Matematika összefoglaló

1. Matematika összefoglaló A középiskolai tananyag vázlatos áttekintése, gyakorló feladatok Összeállította: Deák Ottó mestertanár Általános- és Felsőgeodézia Tanszék Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

2. A bemutató vázlata • Bemutatkozás, a konzultáció célja • Tapasztalatok a matematika középiskolai oktatásáról • A középiskolai tananyag vázlatos és gyors áttekintés • A Matematika Tanszék mintadolgozatának megoldása • További mintapéldák megoldása • Tanácsok a matematika tanulásához Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

3. Bemutatkozás • Deák Ottó mestertanár, BME Építőmérnöki Kar, Általános- és Felsőgeodézia Tanszék • ELTE TTK Matematikus diploma • 33 év egyetemi oktatói tapasztalat • Kb. 40 év matematika korrepetálás középiskolásoknak • Az I. évf. 7. tankör osztályfőnöke a 2010/2011. tanévben • Segítőim az évfolyam mentorai (diák patrónusai) • Letöltés: http://www.agt.bme.hu/staff_h/deak Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

4. Tapasztalatok I. • A BME-n a matematika kiemelt fontosságú alaptárgy • A felvételin döntő jelentősége van • Minden műszaki szaktárgy rá épül • Alapkészségeket és gondolkodásmódot tanít • Az egyik első szűrő a mérnökké válás folyamatában • Szerepe és súlya a középiskolában • Megnövekedett tananyag • Csökkenő követelmények • Az érettségi szerepe a tudás kontrolljában Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

5. Tapasztalatok II. • Az elmúlt évek tapasztalata az egyetemi oktatásban: • egyre alacsonyabb szintű matematika-ismeretekkel érkeznek a hallgatók az I. évre; • a lexikális ismeretek nagy része hiányzik („benne van a függvény-táblában”!); • gyenge számolási készség (számológépek használata); • a feladat-megoldási rutin hiánya (időhiány, más elfoglaltság miatt); • a felvételinél nem követelmény az emelt szintű matematika érettségi. Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

6. Következmények • Az előbb felsorolt tényezők hatása az egyetemi oktatásra: • az alapozó tárgyakban magas bukási arány; • az egyetemen gyakran középiskolai anyagot is tanítani kell; • a nem kimondottan matek-alapú tárgyakban is nagy lemorzsolódás (pl. geodézia). • Védekezési mechanizmusok az egyetem részéről: • matematika-felmérő íratása; • felzárkóztató matematika-oktatás (középiskolás anyag megtanítása). Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

7. Matematika összefoglaló • Tematikus összeállítás • A középiskolai tananyag fontos fejezetei • Alapfogalmak, definíciók, főbb képletek, fontos tételek • Nem pótolja a tankönyveket! • Szerepe: • gondolatébresztés, • hiány-feltárás, • figyelmeztetés Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

8. Matematikai jelölések az anyagban • Szimbolikus jelölések az anyagban: • : a megadott értékek közelítően egyenlőek • : minden olyan elem, amely… • : létezik olyan elem, amely… • : az előzőekből következik • : eleme a magadott halmaznak • : nem eleme a halmaznak • : a megadott halmaz részhalmaza (valódi) • : halmazok egyesítése (uniója) • : halmazok közös része (metszete) • : a megadott elemek összege Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

9. Algebrai kifejezések I. • Algebrai kifejezés fogalma, elemei • Számok • Változók • Paraméterek • Műveleti jelek • Zárójelek • Számok a kifejezésekben, számítási élesség • Természetes számok • Egész számok • Racionális számok • Valós számok (irracionális szám fogalmával) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

10. Algebrai kifejezések II. • Műveletek algebrai kifejezésekkel • Zárójelek szerepe, felbontása • Racionális kifejezések, műveletek törtekkel • Kiemelés, összevonás, egynemű kifejezés fogalma • Fontosabb algebrai azonosságok Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

