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MÉTODO DA SECANTE. MÉTODO DA SECANTE. Este processo é semelhante ao método de Newton-Raphson. Usa-se, no lugar equação da tangente, a equação da secante que corta a curva da função em dois pontos cujas abscissas definem um intervalo onde está contida a raiz. S 2. S 1. r. f(x 0 ).
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MÉTODO DA SECANTE Este processo é semelhante ao método de Newton-Raphson. Usa-se, no lugar equação da tangente, a equação da secante que corta a curva da função em dois pontos cujas abscissas definem um intervalo onde está contida a raiz.
S2 S1 r f(x0) f(x1) x2 x0 x1 f(x1) – f(x0) x1 – x0 0 – f(x0) = (x2 – x0) f(x1) – f(x0) x1 – x0 Y – f(x0) = (x – x0) x1 – x0 f(x1) – f(x0) x2 – x1 f(x2) – f(x1) x3 = x2 – f(x2). x2 = x1 – f(x1). No gráfico, r é a raiz de f(x). Tomemos os pontos de abscissas x = x0 e x = x1 e tracemos a secante S1. As ordenadas desses pontos são f(x0) e f(x1). A equação da secante que passa pelos pontos (x0, f(x0)) e (x1, f(x1)) é A secante intercepta o eixo dos y no ponto de abscissa x = x2. x2 pode ser considerada a primeira aproximação da raiz. Calculando x2: Tomando os pontos de abscissas x1 e x2, traça-se a secante S2. Obtém-se então a abscissa x3, que é a segunda aproximação da raiz. Continua o processo até obter a aproximação Desejada. Em cada aproximação calcula-se f(xi) para conhecer o erro.
EXEMPLO Resolver a equação 1,6x2 = 9,43x -10,362, com erro inferior a 0,001, usando o processo de truncamento. 1º passo: Escrever a equação na forma f(x) = 0. f(x) = 1,6x2 – 9,43x + 10,362. 2º passo: Construir o gráfico Isto é importante pois, se a equação apresentar mais de uma raiz, não pode existir mais de uma raiz entre os pontos a serem escolhidos para a secante. escolher dois pontos para a secante. 3º passo: Para a menor raiz (r1), usaremos os pontos de abscissas x0 = 0 e x1 = 1. x1 pode ser escolhido após r1. Não pode ser escolhido após r2 (outra raiz).
x1 – x0 f(x1) – f(x0) x2 = x1 – f(x1). 4º passo: Determinar as ordenadas f(x0) e f(x1) relativas aos pontos escolhidos. x0 = 0 f(x0) = f(0) = 1,6.02 – 9,43.0 + 10,362 = 10,362. x1 = 1 f(x1) = f(1) = 1,6.12 – 9,43.1 + 10,362 = 2,532. 5º passo: Calcular x2 (interseção da secante com o eixo dos “x”). x2 = 1 – (2,532).(1 – 0)/(2,532 – 10,362)= 1,323372 6º passo: Calcular f(x2) para avaliar o erro. f(x2) = f(1,323372) = 1,3133722 – 9,43. 1,313372 + 10,362 = 0,684705 Como x2 é uma suposta raiz, f(x2) deveria se igual a 0 (zero). Portanto, o erro é maior que 0,001. Devemos continuar o processo, calculando, xi, i = 3, 4, 5 e f(xi). Vejamos então os cálculos.
x2 – x1 f(x2) – f(x1) x3 – x2 f(x3) – f(x2) x4 – x3 f(x4) – f(x3) x3 = x2 – f(x2). x4 = x3 – f(x3). x5 = x4 – f(x4). x3 = 1,323372 – 0,684705(1,323372 – 1)/(0,684705 – 2,532) = 1,44323 f(x3) = 1,6.1,443232 – 9,43.1,44323 + 10,362 = 0,085. O erro ainda é maior que 0,001. Calculando x4. x4 = 1,44323 – 0,085.(1,44323 – 1,323372)/(0,085 – 0,68475) = 1,460219 f(x4) = 1,6.1,4602192 – 9,43. 1,460219 + 10,362 = 0,037. Erro ainda maior que 0,001. Calculando x5 x5 = 1,460219 – 0,037.(1,460219 – 1,44323)/(0,037 – 0,085) = 1,460996 f(x5) = 1,6.1,4609962 – 9,43.1,460996 + 10,362 = 0,00022. x5 = 1,460996 é a aproximação aceitável. Como o erro é menor que 0,001 Como o erro deve ser menor que 0,001, a resposta deve ser dada com três casas decimais. Foi usado o processo de truncamento conforme enunciado. Resposta: 1,460.
USANDO O APLICATIVO CORRESPONDENTE ERRO DIGITADO Célula F8 copiada para G8 e H8. Intervalo estabelecido no gráfico Função digitada: = 1,6.C8^2 – 9,43*C8 + 10,362 Células F8, G8 e H8 copiadas para as células abaixo delas.
