Aljabar Linear

1. BASIS DAN DIMENSI KELOMPOK 10: Etikaputri Huznul HIDAYATUL PUTRI NURUL LINORA

2. Definisi • Misalkan V adalahsebarangruang vector dan S = merupakanhimpunanberhinggadari vector-vektorpada V, maka S kitanamakan basis untuk V jika: • Sbebas linier • Smerentang V

3. Contoh 29 • Misalkan • , • , • . • Dalam contoh 23 kitatelahmenunjukkanbahwaadalahhimpunanbebas linear dalam. Karenasetiap vector padadapatdituliskansebagaimaka S merentangsehingga S adalahsebuah basis. Basis tersebutdinamakan basis bakuuntuk.

4. Contoh 30 • Misalkan , dan. Perlihatkanbahwaadalah basis untuk. • Jawab: • Untukmemperlihatkanbahwa S merentang di , makakitaharusmemperlihatkanbahwasebarang vector dapatdinyatakansebagaikombinasi linear • Dari vector-vektorpada S. Denganmenyatakanpersamaaninidalamkomponen-komponennyamakaakanmemberikan (4.4)

5. Jadi, untukmemperlihatkanbahwa S merentang V, makakitaharusmemperlihatkanbahwa system (4.4) mempunyaipemecahanuntuksemuapilihan. Untukmembuktikanbahwa S bebas linear, kitaharusmemperlihatkanbahwasatu-satunyapemecahandari • (4.5) • adalah • sepertisebelumnya, jika (4.5) dinyatakandalamkomponen-komponennya, makapembuktianbebas linear akandireduksimenjadipembuktianbahwa system tersebuthomogen. (4.6) • Hanyamempunyaipemecahan trivial. Perhatikanbahwa system (4.4) dan system (4.6) mempunyaimatrikskoefisien yang sama. Jadi, menurutbagian-bagian a, b dan d dariteorema 15 padabagian 1.7 kitadapatsecaraserempakmembuktikanbahwa S bebas linear danmerentangdenganmemperlihatkanbahwamatrikskoefisien

6. Pada system (4.4) dan system (4.6) dapatdibalik. Karena • Makajelaslahdariteorema 7 bagian 2.3 bahwa A dapatdibalik. Jadi, S adalahsebuah basis untuk.

7. Definisi • Sebuahruang vector taknol V dinamakanberdimensiberhingga (finite dimensional) jikaruang vector tersebutmengandungsebuahhimpunanberhinggadari vector-vektoryang membentuksebuah basis. Jikatidakadahimpunansepertiitu, maka V dinamakanberdimensitakberhingga (infinite dimensional). Tambahanlagi, kitaakanmenganggapruang vector nolsebagairuang vector berdimensiberhinggawalaupunruang vector tersebuttidakmempunyaihimpunanbebas linear, sehinggabasispuntidakada.

8. Teorema 9 • Jikaadalah basis untukruang vector V, makasetiaphimpunandenganlebihbesardari n vector adalahtakbebas linear

9. Teorema 10 • Sebarangdua basis untukruang vector berdimensiberhinggamempunyaijumlah vector yang sama.

10. Definisi: • Dimensisebuahruang vector V yang berdimensiberhinggadidefinisikansebagaibanyaknya vector pada basis untuk V. Tambahkanlagi, kitamendefinisikanruang vector nolmempunyaidimensi nol. • Ataubisadikatakan • Dimensi = nomorbarisdarivektor

11. Teorema 11 • Jikaadalahsebuahhimpunan n vector bebas linear padasebuahruang V yang berdimensi n, maka S adalahsebuah basis untukV • Jikaadalahsebuahhimpunan n vector yang merentangruang V yang berdimensi n, maka S adalahsebuah basis untukV • Jikaadalahsebuahhimpunan n vector bebas linear padaruang V yang berdimensi n dan r < n, maka S dapatdiperbesarmenjadi basis untuk V; yaknivektor-vektorsehinggaadalahsebuah basis untuk V

12. Latihan 4.5 no.8 • Tentukanlah dimensidan basis untukruangpemecahansistemini • 31 +2 + 3 + = 0 • 1 - 2 + 3 - 4 = 0 • Ubahpersamaandiatasmenjadimatriks yang diperbesarlalulakukanoperasibariselementer

13. 1 + 3 = 0 • 2 + 3 + 4 = 0

14. Misal : 1 + 3 = 0 1 = - 3 1 = - 2 + 3 + 4 = 0 2 = - 3 - 4 2 = - -

15. = = + = + • Yang memperlihatkanbahwa vector-vektornyaadalah , • Merentang ruangpemecahantersebut. Karena vector-vektortersebutjugabebas linear, makaadalahsebuah basis. • Dan ruangpemecahantersebutadalahruangberdimensidua.