11. Hatványozás • Ismételt szorzás, egyszerűbb jelölés • Azonosságok a definíció alapján, kiterjesztése Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

12. Gyökvonás • Négyzetgyök, n-dik gyök fogalma • Műveletek gyökös kifejezésekkel Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

13. Törtek gyöktelenítése • Azonos átalakítások, a tört értéke nem változik Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

14. Oszthatóság I. • Az egész számok körében értelmezzük: • Osztandó, osztó, hányados, maradék fogalma • Maradék nélküli és maradékos osztás • Összetett és prím szám • Az algebra alaptétele Minden egész szám (sorrendtől eltekintve) egyértelműen bontható fel prímszámok szorzatára • Prímfelbontás előállítása • Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

15. Oszthatóság II. • Oszthatósági szabályok • 2: páros számok • 3: számjegyek összege osztható 3-mal • 4: utolsó két jegy osztható 4-gyel • 5: utolsó számjegy 0 vagy 5 • 6: páros és osztható 3-mal • 7: 3-as csoportok váltakozó előjelű összege osztható 7-tel • 8: utolsó három jegye osztható 8-cal • 9: számjegyek összege osztható 9-cel • 10: utolsó jegye 0 • 11: páros helyiérték összege – páratlan helyiérték összege osztható 11-gyel Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

16. Függvények I. • Kapcsolat 2 halmaz elemei között • Általában számhalmazok közötti művelet • Alaphalmaz, képhalmaz • Értelmezési tartomány • Df A, azon A-beli pontok halmaza, ahol az f értelmezhető • Értékkészlet • Rf B, azon B-beli pontok halmaza, amelyeket az f az Rf-beli pontokban felvesz értékként • Függvény inverze (megfordítása) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

17. Függvények II. • Függvények tulajdonságai • Monotonitás • Szigorúan monoton növő, monoton növő • Szigorúan monoton fogyó, monoton fogyó • Korlátosság • Felülről korlátos • Alulról korlátos • Korlátos Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

18. Függvények III. • Függvények tulajdonságai • Paritás • Páros • Páratlan • Határérték • Folytonosság • Az függvény folytonos az pontban, ha , • Periodikusság Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

19. Függvények IV. • Függvények megjelenítése, grafikonja • Függvények megadása • táblázattal • kifejezéssel • egyenlettel • grafikonnal Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

20. Függvények V. • Függvények transzformációja • f(λ·x) - széthúzás λ-szorosra az X tengely irányába • f(x+a) - eltolás balra a-val az X tengely irányába • c·f(x) -széthúzás c-szeresre az Y tengely irányába • f(x) + t - eltolás t-vel az Y tengely irányába Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

21. Elemi függvények • Tulajdonságok ismerete: a korábbi fogalmak értelmezése az adott függvényre • Fontosabb függvények: • Konstans függvény; • Lineáris függvény; • Abszolutérték függvény; • Másodfokú (parabola) függvény; • Egészrész, törtrész függvény; • Lineáris törtfüggvény; • Logaritmikus, exponenciális függvények; • Trigonometrikus függvények. Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

22. Elsőfokú (lineáris) egyenletek • Olyan algebrai kifejezések, amelyeket = jel kapcsol össze, és benne betűvel jelzett mennyiségek is szerepelnek. • Ezek lehetnek paraméterek és ismeretlenek is. • Az egyenlet megoldása az ismeretlen(ek) azon értékének meghatározása, amelyeket az egyenletbe helyettesítve, az egyenlőség két oldala azonosságot fejez ki. • A megoldást a mérleg-elv segítségével kapjuk meg (mi az?). Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

23. Lineáris egyenlőtlenségek • Megoldásuk: mint az egyenleteknél • Eltérés: ha negatív számmal osztunk vagy szorzunk, az egyenlőtlenség iránya megváltozik • A megoldás általában egy halmaz (intervallum) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

