může nabývat extrémní hodnoty (tady musíme vědět, jak stacionární bod určíme)

17. Prvý přístup uplatňuje MS excel ve svém řešiteli: Začneme stejně jako při řešení rovnice:

18. Jediná změna proti řešení rovnice je v zatržení volby max A zde je řešení: Při hledání lokálního minima zatrhneme volbu min a zadáme jiné omezující podmínky. Proveďte!

19. Předveďme nyní druhý přístup k řešení. Budeme alespoň předstírat, že z teorie víme, že extrém může nastat v tzv. stacionárním bodě, tj. tam, kde 1. derivace funkce je rovna nule. Proces derivování bývá k získání zkoušky nekompromisně požadován, ale dá se uznat, že v některých situacích bychom se mohli spokojit s tím, že derivaci dodá vhodný počítačový program. V naší nabídce jsou dva: Math Studio wxMaxima Předveďme:

20. A získanou derivaci položíme rovnu nule. A rovnici v Math Studiu jsme už řešili:

21. V našem příkladě je určení y-ových souřadnic banalitou, nemusí tomu ale tak být vždy. Pro práci se složitějším funkčním předpisem je předurčen program Analyza to je samozřejmě možno považovat za nulu Stačilo zadat červeně zapsaný text a použít tlačítko Vypočti. Informovanější čtenáři už dokonce teď vědí, že v bodě x = -1 je lokální maximum, neboť 2. derivace je v tomto bodě záporná.

22. Získali jsme x-ové souřadnice obou stacionárních bodů.

23. Stejným postupem se dostaneme k souřadnicím inflexního bodu. Jen je třeba vědět, že v inflexním bodě je druhá derivace funkce rovna nule. x-ovou souřadnici inflexního bodu už určíme zpaměti: x = 1

24. Funkce Analýza pomůže inflexní tečnu určit. A rovnici tečny, přímky procházející daným bodem a mající danou směrnici už umí studenti střední školy:

25. graf i s inflexní tečnou

26. V ukázkovém příkladě nebylo použití různých matematických programů nezbytně nutné. Zručný počtář byl schopen skoro vše spočítat vlastními silami ((ale ani na milimetrovém papíře se sebelíp ostrouhanou tužkou by nevykreslil takové pěkné grafy). Ve většině případů však se bez použití numerických výpočtů neobejdeme. A je zřejmé, že se dnes už nebude numerika dělat s pomocí logaritmických tabulek a sebechytřejších „ručních“ výpočtů. Zvolme jednoduchou funkci: Pomocí programu Math Studio si obstaráme potřebné údaje pro vyhledání jednoho stacionárního bodu a bodu inflexního:

27. y y’ y’’ Sledujte polohu význačných bodů funkce v souvislosti s průběhem 1. a 2. derivace funkce.