16. RuangBarisdanRuangKolomMatriks Definisi Misalkan A adalah suatu matriks m ×n, a ··· 11a12 21a22 a1na2n a ··· A= .. . . . .. am1am2 . amn . ···a ··· ··· vektor-vektor 11a21a22 r=a 1n 1 r2= a21 a2n : : am2amn rm= am1 ··· Terbentukdaribaris-baris A yang kitanamakanVektor-vektorbaris A RuangBaris RuangKolom Group 10

17. RuangBarisdanRuangKolomMatriks Definisi Misalkan A adalah suatu matriks m ×n, a ··· 11a12 21a22 a1na2n a ··· A= .. . . . .. am1am2 . amn . ··· vektor-vektor a11 a12 a 1n a21 a22 a2n : am1 c1= : am2 : amn cn= c2= terbentukdari kolom-kolomAdisebutsebagaivektor-vektorkolom dariA. RuangBaris RuangKolom Group 10

18. Definisi (Vektor-vektor baris dankolom) SubruangRn yang direntangolehvektor-vektorbaris yang dinamakanruangbaris(row space) A SubruangRm yang direntangolehvektor-vektorkolomdinamakanruangkolom(column space) A RuangBaris RuangKolom Group 10

19. Contoh Misalkan P = Vektor-vektorbarismatriks P adalah : r1 = r2= Vektor-vektorkolommatriks P adalah : c1 = , c2 = , danc3 = RuangKolom RuangBaris Group 10

20. Latihansoal Daftarkanlah vektorbarisdanvektorkolommatriks P = Vektor-vektorbarismatriks P adalah : r1 = ( 2, -1, 0, 1 ),r2 = ( 3, 5, 7, -1 ) r3 = ( 1, 4, 2, 7) Vektor-vektorkolommatriks P adalah : c1 = , c2 = , c3 = ,danc4= RuangKolom RuangBaris Group 10

21. Teorema 12 Operasibariselementertidakmengubahruangbarissebuahmatriks Teorema 13 Vektor- vektorbaristaknolberbentukeselonbarisdarimatrik A membentuk basis untukruang basis A RuangBaris RuangKolom Group 10

22. Contoh 40 Carilah sebuah basis untukruang yang direntangdarivektor-vektor : v1 = (1, -2, 0, 0, 3) v2 = (2, -5, -3, -2, 6) v3= (0, 5, 15, 10, 0) v4= (2, 6, 18, 8, 6) Penyelesaian : Ruang yang direntangolehvektor-vektoriniadalahruangbarisdarimatriks Denganmereduksimatriksdiatasmenjadieselonbaris, kitadapatkan : Vektor-vektorbaristaknolpadamatriksiniadalah basis untukruangbarisdarimatriksdiatas w1 = (1, -2, 0, 0,3) w2 = (0, 1, 3, 2, 0) w3 = (0, 0, 1, 1, 0) RuangBaris RuangKolom Group 10

23. Contoh 41 Carilah basis untukruangkolom A = Denganmentransposkanmatrikstersebut, kitadapatkan At = Denganmereduksimatriksdiatasmenjadieselonbaris, kitadapatkan : Jadi, basis ruangkolom A : w1 = danw2 = RuangBaris RuangKolom Group 10

24. Contoh 42 Carilah subhimpunanvektor-vektor v1 = (1, -2, 0, 3) v2 = (2, -5, -3, 6) v3 = (0, 1, 3, 0) v4 = (2,-1, 4, -7) v5 = (5, -8, 1, 2) yang membentuk basis untukruang yang direntangolehvektor-vektorini. Penyelesaian. c1 +2c2 + + 2c4 + 5c5 = 0 -2c1-5c2 +c3 - c4 - 8c5 = 0 -3c2 +3c3 + 4c4 + c5 = 0 3c1 +6c2 + - 7c4 +2c5 = 0 Matriks yang diperbesar : Dari matriksdiataskitareduksimatrikstersebutmenjadieselonbaris. Makadidapatlah : RuangBaris RuangKolom Group 10

25. Contoh 42 Dari matriksdiataskitareduksimatrikstersebutmenjadieselonbaris. Makadidapatlah : Sistempersamaan yang bersesuaian : I) c4 + c5 = 0 II) c2 – c3 + c5 = 0 c4 = -c5…........( Misal : c5 = t) c2 = c3 - c5 ….(Misal : c3 = s) c4 = -t c2 = s – t c1 + 2c3 + c5 = 0 c1 = -2c3- c5 c1 = -2s - t c1= -s – t c2= s – t c3= s c4= -t c5= t ......……(4.11) Kita mulaidenganmemecahkanpersamaanvektor c1. v1 + c2. v2+ c3. v3 + c4. v4 + c5. v5 = 0 ………………(4.12) Lalukitasubstitusikan (4.11) dalam (4.12) (-2s-t).v1 + (s – t).v2+ sv3-tv4+ tv5 = 0 -2s v1-tv1 + sv2-tv2+ s v3-t v4+ t v5 = 0 s (-2v1+ v2+ v3) + t (-v1-v2-v4 + v5) = 0 RuangBaris RuangKolom Group 10