24. Többismeretlenes egyenletek • Megoldási módszerek: • kiküszöböléssel • helyettesítéssel • Lehetnek ellentmondásosak (nincs megoldásuk) vagy összefüggőek (végtelen sok megoldásuk van). Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

25. Másodfokú egyenletek • Általános alakjuk: • Megoldásukhoz a mérleg-elv nem elegendő • Megoldóképlet: • Összefüggések (Viéte-formulák, gyöktényező): Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

26. Exponenciális egyenletek • Az ismeretlen a kitevőben található • Azonosságok használatával: • átalakítás alakra, amiből az fv szigorúan monoton tulajdonsága miatt következik, ami megoldható; • új ismeretlen bevezetésével visszavezetés másodfokú egyenletre, aminek megoldása után kapjuk meg az eredeti egyenlet gyökeit. Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

27. Logaritmikus egyenletek • Az ismeretlen a logaritmus alatt található • Azonosságok használatával: • átalakítás alakra, amiből a fv szigorúan monoton tulajdonsága miatt következik, ami megoldható; • új ismeretlen bevezetésével visszavezetés első- vagy másodfokú egyenletre, aminek megoldása után kapjuk meg az eredeti egyenlet gyökeit. Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

28. Szögfüggvények I. • Derékszögű háromszögekben értelmezzük • Néhány elemi összefüggés: Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

29. Szögfüggvények II. • Addíciós azonosságok: • Kétszeres szögek: • Egyszerű átalakítások: Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

30. Szögfüggvények III. • További összefüggések: Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

31. Trigonometrikus egyenletek • Megoldásukhoz használni kell a trigonometrikus azonosságokat! • Az egyenletet átalakítjuk, hogy csak egy szögfüggvény szerepeljen benne. • A kapott egyenletet megoldjuk vagy visszavezetjük új ismeretlen bevezetésével másodfokú egyenletre. • A megoldás értelmezése: • periódikusság miatti additív konstansok alkalmazása; • a megoldás általában párban jelenik meg (két szögnegyedben is azonos a szögfüggvény értéke). Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

32. Sorozatok I. • Számok rendezett (sorszámozott) halmaza, más szóval egy leképezés a természetes számok halmazáról a valós számok halmazára: • Jellemző mennyiségei: • : a sorozat első tagja • : a sorozat n-dik tagja • : az első n tag összege • Definiálása • explicit képlettel • implicit (rekurzióval) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

33. Sorozatok II. • Fontosabb számsorozatok: • Számtani • a szomszédos tagok különbsége állandó • Mértani • a szomszédos tagok hányadosa állandó • Fibonacci • minden tag az előző kettő összege Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

34. Vektorok • Irányított szakasz a síkban vagy a térben • Jellemzői: • állása (melyik egyenessel párhuzamos); • iránya (merre mutat); • hossza (távolság a kezdő- és a végpont között). • Nem jellemző: • kezdő- vagy támadási pontjának helye • Műveletek vektorokkal • Számmal való szorzás • Összeadás, kivonás • Skaláris szorzás (két vektor szorzata egy szám) • Vektoriális szorzás (két vektor szorzata egy újabb vektor) • Ábrázolása koordinátarendszerben • helyvektor (kezdőpontja az origóI Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

35. Geometria I. • Fontosabb geometriai témák és fogalmak: • Síkidomok osztályozása • Háromszögek tulajdonságai, fontosabb tételei: • Thalesz tétel, Pithagorasz tétel • Számítási módszerek: sinus- és cosinus tétel • Szögfelező tétel • Derékszögű háromszögben befogó- és magasság tétel • Súlypont, magasságpont, oldalfelező, szögfelező tulajdon-ságai Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

36. Geometria II. • A kör és fontosabb tulajdonságai: • A kör részei: középpont, sugár, átmérő, körív, körszelet, körcikk • Középponti- és kerületi szögek tétele • Külső pontból körhöz húzott érintőszakaszok tétele • Húrnégyszög, érintőnégyszög tétele • Háromszögbe, háromszög köré írt kör Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