26. Contoh 42 Lalukitasubstitusikan (4.11) dalam (4.12) (-2s-t).v1 + (s – t).v2+ sv3-tv4+ tv5 = 0 -2s v1-tv1 + sv2-tv2+ s v3-t v4+ t v5 = 0 s (-2v1+ v2+ v3) + t (-v1-v2-v4 + v5) = 0……………………….(4.13) Karena s dan t sebarang, makakitadapatmemilih s=1, t=0 dankemudian s=0, t= 1. inimenghasilkanpersamaanketergantungan (depency equation) -2v1+ v2+ v3 = 0 -v1-v2-v4 + v5 = 0 v3 = 2v1- v2 v5 = v1+v2+v4 …….(kombinasi linear darivektor-vektorterdahulu) Subhimpunanvektor-vektoradalah : {v1,v2,v4} RuangBaris RuangKolom Group 10

27. Teorema 14 Jika A adalahsebarangmatriks, makaruangbaris A danruangkolom A mempunyaidimensi yang sama. Contoh 43 A = Mempunyairuangkolomberdimensidua. JadiTeorema 14 menyatakanbahwaruangbarisituberdimensidua. Jadiuntukmenunjukkanbahwaruangbarisituberdimensiduamakakitareduksi A terhadapbentukeselonbaris, sehinggadidapat : Karenamatriksinimempunyaiduabaristaknol, makaruangbaris A berdimensidua. RuangBaris RuangKolom Group 10

28. 4.6 RANK • DAN PENERAPAN TERHADAP PENCARIAN BASIS

29. DEFINISI • CATATAN • Notasi rank suatu matriks : rank(A) atau r(A) • Rank matriksmenyatakanjumlahmaksimumvektor-vektorbaris/kolombebas linier. • Untukmencari rank matriksgunakanoperasitransformasielementerdenganmengubahsebanyakmungkinbaris / kolommenjadivektor nol. • Matriks yang hanyamempunyai 2 barisjikabaris yang satukelipatandaribaris yang satukelipatandaribaris yang lainnya, maka rank matriks = 1. • Rank didefinisikan sebagai dimensi ruang baris dan ruang kolom sebuah matriks.

30. CONTOH • -2b1 + b2 • Rank = 1

31. CONTOH • Selanjutnyakitareduksi A terhadapbentukeselonbarisyangmenghasilkan: • Karenamatriksinimempunyaiduabaristaknol, makaruangbaris A nerdimensidua. Sehingga, mempunyai rank dua.

32. Teorema 15 • a. • 𝐴 dapat dibalik • b. • 𝐴𝑥 = 0 hanya mempunyai pemecahan trivial • c. • 𝐴 ekuivalen baris dengan 𝐼𝑛 • d. • 𝐴𝑥 = 𝑏 konsisten untuk tiap-tiap matriks 𝑏 yang berukuran 𝑛 × 1 • Jika A adalah matriks 𝑛 × 𝑛, maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen satu sama lain

33. Teorema 15 • e. • 𝑑𝑒𝑡⁡(𝐴) ≠ 0 • f. • 𝐴 mempunyai rank 𝑛 • g. • Vektor-vektor baris A bebas linier • h. • Vektor-vektor kolomA bebas linier • Jika A adalah matriks 𝑛 × 𝑛, maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen satu sama lain

34. TEOREMA 16 Sebuah sistem persamaan linier 𝐴𝑥 = 𝑏 adalah konsisten jika dan hanya jika 𝑏berada pada ruang kolom 𝐴

35. Contoh44Misalkan Ax = b adalah sistem linear • = • pecahkandenganmenggunakanhasilituuntukmenyatakan b sebagaikombinasi linear darivektorkolom A.

36. Penyelesaian:Denganmenggunakaneliminasi gauss akanmenghasilkan: • Jadi, nilai b dalamvektor A dapatditulis • +3 =

37. TEOREMA 17 Sebuahsistempersamaan linear Ax = b akankonsistenjikadanhanyajika rank matrikskoefisien A samadengan rank darimatriks yang diperbesar

38. TEOREMA 18 Jika Ax = b adalahsistem linear konsistendari m persamaan n  bilangantakdiketahui, danjika A mempunyai rank r, makapemecahansistemtersebutmengandungn  –  r parameter.