37. Geometria III. • További fontosabb fogalmak és tételek: • Párhuzamos szelők tételei és megfordításuk • Síkidomok, háromszögek hasonlósága és egybevágósága • Síkidomok, háromszögek kerülete, területe • Szabályos sokszögek tulajdonságai • Síkbeli transzformációk Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

38. Koordinátageometria I. • A geometria számszerűsítése, geometriai alakzatok egyenletekkel történő megadása • Alkalmazásával a geometriai feladatok analitikus megoldást nyernek (egyenletek használata, megoldása) • Egy geometriai objektum egyenlete egy olyan azonosság, amelyet csak az objektum pontjai elégítenek ki (a koordinátájukat az egyenletbe helyettesítve azonosságot kapunk) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

39. Koordinátageometria II. • Az egyenes egyenletei: • Irány vektoros egyenlet • Adott: • Egyenlet: • Normál vektoros egyenlet • Adott: • Egyenlet: • Két pontos átmenő egyenes egyenlete • Adott: • Egyenlet: • Meredekségével adott egyenes egyenlete • Adott: • Egyenlet: Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

40. Koordinátageometria III. • A kör egyenlete • Adott: • Egyenlete: • A kör egyenletének általános alakja Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

41. Polinomok I. • A polinom (vagy többtagú algebrai kifejezés) egy olyan kifejezés, melyben csak számok és változók egész kitevőjű hatványainak szorzatai illetve ilyenek összegei szerepelnek. • A polinomban a számokkal szorzott hatvány-szorzatokat monomoknak (vagy egytagoknak) nevezzük. • A monomokban lévő számszorzókat a polinom együtthatóinak hívjuk. • A polinomokkal műveletek végezhetők • összeadás, kivonás, szorzás, osztás Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

42. Polinomok II. • Polinomok (maradékos) osztása: • Az osztandó legmagasabb hatványkitevőjű tagjának és az osztó legmagasabb hatványkitevőjű tagjának a hányadosát képezzük • Ezzel a hányadossal megszorozzuk az osztót és az eredményt levonjuk az osztandóból • A kapott új polinommal megismételjük az előbbi eljárást • A fenti lépéseket addig ismételjük, amíg az osztandó alacsonyabb fokszámú lesz, mint az osztó • Ha a megmaradó osztandó nem nulla, akkor maradékos osztásról beszélünk Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

43. Polinomok III. • Polinomok (maradékos) osztása: • Az osztandó legmagasabb hatványkitevőjű tagjának és az osztó legmagasabb hatványkitevőjű tagjának a hányadosát képezzük • Ezzel a hányadossal megszorozzuk az osztót és az eredményt levonjuk az osztandóból • A kapott új polinommal megismételjük az előbbi eljárást • A fenti lépéseket addig ismételjük, amíg az osztandó alacsonyabb fokszámú lesz, mint az osztó • Ha a megmaradó osztandó nem nulla, akkor maradékos osztásról beszélünk Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

44. Mintazárthelyi • A feladatlapon csak egy helyes választ lehet megadni • A feladat szövegét figyelmesen olvassák el! • Csak a biztos megoldásokat írják be, ne tippeljenek! • A részszámításokat minden esetben el kell végezni, de külön lapon. • A megoldás sorrendje nem feltétlenül a számsorrend. Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

45. Mintazárthelyi feladatlap Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

46. 1. feladat Megoldás: Helyes válasz: B Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

47. 2. feladat Megoldás: Helyes válasz: D Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

48. 3. feladat Megoldás: Helyes válasz: C Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

49. 4. feladat Megoldás: Helyes válasz: D Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

50. 5. feladat Megoldás: Helyes válasz: C Matematika konzultáció az I. évfolyamnak